Kleene algebra - Kleene algebra
v matematika, a Kleene algebra (/ˈkleɪni/ HRAJ-rozená; pojmenoval podle Stephen Cole Kleene ) je idempotent (a tedy částečně seřazený) semiring obdařen a operátor uzavření.[1] Zobecňuje operace známé z regulární výrazy.
Definice
V literatuře jsou uvedeny různé nerovnoměrné definice Kleeneových algeber a příbuzných struktur.[2] Zde uvedeme definici, která se v dnešní době jeví jako nejběžnější.
Kleeneova algebra je a soubor A společně se dvěma binární operace + : A × A → A a · : A × A → A a jedna funkce * : A → A, psáno jako A + b, ab a A* respektive, aby byly splněny následující axiomy.
- Asociativita z + a ·: A + (b + C) = (A + b) + C a A(před naším letopočtem) = (ab)C pro všechny A, b, C v A.
- Komutativita z +: A + b = b + A pro všechny A, b v A
- Distribuce: A(b + C) = (ab) + (ac) a (b + C)A = (ba) + (ca.) pro všechny A, b, C v A
- Prvky identity pro + a ·: V prvku existuje prvek 0 A takové, že pro všechny A v A: A + 0 = 0 + A = A. Existuje prvek 1 v A takové, že pro všechny A v A: A1 = 1A = A.
- Zničení od 0: A0 = 0A = 0 pro všechny A v A.
Výše uvedené axiomy definují a semiring. Dále požadujeme:
- + je idempotentní: A + A = A pro všechny A v A.
Nyní je možné definovat a částečná objednávka ≤ zapnuto A nastavením A ≤ b kdyby a jen kdyby A + b = b (nebo ekvivalentně: A ≤ b pouze tehdy, pokud existuje X v A takhle A + X = b; s jakoukoli definicí, A ≤ b ≤ A naznačuje A = b). S tímto řádem můžeme formulovat poslední čtyři axiomy o operaci *:
- 1 + A(A*) ≤ A* pro všechny A v A.
- 1 + (A*)A ≤ A* pro všechny A v A.
- -li A a X jsou v A takhle sekera ≤ X, pak A*X ≤ X
- -li A a X jsou v A takhle xa ≤ X, pak X(A*) ≤ X [3]
Intuitivně by se mělo myslet A + b jako „unie“ nebo „nejmenší horní hranice“ A a b a ze dne ab jako nějaké násobení, které je monotóní, V tom smyslu, že A ≤ b naznačuje sekera ≤ bx. Myšlenka hvězdného operátora je A* = 1 + A + aa + aaa + ... Z hlediska teorie programovacího jazyka, jeden může také interpretovat + jako „výběr“, · jako „sekvenování“ a * jako „iterace“.
Příklady
Kleene algebry a | + | · | * | 0 | 1 |
---|---|---|---|---|---|
Regulární výrazy | | | nenapsáno | * | ∅ | ε |
Nechť Σ je konečná množina („abeceda“) a nechť A být množinou všeho regulární výrazy přes Σ. Považujeme dva takové regulární výrazy za rovnocenné, pokud popisují stejný Jazyk. Pak A tvoří Kleene algebru. Ve skutečnosti se jedná o volný, uvolnit Kleeneova algebra v tom smyslu, že jakákoli rovnice mezi regulárními výrazy vyplývá z Kleeneových algebraických axiomů, a proto platí v každé Kleeneově algebře.
Opět nechť Σ být abeceda. Nechat A být množinou všeho běžné jazyky nad Σ (nebo množina všech bezkontextové jazyky nad Σ; nebo soubor všech rekurzivní jazyky nad Σ; nebo soubor Všechno jazycích nad Σ). Pak svaz (psáno jako +) a zřetězení (psáno jako ·) dvou prvků A opět patří Aa stejně tak Kleene hvězda operace aplikovaná na jakýkoli prvek A. Získáváme Kleene algebru A přičemž 0 je prázdná sada a 1 je sada, která obsahuje pouze prázdný řetězec.
Nechat M být monoidní s prvkem identity E a nechte A být množinou všeho podmnožiny z M. Pro dvě takové podmnožiny S a T, nechť S + T být svazkem S a T a nastavit SVATÝ = {Svatý : s v S a t v T}. S* je definován jako submonoid z M generováno uživatelem S, které lze popsat jako {E} ∪ S ∪ SS ∪ SSS ∪ ... Pak A tvoří Kleeneovu algebru, kde 0 je prázdná množina a 1 je {E}. Analogickou konstrukci lze provést pro jakýkoli malý kategorie.
