Prezentace monoidu - Presentation of a monoid

tento článek možná matoucí nebo nejasné čtenářům. Prosím, pomoz nám objasnit článek. O tom by mohla být diskuse diskusní stránka. (Březen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

tento článek potřebuje pozornost odborníka na matematiku. Přidejte prosím důvod nebo a mluvit parametr k této šabloně pro vysvětlení problému s článkem. Matematika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Únor 2009)

v algebra, a prezentace monoidu (nebo a prezentace poloskupiny) je popis a monoidní (nebo a poloskupina ) ve smyslu sady Σ generátorů a soubor vztahů k volný monoid Σ^∗ (nebo volná poloskupina Σ⁺) generované Σ. Monoid je pak prezentován jako kvocient volného monoidu (nebo volné poloskupiny) těmito vztahy. Toto je analogie a skupinová prezentace v teorie skupin.

Jako matematická struktura je monoidní prezentace totožná s a systém přepisování řetězců (také známý jako semi-Thue systém). Každý monoid může být prezentován systémem semi-Thue (pravděpodobně přes nekonečnou abecedu).^[1]

A prezentace by neměla být zaměňována s zastoupení.

Konstrukce

Vztahy jsou uvedeny jako (konečné) binární relace R na Σ^∗. Aby se vytvořil kvocient monoid, jsou tyto vztahy rozšířeny na monoidní kongruence jak následuje:

Nejprve vezmeme symetrický uzávěr R ∪ R⁻¹ z R. To se poté rozšíří na symetrický vztah E ⊂ Σ^∗ × Σ^∗ definováním X ~_E y kdyby a jen kdyby X = sut a y = svt pro některé struny u, proti, s, t ∈ Σ^∗ s (u,proti) ∈ R ∪ R⁻¹. Nakonec se vezme reflexivní a přechodné uzavření E, což je potom monoidní kongruence.

V typické situaci vztah R je jednoduše uveden jako sada rovnic, takže ${displaystyle R = {u_ {1} = v_ {1}, ldots, u_ {n} = v_ {n}}}$. Tak například

${displaystyle langle p, q, vert; pq = 1angle}$

je rovnicová prezentace pro bicyklický monoid, a

${displaystyle langle a, b, vert; aba = baa, bba = babangle}$

je plaktický monoid stupně 2 (má nekonečné pořadí). Prvky tohoto plaktického monoidu lze psát jako ${displaystyle a ^ {i} b ^ {j} (ba) ^ {k}}$ pro celá čísla i, j, k, jak to ukazují vztahy ba dojíždí s oběma A a b.

Inverzní monoidy a poloskupiny

Prezentace inverzních monoidů a poloskupin lze definovat podobným způsobem pomocí dvojice

${displaystyle (X; T)}$

kde

${displaystyle (Xcup X ^ {- 1}) ^ {*}}$

je zdarma monoid s involucí na ${displaystyle X}$, a

${displaystyle Tsubseteq (Xcup X ^ {- 1}) ^ {*} imes (Xcup X ^ {- 1}) ^ {*}}$

je binární vztah mezi slovy. Označujeme ${displaystyle T ^ {mathrm {e}}}$ (příslušně) ${displaystyle T ^ {mathrm {c}}}$) vztah ekvivalence (respektive shoda ) generované T.

Tuto dvojici objektů používáme k definování inverzního monoidu

${displaystyle mathrm {Inv} ^ {1} jazyk X | Tangle.}$

Nechat ${displaystyle ho _ {X}}$ být Wagnerova shoda na ${displaystyle X}$, definujeme inverzní monoid

${displaystyle mathrm {Inv} ^ {1} jazyk X | Tangle}$

prezentovány podle ${displaystyle (X; T)}$ tak jako

${displaystyle mathrm {Inv} ^ {1} langle X | Tangle = (Xcup X ^ {- 1}) ^ {*} / (Tcup ho _ {X}) ^ {mathrm {c}}.}$

V předchozí diskusi, pokud nahradíme všude ${displaystyle ({Xcup X ^ {- 1}}) ^ {*}}$ s ${displaystyle ({Xcup X ^ {- 1}}) ^ {+}}$ získáme a prezentace (pro inverzní poloskupinu) ${displaystyle (X; T)}$ a inverzní poloskupinu ${displaystyle mathrm {Inv} jazyk X | Tangle}$ prezentovány podle ${displaystyle (X; T)}$.

Triviálním, ale důležitým příkladem je zdarma inverzní monoid (nebo bezplatná inverzní poloskupina) zapnuto ${displaystyle X}$, to je obvykle označeno ${displaystyle mathrm {FIM} (X)}$ (příslušně) ${displaystyle mathrm {FIS} (X)}$) a je definován

${displaystyle mathrm {FIM} (X) = mathrm {Inv} ^ {1} langle X | varnothing angle = ({Xcup X ^ {- 1}}) ^ {*} / ho _ {X},}$

nebo

${displaystyle mathrm {FIS} (X) = mathrm {Inv} langle X | varnothing angle = ({Xcup X ^ {- 1}}) ^ {+} / ho _ {X}.}$

Poznámky

Reference

• John M. Howie, Základy teorie poloskupin (1995), Clarendon Press, Oxford ISBN  0-19-851194-9
• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Michalev, Monoidy, akty a kategorie s aplikacemi na věnování produktů a grafů, De Gruyter Expositions in Mathematics sv. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN  3-11-015248-7.
• Kniha Ronald V. a Friedrich Otto, Systémy přepisování řetězcůSpringer, 1993, ISBN  0-387-97965-4, kapitola 7, "Algebraické vlastnosti"