Sierpińského trojúhelník - Sierpiński triangle



The Sierpińského trojúhelník (někdy hláskováno Sierpinski), také nazývaný Sierpiński těsnění nebo Sierpińského síto, je fraktální atraktivní pevná sada s celkovým tvarem rovnostranný trojúhelník, rozdělil rekurzivně do menších rovnostranných trojúhelníků. Původně konstruovaný jako křivka, je to jeden ze základních příkladů podobný množiny - to znamená, že se jedná o matematicky generovaný vzor, který je reprodukovatelný při jakémkoli zvětšení nebo zmenšení. Je pojmenován po polština matematik Wacław Sierpiński, ale jako dekorativní vzor se objevil mnoho století před prací Sierpińského.[1][2]
Stavby
Existuje mnoho různých způsobů konstrukce Sierpinského trojúhelníku.
Odstranění trojúhelníků

Sierpinského trojúhelník může být sestaven z rovnostranný trojúhelník opakovaným odstraněním trojúhelníkových podmnožin:
- Začněte rovnostranným trojúhelníkem.
- Rozdělte jej na čtyři menší shodné rovnostranné trojúhelníky a odstraňte centrální trojúhelník.
- Opakujte krok 2 s každým ze zbývajících menších trojúhelníků nekonečně.
Každý odstraněný trojúhelník (a trema) je topologicky an otevřená sada.[3]Tento proces rekurzivního odstraňování trojúhelníků je příkladem a pravidlo konečného dělení.
Zmenšování a duplikace
Stejnou posloupnost tvarů, konvergujících k Sierpinského trojúhelníku, lze alternativně vygenerovat následujícími kroky:
- Začněte libovolným trojúhelníkem v rovině (jakákoli uzavřená ohraničená oblast v rovině bude skutečně fungovat). Kanonický Sierpinského trojúhelník používá rovnostranný trojúhelník se základnou rovnoběžnou s vodorovnou osou (první obrázek).
- Zmenšete trojúhelník na 1/2 výška a 1/2 šířku, vytvořte tři kopie a umístěte tři zmenšené trojúhelníky tak, aby se každý trojúhelník dotýkal dvou dalších trojúhelníků v rohu (obrázek 2). Všimněte si vzniku střední díry - protože tři zmenšené trojúhelníky mohou mezi nimi zakrývat pouze 3/4 plochy originálu. (Otvory jsou důležitým rysem Sierpinského trojúhelníku.)
- Opakujte krok 2 s každým z menších trojúhelníků (obrázek 3 atd.).
Všimněte si, že tento nekonečný proces nezávisí na tom, že počáteční tvar je trojúhelník - je to tak jasnější. Prvních několik kroků začínajících například od čtverce má také tendenci k Sierpinského trojúhelníku. Michael Barnsley použil obrázek ryby, aby to ilustroval ve svém příspěvku „Fraktály a superfraktály s proměnnými V“.[4][5]

Skutečný fraktál je to, co by bylo získáno po nekonečném počtu iterací. Více formálně to jeden popisuje z hlediska funkcí na uzavřených množinách bodů. Pokud to necháme dA označit dilataci faktorem 1/2 kolem bodu A, pak je Sierpinského trojúhelník s rohy A, B a C pevnou sadou transformace dA ∪ dB ∪ dC.
Tohle je atraktivní pevná sada, takže když se operace opakovaně aplikuje na jakoukoli jinou sadu, obrazy se sbíhají na Sierpinského trojúhelník. To se děje s trojúhelníkem výše, ale stačila by jakákoli jiná množina.
Hra chaosu