The lineární podprostory jednoty algebra nad polem tvoří Kleene algebru. Vzhledem k lineárním podprostorům PROTI a Ž, definovat PROTI + Ž bude součtem dvou podprostorů a 0 bude triviálním podprostorem {0}. Definovat PROTI · Ž = span {v · w | v ∈ V, w ∈ W} lineární rozpětí produktu vektorů z PROTI a Ž resp. Definujte 1 = span {I}, rozpětí jednotky algebry. Uzavření PROTI je přímý součet všech pravomocí PROTI.
Předpokládat M je sada a A je množina všech binární vztahy na M. Brát + být unií, · být složením a * být reflexní přechodné uzavření, získáme Kleeneovu algebru.
Každý Booleova algebra s operacemi a proměníme se v Kleeneovu algebru, pokud použijeme pro +, pro · a nastavit A* = 1 pro všechny A.
K implementaci lze použít zcela jinou Kleeneovu algebru Floyd – Warshallův algoritmus, výpočet nejkratší délka cesty za každé dva vrcholy a vážený směrovaný graf tím, že Kleenův algoritmus, výpočet regulárního výrazu pro každé dva stavy a deterministický konečný automat.Za použití prodloužená řada reálných čísel, vzít A + b být minimem A a b a ab být běžný součet A a b (přičemž součet + ∞ a −∞ je definován jako + ∞). A* je definováno jako skutečné číslo nula pro nezáporné A a −∞ pro záporné A. Toto je Kleeneova algebra s nulovým prvkem + ∞ a jedním prvkem se skutečným číslem nula. Vážený směrovaný graf lze poté považovat za deterministický konečný automat, přičemž každý přechod je označen jeho váhou. U libovolných dvou uzlů grafu (stavy automatu) regulární výrazy vypočítané z Kleeneova algoritmu vyhodnotí v této konkrétní Kleeneově algebře nejkratší délka cesty mezi uzly.[4]
Vlastnosti
Nula je nejmenší prvek: 0 ≤ A pro všechny A v A.
Součet A + b je nejmenší horní mez z A a b: my máme A ≤ A + b a b ≤ A + b a pokud X je prvek A s A ≤ X a b ≤ X, pak A + b ≤ X. Podobně, A1 + ... + An je nejmenší horní mez prvků A1, ..., An.
Násobení a sčítání jsou monotónní: pokud A ≤ b, pak
- A + X ≤ b + X,
- sekera ≤ bx, a
- xa ≤ xb
pro všechny X v A.
Pokud jde o hvězdnou operaci, máme
- 0* = 1 a 1* = 1,
- A ≤ b naznačuje A* ≤ b* (monotónnost),
- An ≤ A* pro každé přirozené číslo n, kde An je definován jako n-násobné násobení A,
- (A*)(A*) = A*,
- (A*)* = A*,
- 1 + A(A*) = A* = 1 + (A*)A,
- sekera = xb naznačuje (A*)X = X(b*),
- ((ab)*)A = A((ba)*),
- (A+b)* = A*(b(A*))*, a
- pq = 1 = qp naznačuje q(A*)str = (qap)*.[5]
Li A je Kleeneova algebra a n je přirozené číslo, pak lze uvažovat množinu M.n(A) skládající se ze všech n-podle-n matice se záznamy v APomocí běžných pojmů sčítání a násobení matic lze definovat jedinečnou *- operace tak, aby Mn(A) se stává Kleeneovou algebrou.
