Bernoulliho polynomy - Bernoulli polynomials

v matematika, Bernoulliho polynomy, pojmenoval podle Jacob Bernoulli kombinovat Bernoulliho čísla a binomické koeficienty. Používají se k sériovému rozšiřování funkcí a s Euler – MacLaurin vzorec.

Tyto polynomy se vyskytují při studiu mnoha lidí speciální funkce a zejména Funkce Riemann zeta a Funkce Hurwitz zeta. Jsou to Appellova sekvence (tj Shefferova sekvence pro obyčejné derivát operátor). Pro Bernoulliho polynomy počet křížení X- osa v jednotkový interval nejde s titulem. V mezích velké míry přistupují, pokud mají odpovídající měřítko, k sinusové a kosinusové funkce.

Bernoulliho polynomy

Podobná sada polynomů, založená na generující funkci, je rodina Eulerovy polynomy.

Zastoupení

Bernoulliho polynomy B_n lze definovat a generující funkce. Přiznávají také různé odvozené reprezentace.

Generování funkcí

Generovací funkce pro Bernoulliho polynomy je

${ displaystyle { frac {te ^ {xt}} {e ^ {t} -1}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} B_ {n} (x) { frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Generovací funkce pro Eulerovy polynomy je

${ displaystyle { frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} E_ {n} (x) { frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Explicitní vzorec

${ displaystyle B_ {n} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} B_ {n-k} x ^ {k},}$

${ displaystyle E_ {m} (x) = součet _ {k = 0} ^ {m} {m zvolit k} { frac {E_ {k}} {2 ^ {k}}} vlevo (x - { frac {1} {2}} vpravo) ^ {mk} ,.}$

pro n ≥ 0, kde B_k jsou Bernoulliho čísla, a E_k jsou Eulerova čísla.

Zastoupení operátorem diferenciálu

Bernoulliho polynomy jsou také dány

${ displaystyle B_ {n} (x) = {D nad e ^ {D} -1} x ^ {n}}$

kde D = d/dx je diferenciace vzhledem k X a zlomek se rozšíří jako a formální mocenské řady. Z toho vyplývá, že

${ displaystyle int _ {a} ^ {x} B_ {n} (u) ~ du = { frac {B_ {n + 1} (x) -B_ {n + 1} (a)} {n + 1}} ~.}$

srov. integrály níže. Stejným tokenem jsou Eulerovy polynomy dány vztahem

${ displaystyle E_ {n} (x) = { frac {2} {e ^ {D} +1}} x ^ {n}.}$

Zastoupení integrálním operátorem

Bernoulliho polynomy jsou také jedinečné polynomy určené

${ displaystyle int _ {x} ^ {x + 1} B_ {n} (u) , du = x ^ {n}.}$

The integrální transformace

${ displaystyle (Tf) (x) = int _ {x} ^ {x + 1} f (u) , du}$

na polynomech F, jednoduše činí

${ displaystyle { begin {aligned} (Tf) (x) = {e ^ {D} -1 nad D} f (x) & {} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { D ^ {n} over (n + 1)!} F (x) & {} = f (x) + {f '(x) nad 2} + {f' '(x) nad 6 } + {f '' '(x) přes 24} + cdots ~. end {zarovnáno}}}$

To lze použít k výrobě inverzní vzorce níže.

Další explicitní vzorec

Explicitní vzorec pro Bernoulliho polynomy je dán vztahem

${ displaystyle B_ {m} (x) = součet _ {n = 0} ^ {m} { frac {1} {n + 1}} součet _ {k = 0} ^ {n} (- 1 ) ^ {k} {n zvolte k} (x + k) ^ {m}.}$

To je podobné výrazu řady pro Funkce Hurwitz zeta v komplexní rovině. Ve skutečnosti existuje vztah

${ displaystyle B_ {n} (x) = - n zeta (1-n, x)}$

kde ζ(s, q) je funkce Hurwitz zeta. Ten zobecňuje Bernoulliho polynomy, což umožňuje neceločíselné hodnotyn.

