Prostor objektivu - Lens space

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Únor 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

A prostor pro čočky je příkladem a topologický prostor, uvažováno v matematika. Termín často odkazuje na konkrétní třídu 3 rozdělovače, ale obecně lze definovat pro vyšší dimenze.

V pouzdru se třemi potrubími lze vizualizovat prostor pro čočky v důsledku lepení dvou solidní tori společně homeomorfismem jejich hranic. Často 3 koule a ${ displaystyle S ^ {2} krát S ^ {1}}$, které lze získat výše, se nepočítají, protože jsou považovány za triviální zvláštní případy.

Prostorové čočky ${ displaystyle L (p, q)}$ byly představeny Heinrich Tietze v roce 1908. Byly to první známé příklady 3-variet, které nebyly určeny jejich homologie a základní skupina samostatně a nejjednodušší příklady uzavřených potrubí, jejichž typ homomorfismu není určen jejich typem homotopy. J. W. Alexander v roce 1919 ukázal, že čočky mezery ${ displaystyle L (5; 1)}$ a ${ displaystyle L (5; 2)}$ nebyli homeomorfní, přestože mají izomorfní základní skupiny a stejnou homologii, i když nemají stejný typ homotopy. Jiné čočkové prostory mají dokonce stejný typ homotopy (a tedy izomorfní základní skupiny a homologii), ale ne stejný typ homomorfismu; lze je tedy považovat za narození geometrická topologie potrubí odlišných od algebraická topologie.

Existuje úplná klasifikace prostorů trojrozměrných čoček, a základní skupina a Reidemeister torze.

Definice

Prostorové čočky ${ displaystyle L (p; q)}$ jsou kvocienty ${ displaystyle S ^ {3}}$ podle ${ displaystyle mathbb {Z} / p}$-akce. Přesněji řečeno ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ být coprime celá čísla a zvažte ${ displaystyle S ^ {3}}$ jako jednotková koule v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$. Pak ${ displaystyle mathbb {Z} / p}$-akce zapnuta ${ displaystyle S ^ {3}}$ generované homeomorfismem

${ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}) mapsto (e ^ {2 pi i / p} cdot z_ {1}, e ^ {2 pi iq / p} cdot z_ {2} )}$

je zdarma. Výsledný kvocientový prostor se nazývá prostor pro čočky ${ displaystyle L (p; q)}$.

To lze zobecnit na vyšší dimenze takto: Let ${ displaystyle p, q_ {1}, ldots, q_ {n}}$ být celá čísla tak, aby ${ displaystyle q_ {i}}$ jsou coprime ${ displaystyle p}$ a zvažte ${ displaystyle S ^ {2n-1}}$ jako jednotková koule v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$. Prostor objektivu ${ displaystyle L (p; q_ {1}, ldots q_ {n})}$ je podíl z ${ displaystyle S ^ {2n-1}}$ zdarma ${ displaystyle mathbb {Z} / p}$-akce generovaná

${ displaystyle (z_ {1}, ldots, z_ {n}) mapsto (e ^ {2 pi iq_ {1} / p} cdot z_ {1}, ldots, e ^ {2 pi iq_ {n} / p} cdot z_ {n}).}$

Ve třech rozměrech máme ${ displaystyle L (p; q) = L (p; 1, q).}$

Vlastnosti

Základní skupina všech prostorů pro čočky ${ displaystyle L (p; q_ {1}, ldots, q_ {n})}$ je ${ displaystyle mathbb {Z} / p mathbb {Z}}$ nezávislý na ${ displaystyle q_ {i}}$.

Prostory objektivu jsou lokálně symetrické prostory, ale ne (plně) symetrické, s výjimkou ${ displaystyle L (2; 1)}$ což je symetrické. (Lokálně symetrické prostory jsou symetrické prostory, které jsou kvocientovány izometrií, která nemá žádné pevné body; prostory objektivu tuto definici splňují.)

Alternativní definice prostorů trojrozměrných čoček

Prostorový prostor čočky ${ displaystyle L (p; q)}$ je často definován jako pevný míč s následující identifikací: první známka p rovnoměrně rozmístěné body na rovníku pevné koule, označte je ${ displaystyle a_ {0}}$ na ${ displaystyle a_ {p-1}}$, pak na hranici koule nakreslete geodetické čáry spojující body se severním a jižním pólem. Nyní identifikujte sférické trojúhelníky určením severního pólu k jižnímu pólu a bodů ${ displaystyle a_ {i}}$ s ${ displaystyle a_ {i + q}}$ a ${ displaystyle a_ {i + 1}}$ s ${ displaystyle a_ {i + q + 1}}$. Výsledný prostor je homeomorfní s prostorem čočky ${ displaystyle L (p; q)}$.