Pokud někdo vezme bod a použije každou z transformací dA, dB, a dC náhodně budou výsledné body husté v Sierpinského trojúhelníku, takže následující algoritmus k němu opět vygeneruje libovolně blízké aproximace:[6]
Začněte označováním p1, p2 a p3 jako rohy Sierpinského trojúhelníku a náhodný bod proti1. Soubor protin+1 = 1/2(protin + prn), kde rn je náhodné číslo 1, 2 nebo 3. Nakreslete body proti1 na proti∞. Pokud je první bod proti1 byl bod na Sierpińského trojúhelníku, pak všechny body protin leží na Sierpinského trojúhelníku. Pokud je první bod proti1 ležet v obvodu trojúhelníku není bod na Sierpinského trojúhelníku, žádný z bodů protin budou ležet na Sierpinského trojúhelníku, ale budou se sbíhat na trojúhelníku. Li proti1 je mimo trojúhelník, jediný způsob protin přistane na skutečném trojúhelníku, je-li protin je na tom, co by bylo součástí trojúhelníku, kdyby byl trojúhelník nekonečně velký.


Nebo jednodušeji:
- Vezměte tři body v rovině a vytvořte trojúhelník, nemusíte ho kreslit.
- Náhodně vyberte libovolný bod uvnitř trojúhelníku a vezměte v úvahu svoji aktuální pozici.
- Náhodně vyberte kterýkoli ze tří vrcholných bodů.
- Přesuňte poloviční vzdálenost od aktuální polohy k vybranému vrcholu.
- Vyneste aktuální pozici.
- Opakujte postup od kroku 3.
Tato metoda se také nazývá chaos hra, a je příkladem iterovaný funkční systém. Můžete začít z kteréhokoli bodu vně nebo uvnitř trojúhelníku a nakonec by to vytvořilo Sierpinského těsnění s několika zbylými body (pokud výchozí bod leží na obrysu trojúhelníku, nejsou tam žádné zbylé body). U tužky a papíru se po umístění přibližně sto bodů vytvoří krátký obrys a podrobnosti se začnou objevovat po několika stech. Interaktivní verzi hry chaos najdete tady.

Konstrukce šípu těsnění Sierpinski


Další konstrukce těsnění Sierpinski ukazuje, že může být konstruována jako křivka v letadle. Je tvořen procesem opakované úpravy jednodušších křivek, analogických s konstrukcí Sněhová vločka Koch:
- Začněte s jedním úsečkovým segmentem v rovině
- Každý liniový segment křivky opakovaně nahraďte třemi kratšími segmenty, které tvoří úhel 120 ° v každém spoji mezi dvěma po sobě následujícími segmenty, přičemž první a poslední segment křivky jsou rovnoběžné s původním liniovým segmentem nebo s nimi tvoří úhel 60 °.
Při každé iteraci dává tato konstrukce spojitou křivku. V limitu se tyto přibližují ke křivce, která sleduje Sierpenského trojúhelník jedinou spojitou směrovanou (nekonečně kroutivou) cestou, která se nazývá Sierpinski hrot šípu.[8] Ve skutečnosti bylo cílem původního článku Sierpinského z roku 1915 ukázat příklad křivky (kantorské křivky), jak deklaruje název samotného článku.[9][2]
Mobilní automaty
Sierpinského trojúhelník se také objevuje jistě mobilní automaty (jako Pravidlo 90 ), včetně těch, které se týkají Conwayova hra o život. Například Životní buněčný automat B1 / S12 při aplikaci na jednu buňku vygeneruje čtyři aproximace Sierpinského trojúhelníku.[10] Velmi dlouhá tlustá čára jedné buňky ve standardním životě vytvoří dva zrcadlené Sierpinského trojúhelníky. Časoprostorový diagram vzoru replikátoru v celulárním automatu také často připomíná Sierpinského trojúhelník, jako je například běžný replikátor v HighLife.[11] Sierpinského trojúhelník lze nalézt také v Ulam-Warburton automat a automat Hex-Ulam-Warburton.[12]
Pascalův trojúhelník

