Schottkyho skupina - Schottky group

Základní doména 3-generátorové skupiny Schottky

v matematika, a Schottkyho skupina je zvláštní druh Kleinianova skupina, nejprve studoval Friedrich Schottky  (1877 ).

Definice

Opravte nějaký bod p na Riemannova koule. Každý Jordanova křivka neprochází p rozděluje Riemannovu kouli na dvě části a my ji nazýváme ta, která obsahuje p „vnějšek“ křivky a druhý kus v jeho „vnitřku“. Předpokládejme, že jsou 2G disjunktní Jordan křivky A₁, B₁,..., A_G, B_G v Riemannově sféře s nesouvislými interiéry. Pokud existují Möbiovy transformace T_i brát ven z A_i na vnitřní stranu B_i, pak skupina generovaná těmito transformacemi je a Kleinianova skupina. A Schottkyho skupina je jakákoli Kleinian skupina, kterou lze takto konstruovat.

Vlastnosti

Podle práce Maskit (1967), konečně generovaná Kleinianova skupina je Schottky, právě když je definitivně generováno, volný, uvolnit, má neprázdnou doménu diskontinuity a všechny netriviální prvky jsou loxodromní.

Základní doména pro činnost skupiny Schottky G na jeho pravidelných bodech Ω (G) v Riemannově sféře je dán vnějškem jordánských křivek, které ji definují. Odpovídající kvocientový prostor Ω (G)/G je dán spojením jordánských křivek v párech, stejně tak kompaktní Riemannova plocha rodu G. Toto je hranice 3-násobku daná převzetím kvocientu (H∪Ω (G))/G 3-dimenzionální hyperbolické H prostor plus běžná množina Ω (G) skupinou Schottky G, což je řídítka rodu G. Naopak jakýkoli kompaktní Riemannův povrch rodu G lze získat z nějaké skupiny Schottky rodu G.

Klasické a neklasické Schottkyho skupiny

Schottkyho skupina se nazývá klasický pokud lze všechny nesouvislé Jordanovy křivky odpovídající nějaké sadě generátorů zvolit jako kruhy. Marden (1974, 1977 ) poskytl nepřímý a nekonstruktivní důkaz o existenci neklasických Schottkyho skupin a Yamamoto (1991) uvedl explicitní příklad jednoho. Ukázalo se to Doyle (1988) že všechny konečně generované klasické Schottkyho skupiny mají limitní množiny Hausdorffovy dimenze ohraničené výše striktně univerzální konstantou menší než 2. Naopak, Hou (2010) dokázal, že existuje univerzální dolní mez na Hausdorffově dimenzi limitních sad všech neklasických Schottkyho skupin.

Omezit sady Schottkyho skupin

Omezení skupiny Schottky (Kleinian) nastaveno v rovině

The nastaven limit skupiny Schottky, doplněk Ω (G), vždy má Lebesgueovo opatření nula, ale může mít kladné hodnoty d-dimenzionální Hausdorffovo opatření pro d <2. Je perfektní a nikde hustý s pozitivní logaritmickou kapacitou.

Prohlášení o Lebesgueových opatřeních vyplývá pro klasické Schottkyho skupiny z existence Poincaré série

${displaystyle displaystyle {P (z) = součet (c_ {i} z + d_ {i}) ^ {- 4}.}}$

Poincaré ukázal, že série | C_i |⁻⁴ je sumarizovatelný nad prvky neidentity skupiny. Ve skutečnosti vezmeme uzavřený disk uvnitř základní domény, jeho obrazy pod různými prvky skupiny jsou disjunktní a obsažené v pevném disku kolem 0. Takže součty oblastí jsou konečné. Podle vzorce změn proměnných je oblast větší než konstantní časy | C_i |⁻⁴.^[1]

Podobný argument naznačuje, že nastavený limit má Lebesgueovu míru nula.^[2] Je obsažen v doplňku sjednocení obrazů základní oblasti pomocí skupinových prvků s ohraničením délky slova n. Toto je konečná unie kruhů, takže má konečnou oblast. Tato oblast je ohraničena výše konstantním časem příspěvku k Poincarému součtu prvků délky slova n, takže klesá na 0.

