Icosian - Icosian
V matematice je icosians jsou specifická sada Hamiltonianů čtveřice se stejnou symetrií jako 600 buněk. Termín lze použít k označení dvou souvisejících, ale odlišných konceptů:
- The icosian skupina: a multiplikativní skupina 120 čtveřic, umístěných na vrcholech 600 buněk poloměru jednotky. Tato skupina je isomorfní s binární ikosaedrální skupina objednávky 120.
- The icosian prsten: všechny konečné součty 120 jednotkových icosianů.
Jednotka icosians
120 jednotkových icosianů, které tvoří icosianskou skupinu, jsou dokonce permutacemi:
- 8 ikosiánů ve tvaru ½ (± 2, 0, 0, 0)
- 16 Ikosianů ve tvaru ½ (± 1, ± 1, ± 1, ± 1)
- 96 ikosiánů formy ½ (0, ± 1, ±Φ, ±φ)
V tomto případě je vektor (A, b, C, d) odkazuje na čtveřici A + bi + Cj + dk, a Φ, φ představují čísla (√5 ± 1) / 2. Těchto 120 vektorů tvoří Kořenový systém H4, s Weylova skupina řádu 14400. Kromě 120 jednotkových ikosiánů tvořících vrcholy 600 buněk tvoří 600 ikosiánů normy 2 vrcholy a 120 buněk. Další podskupiny icosianů odpovídají tesseract, 16 buněk a 24článková.
Icosian prsten
Icosians leží v zlaté pole, (A + b√5) + (C + d√5)i + (E + F√5)j + (G + h√5)k, kde je osm proměnných racionální čísla. Tento čtveřice je pouze ikonický, pokud vektor (A, b, C, d, E, F, G, h) je bod na mřížce L, který je izomorfní s E8 mřížka.
Přesněji řečeno, čtvercovou normou výše uvedeného prvku je (A + b√5)2 + (C + d√5)2 + (E + F√5)2 + (G + h√5)2. Jeho euklidovská norma je definována jako u + proti pokud je čtvercová norma u + proti√5. Tato euklidovská norma definuje kvadratickou formu L, pod kterým je mřížka isomorfní s E8 mřížka.
Tato konstrukce ukazuje, že skupina Coxeter vloží jako podskupinu . Lineární izomorfismus, který zachovává normu čtveřic, také zachovává euklidovskou normu.
Reference
- John H. Conway, Neil Sloane: Sphere Packings, Lattices and Groups (2. vydání)
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss: Symetrie věcí (2008)
- Frans Marcelis Icosians a ADE
- Adam P. Goucher Dobré fibrace