Funkce Riesz - Riesz function

Riesz (x) pro x od 0 do 50

v matematika, Funkce Riesz je celá funkce definován Marcel Riesz v souvislosti s Riemannova hypotéza, pomocí výkonové řady

${ displaystyle { rm {Riesz}} (x) = - součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-x) ^ {k}} {(k-1)! zeta (2k)}} = x sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {2}}} exp left ({ frac {-x} {n ^ {2}}} vpravo).}$

Pokud jsme nastavili ${ displaystyle F (x) = { frac {1} {2}} { rm {Riesz}} (4 pi ^ {2} x)}$ můžeme to definovat z hlediska koeficientů vývoje Laurentovy řady hyperbolického (nebo ekvivalentně obyčejného) kotangensu kolem nuly. Li

${ displaystyle { frac {x} {2}} coth { frac {x} {2}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} x ^ {n} = 1 + { frac {1} {12}} x ^ {2} - { frac {1} {720}} x ^ {4} + cdots}$

pak F lze definovat jako

${ displaystyle F (x) = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {k}} {c_ {2k} (k-1)!}} = 12x-720x ^ { 2} + 15120x ^ {3} - cdots}$

Hodnoty ζ (2k) se blíží jedné pro zvýšení k a porovnání řady pro funkci Riesz s hodnotou pro ${ displaystyle x exp (-x)}$ ukazuje, že definuje celou funkci. Alternativně, F lze definovat jako

${ displaystyle F (x) = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {k ^ { overline {k + 1}} x ^ {k}} {B_ {2k}}}. }$

${ displaystyle n ^ { overline {k}}}$ označuje rostoucí faktoriální síla v zápisu D. E. Knuth a číslo B_n jsou Bernoulliho číslo. Série je jedním ze střídajících se termínů a funkce má rychle sklon k mínus nekonečnu pro stále zápornější hodnoty X. Kladné hodnoty X jsou zajímavější a delikátnější.

Kritérium Riesz

To lze ukázat

${ displaystyle operatorname {Riesz} (x) = O (x ^ {e}) qquad ({ text {as}} x do infty)}$

pro libovolného exponenta E větší než 1/2, pokud je velká O notace; přijímání hodnot kladných i záporných. Riesz ukázal, že Riemannova hypotéza je ekvivalentní tvrzení, že výše uvedené platí pro všechny E větší než 1/4.^[1] Ve stejném příspěvku přidal také mírně pesimistickou poznámku: «Je ne sais pas encore decider si cette condition facilitera la vérification de l'hypothèse»(„ Nevím, jak se rozhodnout, zda tato podmínka usnadní ověření hypotézy “).

Mellinova transformace funkce Riesz

Funkce Riesz souvisí s Funkce Riemann zeta přes jeho Mellinova transformace. Pokud vezmeme

${ displaystyle { mathbf {M}} ({ rm {Riesz}} (z)) = int _ {0} ^ { infty} { rm {Riesz}} (z) z ^ {s} { frac {dz} {z}}}$

vidíme, že pokud ${ displaystyle Re (s)> - 1}$ pak

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { rm {Riesz}} (z) z ^ {s} { frac {dz} {z}}}$

konverguje, zatímco z růstové podmínky máme, že pokud${ displaystyle Re (s) <- { frac {1} {2}}}$ pak

${ displaystyle int _ {1} ^ { infty} { rm {Riesz}} (z) z ^ {s} { frac {dz} {z}}}$

konverguje. Když to dáme dohromady, vidíme, že na pásu je definována Mellinova transformace funkce Riesz ${ displaystyle -1 < Re (s) <- { frac {1} {2}}}$Na tomto proužku máme (srov. Ramanujanova hlavní věta )${ displaystyle { frac { Gamma (s + 1)} { zeta (-2s)}} = { mathbf {M}} ({ rm {Riesz}} (z))}$

Z inverzní Mellinovy ​​transformace nyní získáme výraz pro funkci Riesz, as

${ displaystyle { rm {Riesz}} (z) = int _ {ci infty} ^ {c + i infty} { frac { gama (s + 1)} { zeta (-2s)} } z ^ {- s} ds}$

kde c je mezi minus jedna a minus jedna polovina. Pokud je Riemannova hypotéza pravdivá, můžeme posunout linii integrace na jakoukoli hodnotu menší než mínus jedna čtvrtina, a proto získáme ekvivalenci mezi tempem růstu čtvrté odmocniny pro Rieszovu funkci a Riemannovou hypotézu.