Schottkyho prostor

Schottkyho prostor (nějakého rodu G ≥ 2) je prostor označených Schottkyho skupin rodu G, jinými slovy prostor množin G prvky PSL₂(C), které generují Schottkyho skupinu, až do ekvivalence při Möbiově transformaci (Bers 1975 ). Jedná se o komplexní rozmanitost komplexní dimenze 3G-3. Obsahuje klasický Schottkyho prostor jako podmnožinu odpovídající klasickým Schottkyho skupinám.

Schottkyho prostor rodu G není jednoduše spojen obecně, ale jeho univerzální krycí prostor lze identifikovat Teichmüllerův prostor kompaktního rodu G Riemannovy povrchy.

Viz také

• Beltramiho rovnice

Poznámky

Reference

• Akaza, Tohru (1964), "Poincaré theta seriál a singulární sady Schottkyho skupin", Nagojská matematika. J., 24: 43–65
• Bers, Lipman (1975), „Automorfní formy pro Schottkyho skupiny“, Pokroky v matematice, 16: 332–361, doi:10.1016/0001-8708(75)90117-6, ISSN  0001-8708, PAN  0377044
• Chuckrow, Vicki (1968), „On Schottky groups with applications to kleinian groups“, Annals of Mathematics, Druhá série, 88: 47–61, doi:10.2307/1970555, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970555, PAN  0227403
• Doyle, Peter (1988), „Na basovou notu skupiny Schottky“, Acta Mathematica, 160: 249–284, doi:10.1007 / bf02392277, PAN  0945013
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen. (v němčině), Lipsko: B. G. Teubner, ISBN  978-1-4297-0551-6, JFM  28.0334.01
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen. (v němčině), Lipsko: B. G. Teubner., ISBN  978-1-4297-0552-3, JFM  32.0430.01
• Gilman, Jane, Průzkum skupin Schottky (PDF)
• Hou, Yong (2010), „Kleinianovy skupiny malé Hausdorffovy dimenze jsou klasické Schottkyho skupiny I“, Geometrie a topologie, 14: 473–519, arXiv:matematika / 0610458, doi:10.2140 / gt.2010.14.473
• Hou, Yong, Všechny konečně generované Kleinianovy skupiny malé Hausdorffovy dimenze jsou klasické Schottkyho skupiny, arXiv:1307.2677, Bibcode:2013arXiv1307.2677H
• Jørgensen, T .; Marden, A .; Maskit, Bernard (1979), „Hranice klasického Schottkyho prostoru“, Duke Mathematical Journal, 46 (2): 441–446, doi:10.1215 / s0012-7094-79-04619-2, ISSN  0012-7094, PAN  0534060
• Lehner, Joseph (1964), Diskontinuální skupiny a automorfní funkceMatematické průzkumy a monografie 8Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-1508-3
• Marden, Albert (1974), „Geometrie konečně generovaných kleinianských skupin“, Annals of Mathematics, Druhá série, 99: 383–462, doi:10.2307/1971059, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971059, PAN  0349992, Zbl  0282.30014
• Marden, A. (1977), „Geometricky konečné Kleinianovy skupiny a jejich deformační prostory“, Harvey, W. J. (ed.), Diskrétní skupiny a automorfní funkce (Proc. Conf., Cambridge, 1975), Boston, MA: Akademický tisk, str. 259–293, ISBN  978-0-12-329950-5, PAN  0494117
• Maskit, Bernard (1967), „Charakterizace Schottkyho skupin“, Journal d'Analyse Mathématique, 19: 227–230, doi:10.1007 / BF02788719, ISSN  0021-7670, PAN  0220929
• Maskit, Bernard (1988), Kleinianské skupiny Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 287, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-17746-3, PAN  0959135
• David Mumford, Caroline Series a David Wright, Indrovy perly: Vize Felixe Kleina, Cambridge University Press, 2002 ISBN  0-521-35253-3
• Schottky, F. (1877), „Ueber die conforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Flächen“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 83: 300–351, doi:10,1515 / crll.1877,83,300, ISSN  0075-4102
• Yamamoto, Hiro-o (1991), „Příklad neklasické skupiny Schottky“, Duke Mathematical Journal, 63 (1): 193–197, doi:10.1215 / S0012-7094-91-06308-8, ISSN  0012-7094, PAN  1106942

externí odkazy

• Tři transformace generující skupinu Schottky z (Fricke & Klein 1897, str. 442).