Rázový fraktál - Rauzy fractal

Rázový fraktál

V matematice je Rázový fraktál je fraktální sada spojená s Tribonacci substituce

{ displaystyle s (1) = 12, s (2) = 13, s (3) = 1 ,.}

Studoval ji v roce 1981 Gérard Rauzy,^[1] s myšlenkou zobecnit dynamické vlastnosti Fibonacciho morfismus Tuto fraktální sadu lze zobecnit na jiné mapy pomocí 3písmenné abecedy a generovat další fraktální sady se zajímavými vlastnostmi, například periodické obklady letadla a sebepodobnost ve třech homotetický části.

Definice

Tribonacciho slovo

The nekonečné slovo tribonacci je slovo vytvořeno iterativním použitím Tribonacci nebo Rauzy mapa : ${ displaystyle s (1) = 12}$ , ${ displaystyle s (2) = 13}$ , ${ displaystyle s (3) = 1}$ .^[2]^[3] Je to příklad a morfické slovo Počínaje číslem 1 jsou slova Tribonacci:^[4]

${ displaystyle t_ {0} = 1}$
${ displaystyle t_ {1} = 12}$
${ displaystyle t_ {2} = 1213}$
${ displaystyle t_ {3} = 1213121}$
${ displaystyle t_ {4} = 1213121121312}$

Můžeme to ukázat, protože ${ displaystyle n> 2}$ , ${ displaystyle t_ {n} = t_ {n-1} t_ {n-2} t_ {n-3}}$ ; odtud názevTribonacci ".

Fraktální konstrukce

Konstrukce

Zvažte nyní prostor ${ displaystyle R ^ {3}}$ s kartézskými souřadnicemi (x, y, z). The Rázový fraktál je konstruován takto:^[5]

1) Interpretujte posloupnost písmen nekonečného Tribonacciho slova jako posloupnost jednotných vektory prostoru, s následujícími pravidly (1 = směr x, 2 = směr y, 3 = směr z).

2) Poté vytvořte „schodiště“ sledováním bodů dosažených touto sekvencí vektorů (viz obrázek). Například první body jsou:

${ displaystyle 1 Rightarrow (1,0,0)}$
${ displaystyle 2 Rightarrow (1,1,0)}$
${ displaystyle 1 Rightarrow (2,1,0)}$
${ displaystyle 3 Rightarrow (2,1,1)}$
${ displaystyle 1 Rightarrow (3,1,1)}$

atd ... Každý bod může být vybarven podle odpovídajícího písmene, aby byla zdůrazněna vlastnost podobnosti.

3) Poté promítněte tyto body na smršťovací rovinu (rovinu kolmou k hlavnímu směru šíření bodů, žádný z těchto promítaných bodů neunikne do nekonečna).

Vlastnosti

Může být kachlová o tři kopie sebe sama, s plochou zmenšenou faktory ${ displaystyle k}$ , ${ displaystyle k ^ {2}}$ a ${ displaystyle k ^ {3}}$ s ${ displaystyle k}$ řešení ${ displaystyle k ^ {3} + k ^ {2} + k-1 = 0}$ : ${ displaystyle scriptstyle {k = { frac {1} {3}} (- 1 - { frac {2} { sqrt [{3}] {17 + 3 { sqrt {33}}}}} + { sqrt [{3}] {17 + 3 { sqrt {33}}}}) = 0,54368901269207636}}$ .
Stabilní pod výměnou kusů. Stejnou sadu můžeme získat výměnou místa kusů.
Připojeno a jednoduše připojeno. Nemá díru.
Obkládá letadlo pravidelně, překladem.
Matice mapy Tribonacci má ${ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$ jako jeho charakteristický polynom. Jeho vlastní čísla jsou reálné číslo ${ displaystyle beta = 1,8392}$ , nazvaný Tribonacciho konstanta, a Číslo pisotu a dva komplexní konjugáty ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle { bar { alpha}}}$ s ${ displaystyle alpha { bar { alpha}} = 1 / beta}$ .
Jeho hranice je fraktální a Hausdorffova dimenze této hranice se rovná 1,0933, řešení ${ displaystyle 2 | alpha | ^ {3s} + | alpha | ^ {4s} = 1}$ .^[6]

Varianty a zobecnění

Pro jakoukoli unimodulární substituci typu Pisot, která ověřuje podmínku shody (zřejmě vždy ověřenou), lze sestrojit podobnou množinu zvanou „Rauzy fraktál mapy“. Všechny se zobrazují sebepodobnost a vygenerovat pro níže uvedené příklady periodické skládání roviny.

s (1) = 12, s (2) = 31, s (3) = 1
s (1) = 12, s (2) = 23, s (3) = 312
s (1) = 123, s (2) = 1, s (3) = 31
s (1) = 123, s (2) = 1, s (3) = 1132

Viz také

Seznam fraktálů

Reference

^ Rauzy, Gérard (1982). „Nombres algébriques et substitutions“ (PDF). Býk. Soc. Matematika. Fr. (francouzsky). 110: 147–178. Zbl 0522.10032.
^ Lothaire (2005), s. 525
^ Pytheas Fogg (2002), s. 232
^ Lothaire (2005), s. 546
^ Pytheas Fogg (2002), s. 233
^ Messaoudi, Ali (2000). „Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe. (Hranice Rauzy fractal and complex numeration system)“ (PDF). Acta Arith. (francouzsky). 95 (3): 195–224. Zbl 0968.28005.

Arnoux, Pierre; Harriss, Edmund (srpen 2014). „CO JE ... Rauzy Fractal?“. Oznámení Americké matematické společnosti. 61 (7): 768–770. doi:10.1090 / noti1144.
Berthé, Valérie; Siegel, Anne; Thenwaldner, Jörg (2010). "Substituce, Rauzy fraktály a obklady". v Berthé, Valérie; Rigo, Michel (eds.). Kombinatorika, automaty a teorie čísel. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 135. Cambridge: Cambridge University Press. 248–323. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1247.37015.
Lothaire, M. (2005). Aplikovaná kombinatorika na slova. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 105. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84802-2. PAN 2165687. Zbl 1133.68067.
Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, Anne (eds.). Substituce v dynamice, aritmetice a kombinatorice. Přednášky z matematiky. 1794. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015.

externí odkazy

[1] Rauzy, Gérard (1982). „Nombres algébriques et substitutions“ (PDF). Býk. Soc. Matematika. Fr. (francouzsky). 110: 147–178. Zbl 0522.10032.

[ACOW525-2] Lothaire (2005), s. 525

[PF232-3] Pytheas Fogg (2002), s. 232

[ACOW546-4] Lothaire (2005), s. 546

[PF233-5] Pytheas Fogg (2002), s. 233

[6] Messaoudi, Ali (2000). „Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe. (Hranice Rauzy fractal and complex numeration system)“ (PDF). Acta Arith. (francouzsky). 95 (3): 195–224. Zbl 0968.28005.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]