Krystalografická skupina bodů - Crystallographic point group - Wikipedia

v krystalografie, a krystalografická skupina bodů je sada operace symetrie, což odpovídá jednomu z bodové skupiny ve třech rozměrech, takže každá operace by ponechala strukturu krystalu beze změny, tj. stejné druhy atomů by byly umístěny do podobných pozic jako před transformací. Například v primitivu kubický krystalový systém, rotace jednotkové buňky o 90 stupňů kolem osy, která je kolmá ke dvěma rovnoběžným plochám krychle, protínající se v jejím středu, je operace symetrie, která promítá každý atom na místo jednoho ze sousedů a opouští celkovou strukturu krystal nedotčen.

V klasifikaci krystalů každá skupina bodů definuje tzv (geometrická) třída krystalů. Existuje nekonečně mnoho trojrozměrných bodové skupiny. Nicméně krystalografické omezení na obecných bodových skupinách je pouze 32 krystalografických bodových skupin. Těchto 32 bodových skupin je stejných jako 32 typů morfologických (vnějších) krystalických symetrií odvozených v roce 1830 Johann Friedrich Christian Hessel z úvahy pozorovaných krystalických forem.

Bodová skupina krystalu určuje mimo jiné směrové variace fyzikálních vlastností, které vyplývají z jeho struktury, včetně optické vlastnosti jako dvojlom nebo elektrooptické prvky, jako je Pockelsův efekt. Pro periodický krystal (na rozdíl od a kvazikrystal ), skupina musí udržovat trojrozměrnost translační symetrie který definuje krystalinitu.

Zápis

Skupiny bodů jsou pojmenovány podle jejich symetrií složek. Existuje několik standardních zápisů používaných krystalografy, mineralogové, a fyzici.

Pro korespondenci dvou systémů níže viz krystalový systém.

Schoenflies notace

v Schoenflies notace, skupiny bodů jsou označeny písmenným symbolem s indexem. Symboly používané v krystalografii znamenají následující:

C_n (pro cyklický ) označuje, že skupina má nosa rotace skládání. C_nh je C_n s přidáním zrcadlové (odrazové) roviny kolmé k osa otáčení. C_nv je C_n s přidáním n zrcadlových rovin rovnoběžných s osou otáčení.
S_2n (pro Spiegel, Němčina pro zrcadlo ) označuje skupinu pouze s a 2n-složit osa rotace a odrazu.
D_n (pro vzepětí, nebo oboustranný) označuje, že skupina má n-násobná osa otáčení plus n dvojí osy kolmé na tuto osu. D_nh má navíc zrcadlovou rovinu kolmou k n- složená osa. D_nd má kromě prvků D_n, zrcadlové roviny rovnoběžné s n- složená osa.
Dopis T (pro čtyřstěn ) označuje, že skupina má symetrii čtyřstěnu. T_d zahrnuje nesprávná rotace operace, T vylučuje nesprávné rotační operace a T_h je T s přidáním inverze.
Dopis Ó (pro osmistěn ) označuje, že skupina má symetrii osmistěnu (nebo krychle ), s (Ó_h) nebo bez (Ó) nesprávné operace (ty, které mění předání).

V důsledku krystalografická věta o omezení, n = 1, 2, 3, 4 nebo 6 v 2- nebo 3-dimenzionálním prostoru.

n	1	2	3	4	6
C_n	C₁	C₂	C₃	C₄	C₆
C_nv	C_1v=C_{1 hod}	C_2v	C_3v	C_4v	C_6v
C_nh	C_{1 hod}	C_2h	C_3h	C_4h	C_6h
D_n	D₁=C₂	D₂	D₃	D₄	D₆
D_nh	D_{1 hod}=C_2v	D_2h	D_3h	D_4h	D_6h
D_nd	D_1d=C_2h	D_2d	D_3d	D_4d	D_6d
S_2n	S₂	S₄	S₆	S₈	S₁₂

D_4d a D_6d jsou ve skutečnosti zakázány, protože obsahují nesprávné otáčení s n = 8, respektive 12. 27 skupin bodů v tabulce plus T, T_d, T_h, Ó a Ó_h tvoří 32 krystalografických skupin bodů.

Hermann – Mauguinova notace

Zkrácená forma Hermann – Mauguinova notace běžně používané pro vesmírné skupiny slouží také k popisu krystalografických skupin bodů. Názvy skupin jsou

Třída	Názvy skupin
Krychlový	23	m3		432	43 m	m3m
Šestihranný	6	6	⁶⁄_m	622	6 mm	6m2	6 / mmm
Trigonální	3	3		32	3 m	3m
Tetragonální	4	4	⁴⁄_m	422	4 mm	42 m	4 / mmm
Ortorombický				222		mm2	mmm
Monoklinický	2		²⁄_m		m
Triclinic	1	1						Vztahy podskupin 32 krystalografických skupin bodů (řádky představují skupinové objednávky zdola nahoru jako: 1,2,3,4,6,8,12,16,24 a 48.)