Vnitřní součet lze chápat jako nth vpřed rozdíl z X^m; to je

${ displaystyle Delta ^ {n} x ^ {m} = součet _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {nk} {n zvolte k} (x + k) ^ {m} }$

kde Δ je operátor dopředného rozdílu. Dá se tedy psát

${ displaystyle B_ {m} (x) = součet _ {n = 0} ^ {m} { frac {(-1) ^ {n}} {n + 1}} , Delta ^ {n} x ^ {m}.}$

Tento vzorec lze odvodit z identity, která se objevuje výše, následujícím způsobem. Protože operátor rozdílu dopředu Δ se rovná

${ displaystyle Delta = e ^ {D} -1}$

kde D je diferenciace vzhledem k X, máme z Série Mercator,

${ displaystyle {D přes e ^ {D} -1} = { log ( Delta +1) přes Delta} = součet _ {n = 0} ^ { infty} {(- Delta) ^ {n} přes n + 1}.}$

Pokud to funguje na mpolynom th-stupně, jako je X^m, jeden může nechat n jít od 0 pouze dom.

Integrální zastoupení pro Bernoulliho polynomy je dáno Nörlund – rýžový integrál, což vyplývá z výrazu jako konečný rozdíl.

Explicitní vzorec pro Eulerovy polynomy je dán vztahem

${ displaystyle E_ {m} (x) = součet _ {n = 0} ^ {m} { frac {1} {2 ^ {n}}} součet _ {k = 0} ^ {n} ( -1) ^ {k} {n zvolte k} (x + k) ^ {m} ,.}$

Výše uvedené následuje analogicky s využitím skutečnosti, že

${ displaystyle { frac {2} {e ^ {D} +1}} = { frac {1} {1+ Delta / 2}} = suma _ {n = 0} ^ { infty} { Bigl (} - { frac { Delta} {2}} { Bigr)} ^ {n}.}$

Součty pth síly

Pomocí výše uvedeného integrální reprezentace z ${ displaystyle x ^ {n}}$ nebo identita ${ displaystyle B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1}}$, my máme

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {x} k ^ {p} = int _ {0} ^ {x + 1} B_ {p} (t) , dt = { frac {B_ { p + 1} (x + 1) -B_ {p + 1}} {p + 1}}}$

(za předpokladu 0⁰ = 1). Vidět Faulhaberův vzorec o tom více.

Bernoulliho a Eulerova čísla

The Bernoulliho čísla jsou dány ${ displaystyle textstyle B_ {n} = B_ {n} (0).}$

Tato definice dává ${ displaystyle textstyle zeta (-n) = { frac {(-1) ^ {n}} {n + 1}} B_ {n + 1}}$ pro ${ displaystyle textstyle n = 0,1,2, ldots}$.

Alternativní konvence definuje Bernoulliho čísla jako ${ displaystyle textstyle B_ {n} = B_ {n} (1).}$

Tyto dvě konvence se liší pouze pro ${ displaystyle n = 1}$ od té doby ${ displaystyle B_ {1} (1) = { tfrac {1} {2}} = - B_ {1} (0)}$.

The Eulerova čísla jsou dány ${ displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} ({ tfrac {1} {2}}).}$

Výslovné výrazy pro nízké stupně

Prvních několik Bernoulliho polynomů je:

${ displaystyle { begin {aligned} B_ {0} (x) & = 1 [8pt] B_ {1} (x) & = x - { frac {1} {2}} [8pt] B_ {2} (x) & = x ^ {2} -x + { frac {1} {6}} [8pt] B_ {3} (x) & = x ^ {3} - { frac { 3} {2}} x ^ {2} + { frac {1} {2}} x [8pt] B_ {4} (x) & = x ^ {4} -2x ^ {3} + x ^ {2} - { frac {1} {30}} [8pt] B_ {5} (x) & = x ^ {5} - { frac {5} {2}} x ^ {4} + { frac {5} {3}} x ^ {3} - { frac {1} {6}} x [8pt] B_ {6} (x) & = x ^ {6} -3x ^ {5} + { frac {5} {2}} x ^ {4} - { frac {1} {2}} x ^ {2} + { frac {1} {42}}. End { zarovnaný}}}$

Prvních několik Eulerových polynomů je:

${ displaystyle { begin {aligned} E_ {0} (x) & = 1 [8pt] E_ {1} (x) & = x - { frac {1} {2}} [8pt] E_ {2} (x) & = x ^ {2} -x [8pt] E_ {3} (x) & = x ^ {3} - { frac {3} {2}} x ^ {2 } + { frac {1} {4}} [8pt] E_ {4} (x) & = x ^ {4} -2x ^ {3} + x [8pt] E_ {5} (x ) & = x ^ {5} - { frac {5} {2}} x ^ {4} + { frac {5} {2}} x ^ {2} - { frac {1} {2} } [8pt] E_ {6} (x) & = x ^ {6} -3x ^ {5} + 5x ^ {3} -3x. End {zarovnáno}}}$

Maximum a minimum

Na vyšší n, částka změny v B_n(X) mezi X = 0 a X = 1 se zvětší. Například,

${ displaystyle B_ {16} (x) = x ^ {16} -8x ^ {15} + 20x ^ {14} - { frac {182} {3}} x ^ {12} + { frac {572 } {3}} x ^ {10} -429x ^ {8} + { frac {1820} {3}} x ^ {6} - { frac {1382} {3}} x ^ {4} + 140x ^ {2} - { frac {3617} {510}}}$

což ukazuje, že hodnota na X = 0 (a v X = 1) je −3617/510 ≈ −7,09, zatímco na X = 1/2, hodnota je 118518239/3342336 ≈ +7,09. Lehmer^[1] ukázal, že maximální hodnota B_n(X) mezi 0 a 1 se řídí

${ displaystyle M_ {n} <{ frac {2n!} {(2 pi) ^ {n}}}}$

pokud n je 2 modulo 4, v tom případě

${ displaystyle M_ {n} = { frac {2 zeta (n) n!} {(2 pi) ^ {n}}}}$

(kde ${ displaystyle zeta (x)}$ je Funkce Riemann zeta ), zatímco minimum se řídí

${ displaystyle m_ {n}> { frac {-2n!} {(2 pi) ^ {n}}}}$

pokud n je 0 modulo 4, v takovém případě

${ displaystyle m_ {n} = { frac {-2 zeta (n) n!} {(2 pi) ^ {n}}}.}$

Tyto limity jsou velmi blízké skutečnému maximu a minimu a Lehmer také dává přesnější limity.

Rozdíly a deriváty

Polynomy Bernoulliho a Eulera se řídí mnoha vztahy pupeční kalkul:

${ displaystyle Delta B_ {n} (x) = B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1},}$

${ displaystyle Delta E_ {n} (x) = E_ {n} (x + 1) -E_ {n} (x) = 2 (x ^ {n} -E_ {n} (x)).}$

(Δ je operátor dopředného rozdílu ). Taky,

${ displaystyle E_ {n} (x + 1) + E_ {n} (x) = 2x ^ {n}.}$

Tyto polynomiální sekvence jsou Appellovy sekvence:

${ displaystyle B_ {n} '(x) = nB_ {n-1} (x),}$

${ displaystyle E_ {n} '(x) = nE_ {n-1} (x).}$

Překlady

${ displaystyle B_ {n} (x + y) = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} B_ {k} (x) y ^ {n-k}}$

${ displaystyle E_ {n} (x + y) = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} E_ {k} (x) y ^ {n-k}}$

Tyto identity jsou také ekvivalentní tomu, že se říká, že tyto polynomiální sekvence jsou Appellovy sekvence. (Hermitovy polynomy jsou dalším příkladem.)

Symetrie

${ displaystyle B_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} B_ {n} (x), quad n geq 0,}$

${ displaystyle E_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} E_ {n} (x)}$

${ displaystyle (-1) ^ {n} B_ {n} (- x) = B_ {n} (x) + nx ^ {n-1}}$

${ displaystyle (-1) ^ {n} E_ {n} (- x) = - E_ {n} (x) + 2x ^ {n}}$

${ displaystyle B_ {n} left ({ frac {1} {2}} right) = left ({ frac {1} {2 ^ {n-1}}} - 1 right) B_ { n}, quad n geq 0 { text {z vět o násobení níže.}}}$

Zhi-Wei Sun a Hao Pan ^[2] stanovil následující překvapivý vztah symetrie: If r + s + t = n a X + y + z = 1, pak

