Pythagorův strom (fraktál) - Pythagoras tree (fractal)

The Pythagorův strom je letadlo fraktální postavena z čtverce. Vynalezl holandský matematika učitel Albert E. Bosman v roce 1942,[1] je pojmenován po starořečtina matematik Pythagoras protože každá trojice dotýkajících se čtverců uzavírá a pravoúhlý trojuhelník, v konfiguraci, která se tradičně používá k zobrazení Pythagorova věta Pokud má největší čtverec velikost L × L, celý strom Pythagoras se pohodlně vejde do krabice o velikosti 6L × 4L.[2][3] Jemnější detaily stromu připomínají Křivka Lévy C..
Konstrukce
Stavba stromu Pythagoras začíná a náměstí. Na tomto čtverci jsou konstruovány dva čtverce, každý zmenšený lineárním faktorem √2/ 2, takže rohy čtverců se shodují po dvou. Poté se použije stejný postup rekurzivně na dva menší čtverce, ad infinitum. Následující obrázek ukazuje prvních pár iterace v procesu výstavby.[2][3]
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Objednávka 0 | Objednávka 1 | Objednávka 2 | Objednávka 3 |
Plocha
Opakování n ve stavbě přidává 2n čtverce plochy , pro celkovou plochu 1. Oblast stromu se tedy může zdát růst bez omezení v limitu jako n → ∞. Některé čtverce se však překrývají počínaje iterací řádu 5 a strom má ve skutečnosti konečnou plochu, protože se vejde do pole 6 × 4.[2]
To lze snadno ukázat, že oblast A stromu Pythagoras musí být v rozsahu 5 <A <18, které lze s dalším úsilím dále zúžit. Málo se zdá, že je známo o skutečné hodnotěA.
Změna úhlu
Zajímavou sadu variací lze vytvořit zachováním rovnoramenného trojúhelníku, ale změnou základního úhlu (90 stupňů pro standardní strom Pythagoras). Zejména když je základní poloviční úhel nastaven na (30 °) = arcsin (0,5), je snadno vidět, že velikost čtverců zůstává konstantní. První překrytí nastává ve čtvrté iteraci. Obecný vytvořený vzor je rhombitrihexagonal obklady, pole šestiúhelníků ohraničené konstrukčními čtverci.
![]() | ![]() |
Objednávka 4 | Objednávka 10 |
V limitu, kde je poloviční úhel 90 stupňů, zjevně nedochází k překrývání a celková plocha je dvojnásobkem plochy základního čtverce. Bylo by zajímavé vědět, jestli existuje algoritmický vztah mezi hodnotou základního polovičního úhlu a iterací, při které se čtverce nejprve navzájem překrývají.
Dějiny
Strom Pythagoras poprvé postavil Albert E. Bosman (1891–1961), a holandský učitel matematiky, v roce 1942.[2][4]
Viz také
Reference
- ^ „Archivovaná kopie“. Archivovány od originál dne 18. 1. 2009. Citováno 2012-03-10.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz).
- ^ A b C d Wisfaq.nl.
- ^ A b Pourahmadazar, J .; Ghobadi, C .; Nourinia, J. (2011). "Nové modifikované pythagorovské fraktální monopolní antény pro aplikace na ZČU". Antény IEEE a bezdrátové propagační dopisy. New York: IEEE. 10: 484–487. Bibcode:2011IAWPL..10..484P. doi:10.1109 / LAWP.2011.2154354.
- ^ Arsetmathesis.nl Archivováno 2009-01-18 na Wayback Machine
externí odkazy
- Galerie stromů Pythagoras
- Interaktivní generátor s kódem
- "Strom Pythagoras s různými geometriemi i ve 3D". Archivovány od originál dne 2008-01-15.
- Pythagorův strom Enrique Zeleny na základě programu od Eric W. Weisstein, The Demonstrační projekt Wolfram.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorův strom". MathWorld.
- Trojrozměrný strom Pythagoras
- Skript MatLab ke generování stromu Pythagoras
- Pourahmadazar, J .; Ghobadi, C .; Nourinia, J. (2011). „Nové modifikované pythagorovské fraktální monopolní antény pro aplikace na ZČU“. Antény IEEE a bezdrátové propagační dopisy. New York: IEEE. 10: 484–487. Bibcode:2011IAWPL..10..484P. doi:10.1109 / LAWP.2011.2154354.