Věta o hyperbolizaci - Hyperbolization theorem - Wikipedia

v geometrie, Thurston věta o geometrizaci nebo věta o hyperbolizaci znamená, že uzavřený atoroidní Haken potrubí jsou hyperbolické a zejména uspokojují Thurstonova domněnka.

Prohlášení

Jedna forma Thurstonovy věty o geometrizaci říká: If M je kompaktní neredukovatelné atoroidní Hakenovo potrubí, jehož hranice má nulu Eulerova charakteristika, pak interiér M má úplnou hyperbolickou strukturu konečného objemu.

The Věta věty o rigiditě znamená, že pokud potrubí o rozměrech alespoň 3 má hyperbolickou strukturu konečného objemu, pak je v zásadě jedinečné.

Podmínky, které potrubí M by měly být neredukovatelné a atoroidní jsou nezbytné, protože hyperbolické potrubí mají tyto vlastnosti. Podmínka, aby potrubí bylo Haken, je však zbytečně silná. Thurstonova hyperbolizační domněnka uvádí, že uzavřený neredukovatelný atoroidní 3-variátor s nekonečnou základní skupinou je hyperbolický, což vyplývá z Perelmanova důkazu Thurstonovy geometrizační domněnky.

Rozdělovače s ohraničením

Thurston (1982, 2.3) ukázal, že pokud je kompaktní 3 potrubí primární, homotopicky atoroidní a má neprázdnou hranici, pak má úplnou hyperbolickou strukturu, pokud není homeomorfní pro určité potrubí (T²×[0,1])/Z/2Z s hranicíT².

Hyperbolická struktura na vnitřku kompaktního orientovatelného 3-potrubí má konečný objem právě tehdy, pokud jsou všechny hraniční složky tori, s výjimkou potrubí T²× [0,1], který má hyperbolickou strukturu, ale žádný konečného objemu (Thurston 1982, str. 359).

Důkazy

Thurston nikdy nezveřejnil úplný důkaz své věty z důvodů, které vysvětlil v (Thurston 1994 ), ačkoli části jeho argumentu obsahuje Thurston (1986, 1998a, 1998b ). Zeď (1984) a Morgan (1984) podal souhrny Thurstonových důkazů. Otal (1996) poskytl důkaz v případě potrubí, které vlákno přes kruh, a Otal (1998) a Kapovich (2009) poskytl důkazy pro obecný případ potrubí, která se nevláknou přes kruh. Thurstonova věta o geometrizaci také vyplývá z Perelmanova důkazního použití Ricciho tok obecnější Thurstonova domněnka o geometrizaci.

Rozdělovače, které vlákno přes kruh

Thurstonův původní argument pro tento případ shrnul Sullivan (1979) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFSullivan1979 (Pomoc). Otal (1996) poskytl důkaz v případě potrubí, které vlákno přes kruh.

Thurstonova věta o geometrizaci v tomto zvláštním případě uvádí, že pokud M je 3-potrubí, které vlákno přes kruh a jehož monodromy je a pseudo-Anosov difeomorfismus, pak vnitřek M má úplnou hyperbolickou metriku konečného objemu.

Rozdělovače, které nevlákají přes kruh

Otal (1998) a Kapovich (2009) poskytl důkazy o Thurstonově teorému pro obecný případ potrubí, která se nevlákají přes kruh.

Myšlenkou důkazu je snížit Hakenův potrubí M podél nestlačitelného povrchu k získání nového potrubí N. Indukcí se předpokládá, že vnitřek N má hyperbolickou strukturu a problém je upravit ji tak, aby ji bylo možné rozšířit až na hranici N a slepeny dohromady. Thurston ukázal, že to vyplývá z existence pevného bodu pro mapu Teichmullerova prostoru zvaného mapa kůže. Jádrem důkazu věty o geometrizaci je dokázat, že pokud N není intervalový svazek nad povrchem a M je atoroidní, pak má mapa stahování pevný bod. (Li N je intervalový svazek, pak mapa stahování nemá žádný pevný bod, a proto je potřeba samostatný argument, když M vlákna přes kruh.) McMullen (1990) poskytl nový důkaz o existenci pevného bodu mapy stahování.