Pokud někdo vezme Pascalův trojúhelník s 2n řádky a barvy sudá čísla bílá a lichá čísla černá, výsledkem je přiblížení k Sierpinského trojúhelníku. Přesněji řečeno omezit tak jako n se blíží k nekonečnu parita -barevné 2n-row Pascalův trojúhelník je Sierpinského trojúhelník.[13]
Věže Hanoje
The Věže Hanoje puzzle zahrnuje přesunutí disků různých velikostí mezi tři kolíky, zachování vlastnosti, že žádný disk nikdy nebude umístěn na menší disk. Státy n-disk puzzle a povolené pohyby z jednoho státu do druhého, tvoří neorientovaný graf, Hanojský graf, které lze geometricky reprezentovat jako průsečíkový graf ze sady trojúhelníků zbývajících po nprvní krok v konstrukci Sierpinského trojúhelníku. Tedy v limitu jako n jde do nekonečna, lze tuto posloupnost grafů interpretovat jako diskrétní analog Sierpinského trojúhelníku.[14]
Vlastnosti
Pro celé číslo rozměrů d, při zdvojnásobení strany předmětu, 2d jsou vytvořeny jeho kopie, tj. 2 kopie pro 1-dimenzionální objekt, 4 kopie pro 2-dimenzionální objekt a 8 kopií pro 3-dimenzionální objekt. U Sierpinského trojúhelníku se zdvojnásobením jeho strany vytvoří 3 jeho kopie. Tak má Sierpinského trojúhelník Hausdorffova dimenze log (3)/protokol (2) = log2 3 ≈ 1,585, což vyplývá z řešení 2d = 3 pro d.[15]
Plocha Sierpinského trojúhelníku je nulová (v Lebesgueovo opatření ). Oblast zbývající po každé iteraci je 3/4 oblasti z předchozí iterace a nekonečný počet iterací vede k oblasti blížící se nule.[16]
Body Sierpinského trojúhelníku mají jednoduchou charakterizaci v barycentrické souřadnice.[17] Pokud má bod souřadnice (0.u1u2u3…, 0.proti1proti2proti3…, 0.w1w2w3…), Vyjádřeno jako binární číslice, pak je bod v Sierpinského trojúhelníku právě tehdy ui + protii + wi = 1 pro všechny i.
Zobecnění na jiné moduly
Zobecnění Sierpinského trojúhelníku lze také generovat pomocí Pascalův trojúhelník pokud je použit jiný Modulo. Opakování n lze generovat pomocí a Pascalův trojúhelník s Pn řádky a čísla zbarvení podle jejich hodnoty pro X modP. Tak jako n blíží k nekonečnu, je generován fraktál.
Stejného fraktálu lze dosáhnout rozdělením trojúhelníku na mozaikování P2 podobné trojúhelníky a odstranění trojúhelníků, které jsou vzhůru nohama z originálu, pak tento krok opakujte s každým menším trojúhelníkem.
Naopak, fraktál lze také generovat tak, že začínáte trojúhelníkem, duplikujete ho a uspořádáte n(n + 1)/2 nových postav ve stejné orientaci do většího podobného trojúhelníku s vrcholy předchozích postav se dotýkají a poté tento krok iterují.[18]
Analogy ve vyšších dimenzích


The Sierpinski čtyřstěn nebo tetrix je trojrozměrný analog Sierpinského trojúhelníku, vytvořený opakovaným zmenšením pravidelnosti čtyřstěn do jedné poloviny původní výšky, sestavit čtyři kopie tohoto čtyřstěnu s dotýkajícími se rohy a poté postup opakovat.
Tetrix sestrojený z počátečního čtyřstěnu boční délky L má vlastnost, že celková povrchová plocha zůstává konstantní s každou iterací. Počáteční povrchová plocha (iterace-0) čtyřstěnu boční délky L je L2√3. Další iterace se skládá ze čtyř kopií s délkou strany L/2, takže celková plocha je 4 (L/2)2√3 = 4L2·√3/4 = L2√3 znovu. Mezitím je objem konstrukce na každém kroku snížen na polovinu, a proto se blíží nule. Limita tohoto procesu nemá ani objem ani povrch, ale stejně jako Sierpinského těsnění je složitě spojená křivka. Své Hausdorffova dimenze je log (4)/protokol (2) = 2. Pokud jsou všechny body promítnuty na rovinu, která je rovnoběžná se dvěma vnějšími okraji, přesně vyplní čtverec délky strany L/√2 bez překrytí.[19]

