Multiplikativní kaskáda - Multiplicative cascade

V matematice, a multiplikativní kaskáda^[1][2] je fraktální /multifraktální rozdělení bodů vytvořených prostřednictvím iterativního a multiplikativního náhodný proces.

Model I (obrázek vlevo):

${displaystyle lbrace p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, p_ {4} brace = lbrace 1,1,1,0brace}$

Model II (střední obrázek):

${displaystyle lbrace p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, p_ {4} rovnátka = lbrace 1,0,75,0,75,0,5 rovnátka}$

Model III (pravý graf):

${displaystyle lbrace p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, p_ {4} rovnátka = lbrace 1,0,5,0,5,0,25 závorka}$

Výše uvedené grafy jsou příklady multiplikativních kaskádových multifraktálů. K vytvoření těchto distribucí je třeba provést několik kroků. Nejprve musíme vytvořit mřížku buněk, která bude naším základním polem hustoty pravděpodobnosti.

Zadruhé, následuje iterační proces k vytvoření více úrovní mřížky: při každé iteraci jsou buňky rozděleny na čtyři stejné části (buňky). Každé nové buňce je poté náhodně přiřazena pravděpodobnost ze sady ${displaystyle lbrace p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, p_ {4} závorka}$ bez náhrady, kde ${displaystyle p_ {i} v [0,1]}$. Tento proces pokračuje do Nth úroveň. Například při konstrukci takového modelu na úroveň 8 vytvoříme 4⁸ pole buněk.

Za třetí, buňky jsou vyplněny následovně: Bereme pravděpodobnost obsazení buňky jako produkt vlastní buňky p_i a rodičů všech jeho rodičů (až do úrovně 1). A Schéma odmítnutí Monte Carlo se používá opakovaně, dokud není získána požadovaná populace buněk, a to následovně: X a y souřadnice buněk jsou vybrány náhodně a je přiřazeno náhodné číslo mezi 0 a 1; (X, y) buňka se poté naplní v závislosti na tom, zda je přiřazené číslo menší než (výsledek: není vyplněno) nebo větší nebo rovno (výsledek: vyplněno) pravděpodobnost obsazení buňky.

Abychom vytvořili výše uvedené grafy, vyplnili jsme pole hustoty pravděpodobnosti 5 000 body v prostoru 256 × 256.

Příklad pole hustoty pravděpodobnosti:

Fraktály obecně nejsou škálově invariantní, a proto je nelze vzít v úvahu Standard fraktály. Lze je však zvážit multifraktály. Rényiho (zobecněné) rozměry lze teoreticky předvídat. Může se to ukázat ^[3] že jako ${displaystyle Nightarrow infty}$,

${displaystyle D_ {q} = {frac {log _ {2} vlevo (f_ {1} ^ {q} + f_ {2} ^ {q} + f_ {3} ^ {q} + f_ {4} ^ { q} ight)} {1-q}},}$

kde N je úroveň zjemnění mřížky a,

${displaystyle f_ {i} = {frac {p_ {i}} {sum _ {i} p_ {i}}}.}$

Viz také

• Fraktální rozměr
• Hausdorffova dimenze
• Měřítko invariance

Reference