Další související definicí je zobrazení plné koule jako následující plné bipyramid: zkonstruujte rovinný pravidelný p oboustranný polygon. Dejte dva body n a s přímo nad a pod středem mnohoúhelníku. Postavte bipyramid spojením každého bodu pravidelného p jednostranný polygon na n a s. Vyplňte bipyramid, aby byl pevný, a dejte trojúhelníkům na hranici stejnou identifikaci jako výše.

Klasifikace trojrozměrných prostorů pro čočky

Klasifikace až po homeomorfismus a homotopickou ekvivalenci jsou známy následovně. Trojrozměrné prostory ${ displaystyle L (p; q_ {1})}$ a${ displaystyle L (p; q_ {2})}$ jsou:

1. ekvivalent homotopy právě tehdy ${ displaystyle q_ {1} q_ {2} equiv pm n ^ {2} { pmod {p}}}$ pro některé ${ displaystyle n in mathbb {N}}$;
2. homeomorfní právě tehdy ${ displaystyle q_ {1} equiv pm q_ {2} ^ { pm 1} { pmod {p}}}$.

V tomto případě jsou „zjevně“ homeomorfní, protože lze snadno vytvořit homeomorfismus. Je těžší ukázat, že se jedná o jediné homeomorfní prostory čoček.

Invariant, který dává klasifikaci homotopy trojrozměrných prostorů čoček, je torzní spojovací formulář.

Klasifikace homeomorfismu je jemnější a je dána Reidemeister torze. To bylo uvedeno v (Reidemeister 1935 ) jako klasifikace do PL homeomorfismus, ale bylo zobrazeno v (Brody 1960 ) být klasifikací homeomorfismu. V moderních termínech jsou prostory čoček určeny jednoduchý homotopy typu a neexistují žádné normální invarianty (jako charakteristické třídy ) nebo chirurgická obstrukce.

A teoretický uzel klasifikace je uvedena v (Przytycki a Yasuhara 2003 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFPrzytyckiYasuhara2003 (Pomoc):nechat C být uzavřená křivka v prostoru pro čočky, která se zvedne na uzel v univerzálním krytu prostoru pro čočky. Pokud má zvednutý uzel triviální Alexanderův polynom, spočítejte torzní spojovací formu na páru (C, C) - pak to dá klasifikaci homeomorfismu.

Dalším invariantem je homotopy typu konfigurační prostory – (Salvatore & Longoni 2004 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFSalvatoreLongoni2004 (Pomoc) ukázal, že ekvivalent homotopy, ale ne homeomorfní prostory čoček, mohou mít konfigurační prostory s různými typy homotopy, které lze detekovat různými Produkty Massey.

Viz také

• Sférické 3-potrubí

Reference

• Glen Bredon, Topologie a geometrieSpringer Graduate Texts in Mathematics 139, 1993.
• Brody, E. J. (1960), „Topologická klasifikace prostorů čoček“, Annals of Mathematics, 2, 71 (1): 163–184, doi:10.2307/1969884, JSTOR  1969884
• Allen Hatcher, Algebraická topologie, Cambridge University Press, 2002.
• Allen Hatcher, Poznámky k základní 3-varietní topologii. (Vysvětluje klasifikaci L (p, q) až do homeomorfismu.)
• Przytycki, Józef H.; Yasukhara, Akira (2003), „Symetrie odkazů a klasifikace prostorů objektivu“, Geometriae Dedicata, 98 (1): 57–61, doi:10.1023 / A: 10240, PAN  1988423
• Reidemeister, Kurt (1935), „Homotopieringe und Linsenräume“, Abh. Matematika. Sem. Univ. Hamburg, 11 (1): 102–109, doi:10.1007 / BF02940717
• Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo (2005), „Konfigurační prostory nejsou homotopy invariantní“, Topologie, 44 (2): 375–380, arXiv:matematika / 0401075, doi:10.1016 / j.top.2004.11.002
• H. Seifert a W. Threlfall, Učebnice topologie Čistá a aplikovaná matematika 89, přeloženo z německého vydání z roku 1934, Academic Press Inc. New York (1980)
• Heinrich Tietze, Ueber die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten, Monatsh. fuer Math. und Phys. 19, 1–118 (1908) (${ displaystyle S}$20) anglický překlad (2008) John Stillwell.
• Matthew Watkins, „Krátký průzkum prostorů objektivu“ (Vysokoškolská disertační práce z roku 1990)

externí odkazy

• Prostory objektivu v atlasu potrubí
• Objektivové prostory: historie v atlasu potrubí
• Falešné prostory pro čočky v atlasu potrubí