Genocchi číslo - Genocchi number

v matematika, Čísla genocchi G_n, pojmenoval podle Angelo Genocchi, plocha sekvence z celá čísla které uspokojují vztah

${displaystyle {frac {2t} {e ^ {t} +1}} = součet _ {n = 1} ^ {infty} G_ {n} {frac {t ^ {n}} {n!}}}$

Prvních několik čísel Genocchi je 1, −1, 0, 1, 0, −3, 0, 17 (sekvence A036968 v OEIS ), viz OEIS: A001469.

Vlastnosti

• The generující funkce definice čísel genocchi znamená, že jsou racionální čísla. Ve skutečnosti, G_{2n + 1} = 0 pro n ≥ 1 a (-1)ⁿG_2n je zvláštní kladné celé číslo.
• Čísla genocchi G_n souvisí s Bernoulliho čísla B_n podle vzorce

${displaystyle G_ {n} = 2, (1-2 ^ {n}), B_ {n}.}$

Existují dva případy ${displaystyle G_ {n}}$.

1. ${displaystyle B_ {1} = - 1/2}$ z OEIS: A027641 / OEIS: A027642

${displaystyle G_ {n_ {1}}}$ = 1, -1, 0, 1, 0, -3 = OEIS: A036968viz OEIS: A224783

2. ${displaystyle B_ {1} = 1/2}$ z OEIS: A164555 / OEIS: A027642

${displaystyle G_ {n_ {2}}}$ = -1, -1, 0, 1, 0, -3 = OEIS: A226158 (n + 1). Generující funkce: ${displaystyle {frac {-2} {1 + e ^ {- t}}}}$ .

OEIS: A226158 je autosequence (sekvence, jejíž inverzní binomická transformace je podepsaná sekvence) prvního druhu (její hlavní úhlopříčka je 0 = OEIS: A000004). Autosequence druhého druhu má svou hlavní úhlopříčku rovnou první horní úhlopříčce vynásobené 2. Příklad: OEIS: A164555 / OEIS: A027642.

−OEIS: A226158 je součástí rodiny:

Řádky jsou příslušně OEIS: A198631(n) / OEIS: A006519(n + 1), -OEIS: A226158, a OEIS: A243868.

Řádek je 0 následovaný n (kladným) vynásobeným předchozím řádkem. Sekvence jsou alternativně druhého a prvního druhu.

• Bylo prokázáno, že −3 a 17 jsou jediní primární Čísla genocchi.

Kombinatorické interpretace

The exponenciální generující funkce pro podepsal dokonce i čísla Genocchi (−1)ⁿG_2n je

${displaystyle t an left ({frac {t} {2}} ight) = součet _ {ngeq 1} (- 1) ^ {n} G_ {2n} {frac {t ^ {2n}} {(2n)! }}}$

Vyčíslují následující objekty:

• Permutace v S_2n−1 s sestupy po sudých číslech a výstupy po lichých číslech.
• Permutace π v S_2n−2 s 1 ≤π(2i−1) ≤ 2n−2i a 2n−2i ≤ π(2i) ≤ 2n−2.
• Páry (A₁,…,A_n−1) a (b₁,…,b_n−1) takové, že A_i a b_i jsou mezi 1 a i a každý k mezi 1 a n-1 se vyskytuje alespoň jednou mezi A_ia b_ije.
• Zvrátit střídavé obměny A₁ < A₂ > A₃ < A₄ >…>A_2n−1 ze dne [2n−1] jehož inverzní tabulka má pouze sudé položky.

Viz také

• Eulerovo číslo

Reference

• Weisstein, Eric W. „Genocchi Number“. MathWorld.
• Richard P. Stanley (1999). Enumerativní kombinatorika, Díl 2 Cvičení 5.8. Cambridge University Press. ISBN  0-521-56069-1
• Gérard Viennot, Interpretations kombinatoires des nombres d'Euler et de Genocchi „Seminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, svazek 11 (1981-1982)
• Serkan Araci, Mehmet Acikgoz, Erdoğan Şen, Některé nové identity čísel a polynomů genocchi