Soulad mezi různými notacemi

Krystalový systém	Hermann-Mauguin		Shubnikov^[1]	Schoenflies	Orbifold	Coxeter	Objednat
Krystalový systém	(úplný)	(krátký)	Shubnikov^[1]	Schoenflies	Orbifold	Coxeter	Objednat
Triclinic	1	1	${ displaystyle 1 }$	C₁	11	[ ]⁺	1
Triclinic	1	1	${ displaystyle { tilde {2}}}$	C_i = S₂	×	[2⁺,2⁺]	2
Monoklinický	2	2	${ displaystyle 2 }$	C₂	22	[2]⁺	2
	m	m	${ displaystyle m }$	C_s = C._{1 hod}	*	[ ]	2
	${ displaystyle { tfrac {2} {m}}}$	2 / m	${ displaystyle 2: m }$	C_2h	2*	[2,2⁺]	4
Ortorombický	222	222	${ displaystyle 2: 2 }$	D₂ = V	222	[2,2]⁺	4
	mm2	mm2	${ displaystyle 2 cdot m }$	C_2v	*22	[2]	4
	${ displaystyle { tfrac {2} {m}} { tfrac {2} {m}} { tfrac {2} {m}}}$	mmm	${ displaystyle m cdot 2: m }$	D_2h = PROTI_h	*222	[2,2]	8
Tetragonální	4	4	${ displaystyle 4 }$	C₄	44	[4]⁺	4
	4	4	${ displaystyle { tilde {4}}}$	S₄	2×	[2⁺,4⁺]	4
	${ displaystyle { tfrac {4} {m}}}$	4 / m	${ displaystyle 4: m }$	C_4h	4*	[2,4⁺]	8
	422	422	${ displaystyle 4: 2 }$	D₄	422	[4,2]⁺	8
	4 mm	4 mm	${ displaystyle 4 cdot m }$	C_4v	*44	[4]	8
	42 m	42 m	${ displaystyle { tilde {4}} cdot m}$	D_2d = PROTI_d	2*2	[2⁺,4]	8
	${ displaystyle { tfrac {4} {m}} { tfrac {2} {m}} { tfrac {2} {m}}}$	4 / mmm	${ displaystyle m cdot 4: m }$	D_4h	*422	[4,2]	16
Trigonální	3	3	${ displaystyle 3 }$	C₃	33	[3]⁺	3
	3	3	${ displaystyle { tilde {6}}}$	C_3i = S₆	3×	[2⁺,6⁺]	6
	32	32	${ displaystyle 3: 2 }$	D₃	322	[3,2]⁺	6
	3 m	3 m	${ displaystyle 3 cdot m }$	C_3v	*33	[3]	6
	3 ${ displaystyle { tfrac {2} {m}}}$	3m	${ displaystyle { tilde {6}} cdot m}$	D_3d	2*3	[2⁺,6]	12
Šestihranný	6	6	${ displaystyle 6 }$	C₆	66	[6]⁺	6
	6	6	${ displaystyle 3: m }$	C_3h	3*	[2,3⁺]	6
	${ displaystyle { tfrac {6} {m}}}$	6 / m	${ displaystyle 6: m }$	C_6h	6*	[2,6⁺]	12
	622	622	${ displaystyle 6: 2 }$	D₆	622	[6,2]⁺	12
	6 mm	6 mm	${ displaystyle 6 cdot m }$	C_6v	*66	[6]	12
	6m2	6m2	${ displaystyle m cdot 3: m }$	D_3h	*322	[3,2]	12
	${ displaystyle { tfrac {6} {m}} { tfrac {2} {m}} { tfrac {2} {m}}}$	6 / mmm	${ displaystyle m cdot 6: m }$	D_6h	*622	[6,2]	24
Krychlový	23	23	${ displaystyle 3/2 }$	T	332	[3,3]⁺	12
	${ displaystyle { tfrac {2} {m}}}$ 3	m3	${ displaystyle { tilde {6}} / 2}$	T_h	3*2	[3⁺,4]	24
	432	432	${ displaystyle 3/4 }$	Ó	432	[4,3]⁺	24
	43 m	43 m	${ displaystyle 3 / { tilda {4}}}$	T_d	*332	[3,3]	24
	${ displaystyle { tfrac {4} {m}}}$ 3 ${ displaystyle { tfrac {2} {m}}}$	m3m	${ displaystyle { tilde {6}} / 4}$	Ó_h	*432	[4,3]	48

