Věta o krotkosti - Tameness theorem

v matematika, věta o krotkosti uvádí, že každý kompletní hyperbolický 3-potrubí s konečně vygenerovaným základní skupina je topologicky zkrotit, jinými slovy homeomorfní do interiéru a kompaktní 3-potrubí.

Věta o krotkosti byla domněnkou Marden (1974). Bylo prokázáno Agol (2004) a nezávisle na Danny Calegari a David Gabai. Je to jedna ze základních vlastností geometricky nekonečných hyperbolických 3-variet, společně s věta o hustotě pro Kleinianovy skupiny a koncová věta o laminaci To také znamená Ahlfors měří dohady.

Dějiny

Topologickou krutost lze chápat jako vlastnost končí potrubí, jmenovitě s místní strukturou produktu. Analogické tvrzení je dobře známé ve dvou dimenzích, tj. Pro povrchy. Nicméně, jako příklad Alexander rohatá koule ukazuje, že mezi 3-varietami jsou divoká vložení, takže tato vlastnost není automatická.

Domněnku vznesl ve formě otázky Albert Marden, který dokázal, že jakýkoli geometricky konečný hyperbolický 3-potrubí je topologicky krotký. Domněnka byla také nazývána Marden dohad nebo krotké dohady.

Než byla domněnka vyřešena, došlo k trvalému pokroku v porozumění krotkosti. Částečné výsledky byly získány Thurston Brock, Bromberg, Canary, Evans, Minsky, Ohshika.[Citace je zapotřebí ] Důležitou dostatečnou podmínku pro zkrocení, pokud jde o rozštěpení základní skupiny, získala společnost Bonahon.[Citace je zapotřebí ]

Domněnku v roce 2004 prokázal Ian Agol, a nezávisle, Danny Calegari a David Gabai. Důkaz společnosti Agol se spoléhá na použití rozdělovačů sevřeného záporného zakřivení a na Canaryho triku „diskbustování“, který umožňuje nahradit stlačitelný konec nestlačitelným koncem, což již bylo prokázáno. Důkaz Calegari – Gabai je zaměřen na existenci určitých uzavřených, pozitivně zakřivených povrchů, které nazývají „smršťovací“.

Reference

  • Agol, Iane (2004), Krocení hyperbolických 3-variet, arXiv:math.GT/0405568.
  • Calegari, Danny; Gabai, David (2006), „Shrinkwrapping and the twing of hyperbolic 3-manifolds“, Journal of the American Mathematical Society, 19 (2): 385–446, arXiv:matematika / 0407161, doi:10.1090 / S0894-0347-05-00513-8, PAN  2188131.
  • Gabai, David (2009), „Hyperbolická geometrie a topologie se třemi potrubími“, v Mrowka, Tomasz S.; Ozsváth, Peter S. (eds.), Nízkorozměrná topologie, IAS / Park City Math. Ser., 15„Providence, R.I .: American Mathematical Society, s. 73–103, PAN  2503493
  • Mackenzie, Dana (2004), „Zkrocení hyperbolické džungle prořezáním jejích nepoddajných okrajů“, Věda, 306 (5705): 2182–2183, doi:10.1126 / science.306.5705.2182, PMID  15618501.
  • Marden, Albert (1974), „Geometrie konečně generovaných kleinianských skupin“, Annals of Mathematics, Druhá série, 99: 383–462, doi:10.2307/1971059, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971059, PAN  0349992, Zbl  0282.30014
  • Marden, Albert (2007), Vnější kruhy: Úvod do hyperbolických 3-variet, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-83974-7, PAN  2355387.