Gosperova křivka - Gosper curve

The Gosperova křivka, také známý jako Peano-Gosperova křivka,^[1] pojmenoval podle Bill Gosper, také známý jako flownake (A spoonerismus z sněhová vločka ), je křivka vyplňování prostoru jehož limit je nastaven rep -7. Je to fraktální křivka svou konstrukcí podobný konstrukci dračí křivka a Hilbertova křivka.

Gosperovu křivku lze také použít pro efektivní hierarchické šestihranné shlukování a indexování.^[2]

Gosperova křivka čtvrtého stupně
Čára z červeného do zeleného bodu ukazuje jeden krok konstrukce Gosperovy křivky.

Algoritmus

Systém Lindenmayer

Gosperovu křivku lze reprezentovat pomocí L-systém s následujícími pravidly:

Úhel: 60 °
Axiom: ${displaystyle A}$
Pravidla pro výměnu:
- ${displaystyle Amapsto A-B - B + A ++ AA + B-}$
- ${displaystyle Bmapsto + A-BB - B-A ++ A + B}$

V tomto případě znamená A i B pohyb vpřed, + znamená otočení doleva o 60 stupňů a - znamená otočení doprava o 60 stupňů - pomocí programu ve stylu „želvy“, jako je Logo.

Logo

A Logo program pro kreslení Gosperovy křivky pomocí želví grafika (online verze ):

na rg :Svatý :ln udělat "st: st - 1 udělat „ln: ln / sqrt 7 -li :Svatý > 0 [rg :Svatý :ln rt 60 gl :Svatý :ln  rt 120 gl :Svatý :ln lt 60 rg :Svatý :ln lt 120 rg :Svatý :ln rg :Svatý :ln lt 60 gl :Svatý :ln rt 60] -li :Svatý = 0 [fd :ln rt 60 fd :ln rt 120 fd :ln lt 60 fd :ln lt 120 fd :ln fd :ln lt 60 fd :ln rt 60]konec na gl :Svatý :ln udělat "st: st - 1 udělat „ln: ln / sqrt 7 -li :Svatý > 0 [lt 60 rg :Svatý :ln rt 60 gl :Svatý :ln gl :Svatý :ln rt 120 gl :Svatý :ln rt 60 rg :Svatý :ln lt 120 rg :Svatý :ln lt 60 gl :Svatý :ln] -li :Svatý = 0 [lt 60 fd :ln rt 60 fd :ln fd :ln rt 120 fd :ln rt 60 fd :ln lt 120 fd :ln lt 60 fd :ln]konec

Program lze vyvolat například pomocí 4 300 rg, nebo alternativně gl 4 300.

Krajta

A Krajta program, který používá výše uvedená pravidla L-System, k vykreslení Gosperovy křivky pomocí grafiky želvy (online verze ):

import želvadef gosper_curve(objednat: int, velikost: int, je: bool = Skutečný) -> Žádný:    "" "Nakreslete Gosperovu křivku." ""    -li objednat == 0:        želva.vpřed(velikost)        vrátit se    pro op v „A-B - B + A ++ AA + B-“ -li je jiný „+ A-BB - B-A ++ A + B“:        gosper_op_map[op](objednat - 1, velikost)gosper_op_map = {    "A": lambda Ó, velikost: gosper_curve(Ó, velikost, Skutečný),    "B": lambda Ó, velikost: gosper_curve(Ó, velikost, Nepravdivé),    "-": lambda Ó, velikost: želva.že jo(60),    "+": lambda Ó, velikost: želva.vlevo, odjet(60),}velikost = 10objednat = 3gosper_curve(objednat, velikost)

Vlastnosti

Prostor vyplněný křivkou se nazývá Ostrov Gosper. Prvních několik iterací je uvedeno níže:

Ostrov Gosper může dlaždice the letadlo. Ve skutečnosti lze sedm kopií ostrova Gosper spojit dohromady a vytvořit tak tvar, který je podobný, ale zvětšen faktorem √7 ve všech rozměrech. Jak je patrné z níže uvedeného diagramu, provedení této operace s přechodnou iterací ostrova vede k zmenšené verzi další iterace. Opakováním tohoto procesu na neurčito vznikne a mozaikování letadla. Samotnou křivku lze také rozšířit na nekonečnou křivku vyplňující celou rovinu.

Viz také

Reference

^ Weisstein, Eric W. „Peano-Gosperova křivka“. MathWorld. Citováno 31. října 2013.
^ „Hierarchical Hexagonal Clustering and Indexing“, 2019, https://doi.org/10.3390/sym11060731

externí odkazy

[1] Weisstein, Eric W. „Peano-Gosperova křivka“. MathWorld. Citováno 31. října 2013.

[2] „Hierarchical Hexagonal Clustering and Indexing“, 2019, https://doi.org/10.3390/sym11060731

[1]

[2]