${ displaystyle r [s, t; x, y] _ {n} + s [t, r; y, z] _ {n} + t [r, s; z, x] _ {n} = 0, }$

kde

${ displaystyle [s, t; x, y] _ {n} = součet _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {s zvolit k} {t zvolit {nk} } B_ {nk} (x) B_ {k} (y).}$

Fourierova řada

The Fourierova řada Bernoulliho polynomů je také a Dirichletova řada, dané expanzí

${ displaystyle B_ {n} (x) = - { frac {n!} {(2 pi i) ^ {n}}} součet _ {k not = 0} { frac {e ^ {2 pi ikx}} {k ^ {n}}} = - 2n! sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos left (2k pi x - { frac {n pi} {2}} vpravo)} {(2k pi) ^ {n}}}.}$

Všimněte si jednoduchého velkého n limit na vhodně škálované trigonometrické funkce.

Toto je zvláštní případ analogické formy pro Funkce Hurwitz zeta

${ displaystyle B_ {n} (x) = - gama (n + 1) součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac { exp (2 pi ikx) + e ^ {i pi n} exp (2 pi ik (1-x))} {(2 pi ik) ^ {n}}}.}$

Toto rozšíření je platné pouze pro 0 ≤X ≤ 1, když n ≥ 2 a platí pro 0 <X <1 když n = 1.

Rovněž lze vypočítat Fourierovu řadu Eulerových polynomů. Definování funkcí

${ displaystyle C _ { nu} (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac { cos ((2k + 1) pi x)} {(2k + 1) ^ { nu}}}}$

a

${ displaystyle S _ { nu} (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin ((2k + 1) pi x)} {(2k + 1) ^ { nu}}}}$

pro ${ displaystyle nu> 1}$, Eulerův polynom má Fourierovu řadu

${ displaystyle C_ {2n} (x) = { frac {(-1) ^ {n}} {4 (2n-1)!}} pi ^ {2n} E_ {2n-1} (x)}$

a

${ displaystyle S_ {2n + 1} (x) = { frac {(-1) ^ {n}} {4 (2n)!}} pi ^ {2n + 1} E_ {2n} (x). }$

Všimněte si, že ${ displaystyle C _ { nu}}$ a ${ displaystyle S _ { nu}}$ jsou liché a sudé:

${ displaystyle C _ { nu} (x) = - C _ { nu} (1-x)}$

a

${ displaystyle S _ { nu} (x) = S _ { nu} (1-x).}$

Vztahují se k Legendre chi funkce ${ displaystyle chi _ { nu}}$ tak jako

${ displaystyle C _ { nu} (x) = operatorname {Re} chi _ { nu} (e ^ {ix})}$

a

${ displaystyle S _ { nu} (x) = operatorname {Im} chi _ { nu} (e ^ {ix}).}$

Inverze

Polynomy Bernoulliho a Eulera mohou být pro vyjádření invertovány monomiální z hlediska polynomů.

Konkrétně zřejmě z výše uvedené části integrální operátory, z toho vyplývá, že

${ displaystyle x ^ {n} = { frac {1} {n + 1}} součet _ {k = 0} ^ {n} {n + 1 zvolit k} B_ {k} (x)}$

a

${ displaystyle x ^ {n} = E_ {n} (x) + { frac {1} {2}} součet _ {k = 0} ^ {n-1} {n zvolit k} E_ {k }(X).}$

Vztah k klesajícímu faktoriálu

Bernoulliho polynomy lze rozšířit, pokud jde o klesající faktoriál ${ displaystyle (x) _ {k}}$ tak jako

${ displaystyle B_ {n + 1} (x) = B_ {n + 1} + součet _ {k = 0} ^ {n} { frac {n + 1} {k + 1}} vlevo { { begin {matrix} n k end {matrix}} right } (x) _ {k + 1}}$

kde ${ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0)}$ a

${ displaystyle left {{ begin {matrix} n k end {matrix}} right } = S (n, k)}$

označuje Stirlingovo číslo druhého druhu. Výše uvedené lze převrátit, abychom vyjádřili klesající faktoriál z hlediska Bernoulliho polynomů:

${ displaystyle (x) _ {n + 1} = součet _ {k = 0} ^ {n} { frac {n + 1} {k + 1}} left [{ begin {matrix} n k end {matrix}} right] left (B_ {k + 1} (x) -B_ {k + 1} right)}$

kde

${ displaystyle left [{ begin {matrix} n k end {matrix}} right] = s (n, k)}$

označuje Stirlingovo číslo prvního druhu.

