Tannakovský formalismus - Tannakian formalism

v matematika, a Tannakianská kategorie je zvláštní druh monoidní kategorie C, vybavené nějakou zvláštní strukturou vzhledem k danému pole K.. Role těchto kategorií C je přiblížit v určitém smyslu kategorii lineární reprezentace z algebraická skupina G definováno přes K.. Bylo provedeno nebo může být provedeno několik hlavních aplikací teorie ve snaze o některé z ústředních domněnek současné algebraická geometrie a teorie čísel.

Název je převzat z Dualita Tannaka – Kerin, teorie o kompaktní skupiny G a jejich teorie reprezentace. Tato teorie byla vyvinuta nejprve ve škole Alexander Grothendieck. Později to přehodnotil Pierre Deligne a provedená některá zjednodušení. Vzor teorie je takový jako Grothendieckova Galoisova teorie, což je teorie o konečném permutační reprezentace skupin G což jsou profinitní skupiny.

Podstatou teorie, která je podrobně rozpracována v expozici Saavedra Rivano, je, že vláknový funktor Φ Galoisovy teorie je nahrazeno a tenzorový funktor T z C na K-Vect. Skupina přirozené transformace Φ pro sebe, která se v Galoisově teorii ukazuje jako profinitní skupina, je nahrazena skupinou (a priori jen a monoidní ) z přirozené transformace z T to samo o sobě respektuje strukturu tenzoru. Toto přirozeně není algebraická skupina, ale inverzní limit algebraických skupin (proalgebraická skupina ).

Formální definice

A neutrální Tannakian kategorie je tuhý abelian kategorie tenzorů, takže existuje a K.- funktor tenzoru do kategorie konečných dimenzionálních K-vektorových prostorů to je přesný a věřící.[1]

Aplikace

Konstrukce se používá v případech, kdy a Hodgeova struktura nebo l-adická reprezentace je třeba uvažovat ve světle teorie reprezentace skupin. Například Skupina Mumford – Tate a motivovaná skupina Galois jsou potenciálně získány z jednoho kohomologická skupina nebo Galoisův modul, prostřednictvím zprostředkující tannakovské kategorie, kterou generuje.

Tyto oblasti použití úzce souvisí s teorií motivy. Další místo, kde byly použity tannakovské kategorie, je ve spojení s Grothendieck – Katzova domněnka o p-zakřivení; jinými slovy, v ohraničení monodromy skupiny.

The Geometrická satakeova ekvivalence stanoví rovnocennost mezi reprezentacemi Langlands duální skupina a reduktivní skupina G a jistý ekvivariant perverzní snopy na afinní Grassmannian spojené s G. Tato ekvivalence poskytuje nekombinatorní konstrukci Langlandsovy duální skupiny. Dokazuje se to ukázáním, že zmíněná kategorie perverzních snopů je tannakianská kategorie a identifikace její dvojité skupiny Tannaka s .

Rozšíření

Wedhorn (2004) stanovil částečné výsledky tannakské duality v situaci, kdy je kategorie R-lineární, kde R již není pole (jako v klasické tannakovské dualitě), ale jisté oceňovací prsteny. Duong & Hai (2017) vykázal výsledek tannakské duality, pokud R je Dedekindův prsten.

Iwanari (2014) zahájil studium duality Tannaka v kontextu kategorie nekonečna.

Reference

  1. ^ Deligne & Milne (1982)
  • Deligne, Pierre (2007) [1990], "Kategorie tannakiennes", Grothendieck Festschrift, II, Birkhauser, str. 111–195, ISBN  9780817645755
  • Deligne, Pierre; Milne, Jamesi (1982), „Tannakovské kategorie“ v Deligne, Pierre; Milne, James; Ogus, Arthur; Shih, Kuang-yen (eds.), Hodgeovy cykly, motivy a odrůdy ShimuraPřednášky z matematiky, 900, Springer, str. 101–228, ISBN  978-3-540-38955-2
  • Duong, Nguyen Dai; Hai, Phùng Hô (2017), Tannakovská dualita nad prsteny a aplikacemi Dedekinda, arXiv:1311.1134v3
  • Iwanari, Isamu (2014), Dualita Tannaky a stabilní kategorie nekonečna, arXiv:1409.3321, doi:10.1112 / topo.12057
  • Saavedra Rivano, Neantro (1972), Kategorie Tannakiennes Přednášky z matematiky, 265Springer, ISBN  978-3-540-37477-0, PAN  0338002
  • Wedhorn, Torsten (2004), „O tannakovské dualitě nad oceňovacími prsteny“, Journal of Algebra, 282 (2): 575–609, doi:10.1016 / j.jalgebra.2004.07.024, PAN  2101076

Další čtení

  • M. Larsen a R. Pink. Určení reprezentací z invariantních dimenzí. Vymyslet. math., 102: 377–389, 1990.