Dějiny
Kleene představil regulární výrazy a dal některé ze svých algebraických zákonů.[6][7]Ačkoli nedefinoval Kleene algebry, požádal o rozhodovací postup pro rovnocennost regulárních výrazů.[8]Redko dokázal, že žádná konečná sada rovný axiomy mohou charakterizovat algebru regulárních jazyků.[9]Salomaa dal úplnou axiomatizaci této algebry, avšak v závislosti na problematických pravidlech odvození.[10]Problém poskytnutí úplné sady axiomů, který by umožňoval odvození všech rovnic mezi regulárními výrazy, intenzivně studoval John Horton Conway pod jménem pravidelné algebry,[11] převážná část jeho léčby však byla nekonečná. v roce 1981 Kozen dal úplný nekonečný rovnický deduktivní systém pro algebru regulárních jazyků.[12]V roce 1994 dal výše konečný axiomový systém, který používá bezpodmínečné a podmíněné rovnosti,[13] a je rovnicně kompletní pro algebru regulárních jazyků, tj. dva regulární výrazy A a b označují stejný jazyk, pouze pokud A=b vyplývá z výše axiomy.[14]
Zobecnění (nebo vztah k jiným strukturám)
Kleene algebry jsou zvláštním případem uzavřené semirings, také zvaný kvazi-pravidelné semirings nebo Lehmann semirings, což jsou semirings, ve kterých má každý prvek alespoň jednu kvaziinverzi splňující rovnici: a * = aa * + 1 = a * a + 1. Tato kvaziinverze nemusí být nutně jedinečná.[15][16] V Kleene algebře je * nejmenší řešení fixní bod rovnice: X = aX + 1 a X = Xa + 1.[16]
V uzavřených semirings a Kleene algebry se objeví problémy algebraické cesty, zobecnění nejkratší cesta problém.[16]
Viz také
Poznámky a odkazy
![]() | Tato část může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: tyto smíchejteSrpna 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
- ^ Marc Pouly; Jürg Kohlas (2011). Obecná inference: Sjednocující teorie pro automatické uvažování. John Wiley & Sons. p. 246. ISBN 978-1-118-01086-0.
- ^ Pro průzkum viz: Kozen, Dexter (1990). „Na Kleene algebry a uzavřené semirings“ (PDF). V Rovan, Branislav (ed.). Matematické základy počítačové vědy, Proc. 15th Symp., MFCS '90, Banská Bystrica / Czech. 1990. Poznámky k přednášce Informatika. 452. Springer-Verlag. 26–47. Zbl 0732.03047.
- ^ Kozen (1990), oddíl 2.1, s. 3
- ^ Gross, Jonathan L .; Yellen, Jay (2003), Příručka teorie grafů, Diskrétní matematika a její aplikace, CRC Press, s. 65, ISBN 9780203490204.
- ^ Kozen (1990), oddíl 2.1.1, s. 5
- ^ S.C.Kleene (prosinec 1951). Zastoupení událostí v nervových sítích a konečných automatech (PDF) (Technická zpráva). US Air Force / RAND Corporation. p. 98. RM-704. Zde: oddíl 7.2, s. 52
- ^ Kleene, Stephen C. (1956). „Reprezentace událostí v nervových sítích a konečných automatech“ (PDF). Automata Studies, Annals of Mathematical Studies. Princeton Univ. Lis. 34. Zde: oddíl 7.2, s. 26-27
- ^ Kleene (1956), s. 35
- ^ V.N. Redko (1964). „O definování vztahů pro algebru pravidelných událostí“ (PDF). Ukrainskii Matematicheskii Zhurnal . 16 (1): 120–126. (V Rusku)
- ^ Arto Salomaa (Leden 1966). „Dva kompletní systémy axiomu pro algebru pravidelných událostí“ (PDF). Deník ACM. 13 (1): 158–169. doi:10.1145/321312.321326.
- ^ Conway, J.H. (1971). Pravidelné algebry a konečné stroje. London: Chapman and Hall. ISBN 0-412-10620-5. Zbl 0231.94041. Kap.IV.
- ^ Dexter Kozen (1981). „Na indukci vs. *-kontinuita" (PDF). V Dexter Kozen (ed.). Proc. Workshop Logika programů. Přednáška Poznámky ve výpočtu. Sci. 131. Springer. 167–176.
- ^ s ohledem na A≤b jako zkratka pro A+b=b
- ^ Dexter Kozen (květen 1994). „Věta o úplnosti pro Kleene Algebras a algebru pravidelných událostí“ (PDF). Informace a výpočet. 110 (2): 366–390. doi:10.1006 / inco.1994.1037. - Starší verze vypadala jako: Dexter Kozen (květen 1990). Věta o úplnosti pro Kleene Algebras a algebru pravidelných událostí (Technická zpráva). Cornell. p. 27. TR90-1123.
- ^ Jonathan S. Golan (30. června 2003). Semirings a afinní rovnice nad nimi. Springer Science & Business Media. str. 157–159. ISBN 978-1-4020-1358-4.
- ^ A b C Marc Pouly; Jürg Kohlas (2011). Obecná inference: Sjednocující teorie pro automatické uvažování. John Wiley & Sons. 232 a 248. ISBN 978-1-118-01086-0.
Další čtení
- Peter Höfner (2009). Algebraické kalkly pro hybridní systémy. BoD - Books on Demand. s. 10–13. ISBN 978-3-8391-2510-6. Úvod této knihy hodnotí pokroky v oblasti Kleeneovy algebry dosažené za posledních 20 let, které nejsou zmíněny výše v článku.