Věty o násobení

The věty o násobení byly dány Joseph Ludwig Raabe v roce 1851:

Pro přirozené číslo m≥1,

${ displaystyle B_ {n} (mx) = m ^ {n-1} součet _ {k = 0} ^ {m-1} B_ {n} vlevo (x + { frac {k} {m}} že jo)}$

${ displaystyle E_ {n} (mx) = m ^ {n} součet _ {k = 0} ^ {m-1} (- 1) ^ {k} E_ {n} vlevo (x + { frac { k} {m}} vpravo) quad { mbox {pro}} m = 1,3, tečky}$

${ displaystyle E_ {n} (mx) = { frac {-2} {n + 1}} m ^ {n} součet _ {k = 0} ^ {m-1} (- 1) ^ {k } B_ {n + 1} left (x + { frac {k} {m}} right) quad { mbox {for}} m = 2,4, dots}$

Integrály

Dva určité integrály vztahující se k Bernoulliho a Eulerovým polynomům k Bernoulliho a Eulerovým číslům jsou:^{[Citace je zapotřebí ]}

• ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} B_ {n} (t) B_ {m} (t) , dt = (- 1) ^ {n-1} { frac {m! n!} {(m + n)!}} B_ {n + m} quad { text {pro}} m, n geq 1}$
• ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} E_ {n} (t) E_ {m} (t) , dt = (- 1) ^ {n} 4 (2 ^ {m + n + 2} -1) { frac {m! N!} {(M + n + 2)!}} B_ {n + m + 2}}$

Periodické Bernoulliho polynomy

A periodický Bernoulliho polynom P_n(X) je Bernoulliho polynom hodnocený na zlomková část argumentu X. Tyto funkce se používají k zajištění zbývající termín v Euler – Maclaurin vzorec související částky s integrály. První polynom je a funkce pilovitý zub.

Přísně tyto funkce nejsou vůbec polynomy a přesněji by se měly nazývat periodické Bernoulliho funkce a P₀(X) není ani funkce, je to derivát pilovitého zubu a tak a Dirac hřeben.

Následující vlastnosti jsou zajímavé a platí pro všechny ${ displaystyle x}$:

${ displaystyle { begin {aligned} & P_ {k} (x) { text {je spojitý pro všechny}} k> 1 [5pt] & P_ {k} (x) { text {existuje a je spojitý for}} k> 2 [5pt] & P '_ {k} (x) = kP_ {k-1} (x), k> 2 end {aligned}}}$

Viz také

• Bernoulliho čísla
• Bernoulliho polynomy druhého druhu
• Stirlingův polynom

Reference

• Milton Abramowitz a Irene A. Stegun, eds. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami, (1972) Dover, New York. (Vidět Kapitola 23 )
• Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel„Pregraduální texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, PAN  0434929, Zbl  0335.10001 (Viz kapitola 12.11)
• Dilcher, K. (2010), „Bernoulliho a Eulerovy polynomy“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1995). "Nové vzorce pro Bernoulliho a Eulerovy polynomy na základě racionálních argumentů". Proceedings of the American Mathematical Society. 123: 1527–1535. doi:10.2307/2161144.
• Guillera, Ježíši; Sondow, Jonathan (2008). „Dvojité integrály a nekonečné produkty pro některé klasické konstanty prostřednictvím analytických pokračování Lerchova transcendentu“. Deník Ramanujan. 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT / 0506319. doi:10.1007 / s11139-007-9102-0. (Zkontroluje vztah k funkci Hurwitz zeta a Lerchově transcendenci.)
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplikativní teorie čísel I. Klasická teorie. Cambridge trakty v pokročilé matematice. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Lis. str. 495–519. ISBN  0-521-84903-9.

Externí odkazy

• Seznam integrálních identit zahrnujících Bernoulliho polynomy z NIST