Reference

• Kapovich, Michael (2009) [2001], Hyperbolická potrubí a diskrétní skupiny, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN  978-0-8176-4912-8, PAN  1792613
• McMullen, C. (1990), „Iterace v Teichmüllerově prostoru“, Inventiones Mathematicae, 99 (2): 425–454, Bibcode:1990InMat..99..425M, CiteSeerX  10.1.1.39.2226, doi:10.1007 / BF01234427, PAN  1031909
• Morgan, John W. (1984), „Podle Thurstonovy věty o uniformizaci trojrozměrných variet“, Morgan, John W .; Bass, Hyman (eds.), Smithova domněnka (New York, 1979), Pure Appl. Matematika., 112, Boston, MA: Akademický tisk, str. 37–125, ISBN  978-0-12-506980-9, PAN  0758464
• Otal, Jean-Pierre (1996), „Le théorème d'hyperbolisation pour les variétés fibrées de dimension 3“, Astérisque (235), PAN  1402300 Přeloženo do angličtiny jako Otal, Jean-Pierre (2001) [1996], Kay, Leslie D. (ed.), Věta o hyperbolizaci pro vláknitá 3-potrubí, Texty a monografie SMF / AMS, 7„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-2153-4, PAN  1855976
• Otal, Jean-Pierre (1998), „Thurstonova hyperbolizace Hakenových potrubí“ v Hsiung, C.-C .; Yau, Shing-Tung (eds.), Průzkumy v diferenciální geometrii, sv. III (Cambridge, MA, 1996), Int. Press, Boston, MA, str. 77–194, ISBN  978-1-57146-067-7, PAN  1677888, archivovány z originál dne 06.01.2011
• Sullivan, Dennis (1981), „Travaux de Thurston sur les groupes quasi-fuchsiens et les variétés hyperboliques de dimension 3 fibrées sur S¹", Bourbaki Seminar, sv. 1979/80, Poznámky k přednášce v matematice., 842, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 196–214, doi:10.1007 / BFb0089935, ISBN  978-3-540-10292-2, PAN  0636524
• Thurston, William P. (1982), „Trojrozměrná potrubí, Kleinianovy skupiny a hyperbolická geometrie“, Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 6 (3): 357–381, doi:10.1090 / S0273-0979-1982-15003-0, PAN  0648524 To dává původní tvrzení domněnky.
• Thurston, William P. (1986), "Hyperbolické struktury na 3-varietách. I. Deformace acylindrických variet", Annals of Mathematics, Druhá série, 124 (2): 203–246, arXiv:matematika / 9801019, doi:10.2307/1971277, JSTOR  1971277, PAN  0855294
• Thurston, William P. (1994), „O důkazech a pokroku v matematice“, Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 30 (2): 161–177, arXiv:matematika / 9404236, doi:10.1090 / S0273-0979-1994-00502-6, PAN  1249357
• Thurston, William P. (1998a) [1986], Hyperbolické struktury na 3-potrubí, II: Skupiny povrchů a 3-potrubí, které vlákno přes kruh, arXiv:matematika / 9801045, Bibcode:1998math ...... 1045T
• Thurston, William P. (1998b) [1986], Hyperbolické struktury na 3-potrubí, III: Deformace 3-potrubí s nestlačitelnou hranicí, arXiv:matematika / 9801058, Bibcode:1998math ...... 1058T
• Wall, C. T. C. (1984), „O díle W. Thurstona“, Ciesielski, Zbigniew; Olech, Czesław (eds.), Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1 (Varšava, 1983)Warszawa: PWN, s. 11–14, ISBN  978-83-01-05523-3, PAN  0804672

externí odkazy

• Kapovich, M., Věta o geometrizaci (PDF)