Dějiny
Wacław Sierpiński popsal Sierpinského trojúhelník v roce 1915. Podobné vzorce se však objevují již ve 13. století Cosmati mozaiky v katedrále Anagni, Itálie,[20] a další místa ve střední Itálii, na kobercích na mnoha místech, například v lodi římské baziliky v Santa Maria in Cosmedin,[21] a pro izolované trojúhelníky umístěné v rotae v několika kostelech a bazilikách.[1][2] V případě izolovaného trojúhelníku je iterace nejméně tří úrovní.
Středověký trojúhelník s historicky jistým datováním[2] byl nedávno studován. Je v porfýru a zlatém listu, izolovaný, iterace úrovně 4
The Apollonian těsnění byl poprvé popsán uživatelem Apollonius z Pergy (3. století před naším letopočtem) a dále analyzovány Gottfried Leibniz (17. století), a je zakřivený předchůdce 20. století Sierpiński trojúhelník.[22]
Etymologie
Použití slova „těsnění“ pro označení Sierpinského trojúhelníku znamená těsnění jaké se nacházejí v motory, a které někdy obsahují řadu děr zmenšující se velikosti, podobně jako u fraktálu; toto použití bylo vytvořeno Benoit Mandelbrot, který si myslel, že fraktál vypadá podobně jako „část, která zabraňuje únikům v motorech“.[23]
Viz také
- Apollonian těsnění, sada vzájemně tečných kruhů se stejnou kombinační strukturou jako Sierpinského trojúhelník
- Seznam fraktálů podle Hausdorffovy dimenze
- Sierpinski koberec, další fraktál pojmenovaný po Sierpinski a vytvořený opakovaným odstraňováním čtverců z většího čtverce
- Triforce, památka v Legenda o Zeldě série
Reference
- ^ A b Conversano, Elisa; Tedeschini-Lalli, Laura (2011), „Sierpinski Triangles in Stone on Medieval Floors in Rome“ (PDF), APLIMAT Journal of Applied Mathematics, 4: 114, 122
- ^ A b C d Brunori, Paola; Magrone, Paola; Lalli, Laura Tedeschini (07.07.2018), „Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister“, Pokroky v inteligentních systémech a výpočetní technice, Springer International Publishing, s. 595–609, doi:10.1007/978-3-319-95588-9_49, ISBN 9783319955872
- ^ „Sierpinski Gasket by Trema Removal“
- ^ Michael Barnsley; et al. (2003), „V-variabilní fraktály a superfraktály“, arXiv:matematika / 0312314
- ^ NOVA (program veřejné televize). Podivná nová věda chaosu (epizoda). Veřejná televizní stanice WGBH Boston. Vysílaný 31. ledna 1989.
- ^ Feldman, David P. (2012), „17.4 Hra chaosu“, Chaos a fraktály: Základní úvod, Oxford University Press, s. 178–180, ISBN 9780199566440.
- ^ Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar; Maletsky, Evan; Perciante, Terry; a Yunker, Lee (1991). Fractals for the Classroom: Strategic Activities Volume One, str.39. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97346-X a ISBN 3-540-97346-X.
- ^ Prusinkiewicz, P. (1986), "Grafické aplikace L-systémů" (PDF), Sborník grafického rozhraní '86 / Vision Interface '86, str. 247–253.
- ^ Sierpinski, Waclaw (1915). „Sur une courbe dont tout point est un point de ramification“. Compt. Vykreslit. Acad. Sci. Paříž. 160: 302–305 - prostřednictvím https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31131.