J. garcía (viz odkazy) dal integrální zastoupení ${ displaystyle f (x)}$ použitím Borelovo obnovení tak jako

${ displaystyle exp (-x) -1 = int _ {0} ^ { infty} { frac {f (t)} {t}} rho ({ sqrt {x / t}}) dt }$ a ${ displaystyle rho (x) = x- lfloor x rfloor}$ je zlomková část 'x'

Výpočet funkce Riesz

The Řada Maclaurin koeficienty F zvýšení absolutní hodnoty, dokud nedosáhnou svého maxima ve 40. termínu -1,753×10¹⁷. Do 109. volebního období klesly v absolutní hodnotě pod jednu. Převzetí prvních 1000 výrazů je dostačující k získání velmi přesné hodnoty pro${ displaystyle F (z)}$ pro ${ displaystyle | z | <9}$. To by však vyžadovalo vyhodnocení polynomu stupně 1000 buď pomocí racionální aritmetiky s koeficienty velkého čitatele nebo jmenovatele, nebo pomocí výpočtů s pohyblivou řádovou čárkou přes 100 číslic. Alternativou je použití inverzní Mellinovy ​​transformace definované výše a numerické integrace. Ani jeden přístup není výpočetně snadný.

Dalším přístupem je použití zrychlení konvergence. My máme

${ displaystyle { rm {Riesz}} (x) = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1} x ^ {k}} {(k -1)! Zeta (2k)}}.}$

Vzhledem k tomu, že ζ (2k) se blíží k jedné, protože k roste, podmínky této řady se blíží

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1} x ^ {k}} {(k-1)!}} = x exp ( -X)}$. Riesz skutečně poznamenal, že: ${ displaystyle { sum _ {n = 1} ^ { infty} { rm {Riesz}} (x / n ^ {2}) = x exp (-x)}.}$

Použití Kummerovy metody pro urychlení konvergence dává

${ displaystyle { rm {Riesz}} (x) = x exp (-x) - součet _ {k = 1} ^ { infty} left ( zeta (2k) -1 right) left ({ frac {(-1) ^ {k + 1}} {(k-1)! zeta (2k)}} vpravo) x ^ {k}}$

se zlepšenou rychlostí konvergence.

Pokračování tohoto procesu vede k nové řadě funkcí Riesz s mnohem lepšími vlastnostmi konvergence:

${ displaystyle { rm {Riesz}} (x) = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1} x ^ {k}} {(k -1)! Zeta (2k)}} = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1} x ^ {k}} {(k-1 )!}} left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} mu (n) n ^ {- 2k} right)}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1} left (x / n ^ {2} right) ^ {k}} {(k-1)!}} = X sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {2 }}} exp left (- { frac {x} {n ^ {2}}} right).}$

Zde μ je Funkce Möbius mu a přeskupení termínů je odůvodněno absolutní konvergencí. Nyní můžeme znovu použít Kummerovu metodu a psát

${ displaystyle { rm {Riesz}} (x) = x left ({ frac {6} { pi ^ {2}}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {2}}} left ( exp left (- { frac {x} {n ^ {2}}} right) -1 right) right)}$

jejichž podmínky se nakonec snižují s inverzní čtvrtou mocí n.

Výše uvedené řady jsou všude absolutně konvergentní, a proto mohou být diferencovány po jednotlivých termínech, což vede k následujícímu výrazu pro derivaci Rieszovy funkce:

${ displaystyle { rm {Riesz}} '(x) = { frac { rm {Riesz (x)}} {x}} - x left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {4}}} exp left (- { frac {x} {n ^ {2}}} right) right)}$

které mohou být přeskupeny jako

${ displaystyle { rm {Riesz}} '(x) = { frac { rm {Riesz (x)}} {x}} + x left (- { frac {90} { pi ^ {4 }}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {4}}} left (1- exp left (- { frac { x} {n ^ {2}}} right) right) right).}$

Marek Vlk^[2]za předpokladu, že Riemannova hypotéza ukázala, že pro velká x:

${ displaystyle { rm {Riesz}} (x) = mathrm {const} krát x ^ {1/4} sin left ( phi - { frac {1} {2}} gamma _ { 1} log (x) vpravo)}$

kde ${ displaystyle gamma _ {1} = 14,13472514 ...}$ je imaginární část první netriviální nuly funkce zeta, ${ displaystyle mathrm {const} = 7,7750627 ... krát 10 ^ {- 5}}$ a ${ displaystyle phi = -0,54916 ... = (- 31 46447 ^ { circ})}$. Souhlasí s obecnými teorémami o nulách Rieszovy funkce, které v roce 1964 prokázal Herbert Wilf.^[3]

Vzhled funkce Riesz

Výkres pro rozsah 0 až 50 je uveden výše. Pokud to jde, nenaznačuje to příliš rychlý růst a možná to předpovídá pravdu o Riemannově hypotéze.

Poznámky

Reference

• Titchmarsh, E. C., Teorie funkce Riemanna Zeta, druhé přepracované vydání (Heath-Brown), Oxford University Press, 1986, [Sekce 14.32]