Centrální binomický koeficient - Central binomial coefficient

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Pascalův trojúhelník, řádky 0 až 7. Čísla ve středním sloupci jsou centrálními binomickými koeficienty.

v matematika the nth centrální binomický koeficient je konkrétní binomický koeficient

${ displaystyle {2n select n} = { frac {(2n)!} {(n!) ^ {2}}} { text {pro všechny}} n geq 0.}$

Říká se jim centrální, protože se zobrazují přesně uprostřed sudých řádků Pascalův trojúhelník. Prvních pár centrálních binomických koeficientů začínajících na n = 0 jsou:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ...; (sekvence A000984 v OEIS )

Vlastnosti

Centrální binomické koeficienty uspokojují opakování

${ displaystyle { binom {2 (n + 1)} {n + 1}} = { frac {4n + 2} {n + 1}} cdot { binom {2n} {n}}.}$

Od té doby ${ displaystyle textstyle { binom {-1/2} {n + 1}} = { frac {-1 / 2-n} {n + 1}} cdot { binom {-1/2} { n}}}$ shledáváme

${ displaystyle { binom {2n} {n}} = (- 1) ^ {n} 4 ^ {n} { binom {-1/2} {n}}}$

Spolu s binomická řada získáme generující funkce

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {1-4x}}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { binom {2n} {n}} x ^ {n} = 1 + 2x + 6x ^ {2} + 20x ^ {3} + 70x ^ {4} + 252x ^ {5} + cdots}$

a exponenciální generující funkce

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom {2n} {n}} { frac {x ^ {n}} {n!}} = e ^ {2x} I_ {0 } (2x),}$

kde Já₀ je upravená Besselova funkce prvního druhu.^[1]

The Produkt Wallis lze zapsat asymptoticky pro centrální binomický koeficient:

${ displaystyle {2n vyberte n} sim { frac {4 ^ {n}} { sqrt { pi n}}}.}$

Ten lze také snadno zjistit pomocí Stirlingův vzorec. Na druhou stranu jej lze také použít jako prostředek k určení konstanty ${ displaystyle { sqrt {2 pi}}}$ porovnáním před Stirlingovým vzorcem.

Jednoduché hranice, z nichž okamžitě vyplývají ${ displaystyle 4 ^ {n} = (1 + 1) ^ {2n} = součet _ {k = 0} ^ {2n} { binom {2n} {k}}}$ jsou

${ displaystyle { frac {4 ^ {n}} {2n + 1}} leq {2n vyberte n} leq 4 ^ {n} { text {pro všechny}} n geq 1}$

Některé lepší hranice jsou^[2]

${ displaystyle { frac {4 ^ {n}} { sqrt {4n}}} leq {2n zvolit n} leq { frac {4 ^ {n}} { sqrt {3n + 1}} } { text {pro všechny}} n geq 1}$

a pokud je požadována větší přesnost,

${ displaystyle {2n zvolit n} = { frac {4 ^ {n}} { sqrt { pi n}}} doleva (1 - { frac {c_ {n}} {n}} doprava ) { text {kde}} { frac {1} {9}}$ pro všechny ${ displaystyle n geq 1.}$^{[Citace je zapotřebí ]}

Jediný lichý centrální binomický koeficient je 1. Přesněji řečeno, počet faktorů 2 v ${ displaystyle { binom {2n} {n}}}$ se rovná počtu těch v binární zastoupení n.^[3]

Podle Erdőův dohad bez čtverce, prokázáno v roce 1996, žádný centrální binomický koeficient s n > 4 je bez čtverce.

Centrální binomický koeficient ${ displaystyle {2n vyberte n}}$ se rovná součtu čtverců prvků v řadě n Pascalova trojúhelníku.^[1]

Související sekvence

Úzce související Katalánská čísla C_n jsou dány:

${ displaystyle C_ {n} = { frac {1} {n + 1}} {2n zvolit n} = {2n zvolit n} - {2n zvolit n + 1} { text {pro všechny}} n geq 0.}$

Mírné zobecnění centrálních binomických koeficientů je brát jako${ displaystyle { frac { Gamma (2n + 1)} { Gamma (n + 1) ^ {2}}} = { frac {1} {n mathrm {B} (n + 1, n) }}}$s příslušnými reálnými čísly n, kde ${ Displaystyle Gamma (x)}$ je funkce gama a ${ displaystyle mathrm {B} (x, y)}$ je funkce beta.

The pravomoci dvou které rozdělují centrální binomické koeficienty jsou dány vztahem Gouldova sekvence, jehož nth element je počet lichých celých čísel v řadě n Pascalova trojúhelníku.

Reference

• Koshy, Thomas (2008), Katalánská čísla s aplikacemi, Oxford University Press, ISBN  978-0-19533-454-8.

externí odkazy

• Centrální binomický koeficient na PlanetMath.
• Binomický koeficient na PlanetMath.
• Pascalův trojúhelník na PlanetMath.
• Katalánská čísla na PlanetMath.

Tento článek včlení materiál od Centrální binomický koeficient na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.