- ^ Rumpf, Thomas (2010), „Hra Conway's of Life zrychlila s OpenCL“ (PDF), Sborník příspěvků z jedenácté mezinárodní konference o membránových výpočtech (CMC 11), str. 459–462.
- ^ Bilotta, Eleonora; Pantano, Pietro (léto 2005), „Vznikající vzorovací jevy ve 2D celulárních automatech“, Umělý život, 11 (3): 339–362, doi:10.1162/1064546054407167, PMID 16053574, S2CID 7842605.
- ^ Khovanova, Tanya; Nie, Eric; Puranik, Alok (2014), „The Sierpinski Triangle and the Ulam-Warburton Automaton“, Math Horizons, 23 (1): 5–9, arXiv:1408.5937, doi:10,4169 / mathhorizons.23.1.5, S2CID 125503155
- ^ Stewart, Ian (2006), Jak krájet dort: A další matematické hádanky Oxford University Press, s. 145, ISBN 9780191500718.
- ^ Romik, Dan (2006), „Nejkratší cesty v grafu Hanojské věže a konečné automaty“, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 20 (3): 610–62, arXiv:math.CO/0310109, doi:10.1137/050628660, PAN 2272218, S2CID 8342396.
- ^ Falconer, Kenneth (1990). Fraktální geometrie: matematické základy a aplikace. Chichester: John Wiley. p.120. ISBN 978-0-471-92287-2. Zbl 0689.28003.
- ^ Helmberg, Gilbert (2007), Seznámení s fraktály, Walter de Gruyter, str. 41, ISBN 9783110190922.
- ^ „Mnoho způsobů, jak vytvořit těsnění Sierpinski“.
- ^ Shannon & Bardzell, Kathleen & Michael, „Vzory v Pascalově trojúhelníku - s twistem - první twist: Co je to?“, maa.org, Mathematical Association of America, vyvoláno 29. března 2015
- ^ Jones, Huw; Campa, Aurelio (1993), „Abstraktní a přirozené formy z iterovaných funkčních systémů“, Thalmann, N. M .; Thalmann, D. (eds.), Komunikace s virtuálními světy, CGS CG International Series, Tokio: Springer, str. 332–344, doi:10.1007/978-4-431-68456-5_27
- ^ Wolfram, Stephen (2002), Nový druh vědy, Wolfram Media, str. 43, 873
- ^ "Geometric floor mosaic (Sierpinski triangles), ship of Santa Maria in Cosmedin, Forum Boarium, Rome", 5. září 2011, Flickr
- ^ Mandelbrot B (1983). Fraktální geometrie přírody. New York: W. H. Freeman. p.170. ISBN 978-0-7167-1186-5.
Aste T, Weaire D (2008). Snaha o dokonalé zabalení (2. vyd.). New York: Taylor a Francis. str. 131–138. ISBN 978-1-4200-6817-7. - ^ Benedetto, John; Wojciech, Czaja. Integrace a moderní analýza. p. 408.
externí odkazy
- "Sierpinski těsnění", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. „Sierpinski Sieve“. MathWorld.
- Rothemund, Paul W. K .; Papadakis, Nick; Winfree, Erik (2004). „Algoritmické samo-shromáždění DNA Sierpinski Triangles“. PLOS Biology. 2 (12): e424. doi:10.1371 / journal.pbio.0020424. PMC 534809. PMID 15583715.
- Sierpinski Gasket by Trema Removal na cut-the-uzel
- Těsnění Sierpinski a Hanojská věž na cut-the-uzel
- GPU v reálném čase generuje Sierpinski Triangle ve 3D
- Pythagorovy trojúhelníky, Waclaw Sierpinski, Courier Corporation, 2003
- A067771 Počet vrcholů v Sierpińského trojúhelníku řádu n. na OEIS