Vicsekův fraktál - Vicsek fractal

Vicsekův fraktál (5. iterace křížové formy)

v matematika the Vicsekův fraktál, také známý jako Sněhová vločka Vicsek nebo box fraktál,^[1][2] je fraktální vyplývající z konstrukce podobné konstrukci Sierpinski koberec, navrhl Tamás Vicsek. Má aplikace i jako kompaktní antény, zejména v mobilních telefonech.

Varianta^[3]

6 kroků koberce Sierpinski

Self-affine fraktál postavený z a 3 × 2 mřížka

Box fraktál také se odkazuje na různé iterované fraktály vytvořené a náměstí nebo obdélníková mřížka s různými odstraněnými nebo chybějícími rámečky a při každé iteraci mají přítomní a / nebo nepřítomní zmenšený a nakreslený předchozí obrázek. The Sierpinského trojúhelník lze aproximovat pomocí a 2 × 2 fraktální box s odstraněným jedním rohem. The Sierpinski koberec je 3 × 3 fraktální box s odstraněným prostředním čtvercem.

Konstrukce

Základní čtverec je rozložen na devět menších čtverců v mřížce 3 ku 3. Čtyři čtverce v rozích a prostřední čtverce jsou ponechány, ostatní čtverce jsou odstraněny. Proces se opakuje rekurzivně pro každý z pěti zbývajících dílčích čtverců. Vicsekův fraktál je množina získaná na hranici tohoto postupu. The Hausdorffova dimenze tohoto fraktálu je ${displaystyle extstyle {frac {log (5)} {log (3)}}}$ ≈ 1.46497.

Alternativní konstrukcí (zobrazenou níže na levém obrázku) je odstranění čtyř rohových čtverců a ponechání prostředního čtverce a čtverců nad, pod, vlevo a vpravo od něj. Obě konstrukce vytvářejí identické omezující křivky, ale jedna je vůči druhé otočena o 45 stupňů.

• 

  Vlastní podobnosti I - odstranění rohových čtverců.

• 

  Sebepodobnosti II - zachování rohových čtverců

Čtyři iterace saltire formy fraktálu (nahoře) a křížové formy fraktálu (dole).

Protikřivka křížového stehu, iterace 0-4

Ostrov s křížkovými stehy

Aproximace podle chaos hra kde skok = 2/3 náhodně směrem ke středu nebo k jednomu z vrcholů čtverce

Vlastnosti

Vicsekův fraktál má překvapivou vlastnost, že má nulovou plochu, ale nekonečnou obvod, kvůli jeho neceločíselnému rozměru. Při každé iteraci jsou odstraněny čtyři čtverce za každých pět zachovaných, což znamená, že při iteraci n oblast je ${displaystyle extstyle {({frac {5} {9}}) ^ {n}}}$ (za předpokladu počátečního čtverce délky strany 1). Když n přiblížil se k nekonečnu, plocha se blíží nule. Obvod je však ${displaystyle extstyle {4 ({frac {5} {3}}) ^ {n}}}$, protože každá strana je rozdělena na tři části a střední je nahrazena třemi stranami, což vede ke zvýšení o tři až pět. Obvod se blíží k nekonečnu jako n zvyšuje.

Hranicí Vicsekova fraktálu je Kvadratická Kochova křivka typu 1.

Analogy ve vyšších dimenzích

Animace 3D analogu Vicsekova fraktálu (třetí iterace)

Existuje trojrozměrný analog Vicsekova fraktálu. Je konstruována rozdělením každé kostky na 27 menších a odstraněním všech kromě „středového kříže“, střední kostky a šesti kostek dotýkajících se středu každé tváře. Jeho dimenze Hausdorff je ${displaystyle extstyle {frac {log (7)} {log (3)}}}$ ≈ 1.7712.

Podobně jako u dvourozměrného Vicsekova fraktálu má tento údaj nulový objem. Každá odstraněná iterace si ponechá 7 kostek na každých 27, což znamená objem ${displaystyle extstyle {({frac {7} {27}}) ^ {n}}}$ při iteraci n, který se blíží nule jako n blíží se nekonečnu.

Existuje nekonečné množství průřezy které dávají dvourozměrný Vicsekův fraktál.

Viz také

• Dimenze počítání krabic
• Křížový crosslet
• Seznam fraktálů podle Hausdorffovy dimenze
• Sierpinski koberec
• Sierpinského trojúhelník
• n-vločka

Reference

externí odkazy

• „Box Fractal“. Wolfram Alpha Stránky. Citováno 21. února 2019.