Von Staudt – Clausenova věta - Von Staudt–Clausen theorem

v teorie čísel, von Staudt – Clausenova věta je výsledek určující zlomková část z Bernoulliho čísla, nalezené nezávisle uživatelemKarl von Staudt  (1840 ) a Thomas Clausen  (1840 ).

Konkrétně pokud n je kladné celé číslo a přidáme 1 /p na Bernoulliho číslo B_2n pro každého primární p takhle p - 1 rozděluje 2n, získáme celé číslo, tj.${ displaystyle B_ {2n} + sum _ {(p-1) | 2n} { frac {1} {p}} in mathbb {Z}.}$

Tato skutečnost nám okamžitě umožňuje charakterizovat jmenovatele nenulových Bernoulliho čísel B_2n jako produkt všech prvočísel p takhle p - 1 rozděluje 2n; v důsledku toho jsou jmenovateli bez čtverce a dělitelné 6.

Tito jmenovatelé jsou

6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... (sekvence A002445 v OEIS ).

Důkaz

Důkaz Von Staudt-Clausenovy věty vyplývá z výslovného vzorce pro Bernoulliho čísla, který je:

${ displaystyle B_ {2n} = součet _ {j = 0} ^ {2n} { frac {1} {j + 1}} součet _ {m = 0} ^ {j} {(- 1) ^ {m} {j vyberte m} m ^ {2n}}}$

a jako důsledek:

${ displaystyle B_ {2n} = součet _ {j = 0} ^ {2n} { frac {j!} {j + 1}} (- 1) ^ {j} S (2n, j)}$

kde ${ displaystyle S (n, j)}$ jsou Stirlingova čísla druhého druhu.

Dále jsou zapotřebí následující lemata:
Nechť p je prvočíslo,
1. Li p-1 dělí 2n pak,

${ displaystyle sum _ {m = 0} ^ {p-1} {(- 1) ^ {m} {p-1 vyberte m} m ^ {2n}} ekviv {-1} { pmod { p}}}$

2. Li p-1 nerozdělí 2n pak,

${ displaystyle sum _ {m = 0} ^ {p-1} {(- 1) ^ {m} {p-1 vyberte m} m ^ {2n}} ekviv 0 { pmod {p}} }$

Důkaz o (1) a (2): Jeden má od Fermatova malá věta,

${ displaystyle m ^ {p-1} equiv 1 { pmod {p}}}$

pro ${ displaystyle m = 1,2, ..., p-1}$.
Li p-1 dělí 2n pak jeden má,

${ displaystyle m ^ {2n} equiv 1 { pmod {p}}}$

pro ${ displaystyle m = 1,2, ..., p-1}$.
Poté jeden má,

${ displaystyle sum _ {m = 1} ^ {p-1} {(- 1) ^ {m} {p-1 vyberte m} m ^ {2n}} equiv sum _ {m = 1} ^ {p-1} {(- 1) ^ {m} {p-1 vyberte m}} { pmod {p}}}$

z nichž (1) následuje okamžitě.
Li p-1 nerozdělí 2n pak po Fermatově větě jeden má,

${ displaystyle m ^ {2n} equiv m ^ {2n- (p-1)} { pmod {p}}}$

Pokud to někdo dovolí ${ displaystyle wp = [{ frac {2n} {p-1}}]}$ (Největší celočíselná funkce ) pak po iteraci jeden má,

${ displaystyle m ^ {2n} equiv m ^ {2n- wp (p-1)} { pmod {p}}}$

pro ${ displaystyle m = 1,2, ..., p-1}$ a ${ displaystyle 0 <2n- wp (p-1)$.
Poté jeden má,

${ displaystyle sum _ {m = 0} ^ {p-1} {(- 1) ^ {m} {p-1 vyberte m} m ^ {2n}} equiv sum _ {m = 0} ^ {p-1} {(- 1) ^ {m} {p-1 vyberte m} m ^ {2n- wp (p-1)}} { pmod {p}}}$

Lemma (2) nyní vyplývá z výše uvedeného a ze skutečnosti, že S(n,j) = 0 pro j>n.
(3). Je snadné to odvodit pro a> 2 a b> 2, ab dělí (ab-1)!.
(4). Stirlingova čísla druhého druhu jsou celá čísla.

Důkaz věty: Nyní jsme připraveni dokázat Von-Staudtovu větu Clausen,
Li j + 1 je složený a j> 3 pak od (3), j + 1 dělí j !.
Pro j = 3,

${ displaystyle sum _ {m = 0} ^ {3} {(- 1) ^ {m} {3 vybrat m} m ^ {2n}} = 3 cdot 2 ^ {2n} -3 ^ {2n } -3 ekviv 0 { pmod {4}}}$

Li j + 1 je prvočíslo, pak použijeme (1) a (2) a pokud j + 1 je složený, pak použijeme (3) a (4) odvodit:

${ displaystyle B_ {2n} = I_ {n} - součet _ {(p-1) | 2n} { frac {1} {p}}}$

kde ${ displaystyle I_ {n}}$ je celé číslo, což je Von-Staudtova Clausenova věta.^[1][2]

Viz také

• Kummerova shoda

Reference

• Clausen, Thomas (1840), "Věta", Astronomische Nachrichten, 17 (22): 351–352, doi:10.1002 / asna.18400172204
• Rado, R. (1934), „Nový důkaz věty V. Staudta“, J. London Math. Soc., 9 (2): 85–88, doi:10.1112 / jlms / s1-9.2.85
• von Staudt, Ch. (1840), „Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 21: 372–374, ISSN  0075-4102, ERAM  021.0672cj

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Věta von Staudt-Clausen“. MathWorld.