Izomorfismy

Mnoho krystalografických skupin bodů sdílí stejnou vnitřní strukturu. Například skupiny bodů 1, 2 a m obsahují různé operace geometrické symetrie (inverze, rotace a reflexe), ale všechny sdílejí strukturu cyklická skupina Z₂. Všechno izomorfní skupiny jsou stejné objednat, ale ne všechny skupiny stejného řádu jsou izomorfní. Skupiny bodů, které jsou izomorfní, jsou uvedeny v následující tabulce:^[2]

Hermann-Mauguin	Schoenflies	Objednat	Abstraktní skupina
1	C₁	1	Z₁	${ displaystyle G_ {1} ^ {1}}$
1	C_i = S₂	2	Z₂	${ displaystyle G_ {2} ^ {1}}$
2	C₂	2
m	C_s = C._{1 hod}	2
3	C₃	3	Z₃	${ displaystyle G_ {3} ^ {1}}$
4	C₄	4	Z₄	${ displaystyle G_ {4} ^ {1}}$
4	S₄	4	Z₄	${ displaystyle G_ {4} ^ {1}}$
2 / m	C_2h	4	D₂ = Z₂ × Z.₂	${ displaystyle G_ {4} ^ {2}}$
222	D₂ = V	4
mm2	C_2v	4
3	C_3i = S₆	6	Z₆	${ displaystyle G_ {6} ^ {1}}$
6	C₆	6
6	C_3h	6
32	D₃	6	D₃	${ displaystyle G_ {6} ^ {2}}$
3 m	C_3v	6	D₃	${ displaystyle G_ {6} ^ {2}}$
mmm	D_2h = PROTI_h	8	D₂ × Z.₂	${ displaystyle G_ {8} ^ {3}}$
4 / m	C_4h	8	Z₄ × Z.₂	${ displaystyle G_ {8} ^ {2}}$
422	D₄	8	D₄	${ displaystyle G_ {8} ^ {4}}$
4 mm	C_4v	8
42 m	D_2d = PROTI_d	8
6 / m	C_6h	12	Z₆ × Z.₂	${ displaystyle G_ {12} ^ {2}}$
23	T	12	A₄	${ displaystyle G_ {12} ^ {5}}$
3m	D_3d	12	D₆	${ displaystyle G_ {12} ^ {3}}$
622	D₆	12
6 mm	C_6v	12
6m2	D_3h	12
4 / mmm	D_4h	16	D₄ × Z.₂	${ displaystyle G_ {16} ^ {9}}$
6 / mmm	D_6h	24	D₆ × Z.₂	${ displaystyle G_ {24} ^ {5}}$
m3	T_h	24	A₄ × Z.₂	${ displaystyle G_ {24} ^ {10}}$
432	Ó	24	S₄	${ displaystyle G_ {24} ^ {7}}$
43 m	T_d	24	S₄	${ displaystyle G_ {24} ^ {7}}$
m3m	Ó_h	48	S₄ × Z.₂	${ displaystyle G_ {48} ^ {7}}$

Tato tabulka využívá cyklické skupiny (Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, Z₆), dihedrální skupiny (D.₂, D₃, D₄, D₆), jeden z střídavé skupiny (A₄) a jeden z symetrické skupiny (S.₄). Zde symbol „×“ označuje a přímý produkt.

Odvození krystalografické skupiny bodů (třída krystalů) od vesmírné skupiny

Vynechejte typ Bravais
Převést všechny prvky symetrie s translačními komponentami na jejich příslušné prvky symetrie bez transmetické symetrie (kluzné roviny jsou převedeny na jednoduché zrcadlové roviny; osy šroubů jsou převedeny na jednoduché osy otáčení)
Osy rotace, osy rotoinverze a zrcadlové roviny zůstávají nezměněny.

Viz také

Reference

^ „Archivovaná kopie“. Archivovány od originál dne 04.07.2013. Citováno 2011-11-25.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)
^ Novak, I (1995-07-18). "Molekulární izomorfismus". European Journal of Physics. Publikování IOP. 16 (4): 151–153. doi:10.1088/0143-0807/16/4/001. ISSN 0143-0807.

externí odkazy

[1] „Archivovaná kopie“. Archivovány od originál dne 04.07.2013. Citováno 2011-11-25.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)

[2] Novak, I (1995-07-18). "Molekulární izomorfismus". European Journal of Physics. Publikování IOP. 16 (4): 151–153. doi:10.1088/0143-0807/16/4/001. ISSN 0143-0807.

[1]

[2]