Univerzálnost (dynamické systémy) - Universality (dynamical systems)

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Univerzálnost“ dynamických systémů  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Březen 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v statistická mechanika, univerzálnost je pozorování, že existují vlastnosti pro velkou třídu systémů, které jsou nezávislé na dynamický podrobnosti o systému. Systémy zobrazují univerzálnost v limitu škálování, když se spojí velké množství interagujících částí. Moderní význam tohoto pojmu představil Leo Kadanoff v 60. letech^{[Citace je zapotřebí ]} ale jednodušší verze konceptu již byla implicitní v van der Waalsova rovnice a dříve Teorie Landau fázových přechodů, které nezahrnovaly škálování správně.^{[Citace je zapotřebí ]}

Tento termín si pomalu získává širší uplatnění v několika oblastech matematiky, včetně kombinatorika a teorie pravděpodobnosti, kdykoli lze kvantitativní vlastnosti struktury (například asymptotické chování) odvodit z několika globálních parametrů, které se objevují v definici, aniž by bylo nutné znát podrobnosti systému.

The renormalizační skupina poskytuje intuitivně přitažlivé, i když matematicky nepřesné vysvětlení univerzálnosti. Klasifikuje operátory v teorii statistického pole na relevantní a irelevantní. Relevantní operátoři jsou ti, kteří jsou odpovědní za poruchy volné energie, imaginární čas Lagrangeova, které ovlivní limit kontinua, a lze jej vidět na velké vzdálenosti. Irelevantní operátoři jsou ti, kteří mění pouze podrobnosti na krátkou vzdálenost. Sbírka statistických teorií neměnných měřítkem definuje třídy univerzality a konečný trojrozměrný seznam koeficientů příslušných operátorů parametrizuje téměř kritické chování.

Univerzálnost ve statistické mechanice

Pojem univerzálnosti vznikl při studiu fázové přechody ve statistické mechanice.^{[Citace je zapotřebí ]} Fázový přechod nastává, když materiál dramaticky mění své vlastnosti: voda, která se zahřívá, se vaří a mění se v páru; nebo magnet při zahřátí ztratí svůj magnetismus. Fázové přechody jsou charakterizovány parametr objednávky, jako je hustota nebo magnetizace, která se mění v závislosti na parametru systému, jako je teplota. Speciální hodnota parametru, při kterém systém mění svou fázi, je hodnota systému kritický bod. U systémů, které vykazují univerzálnost, je parametr blíže kritická hodnota, méně citlivě závisí parametr objednávky na podrobnostech systému.

Pokud je parametr β kritický při hodnotě β_C, pak parametr objednávky A bude dobře aproximován^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle a = a_ {0} left vert beta - beta _ {c} right vert ^ { alpha}.}$

Exponent α je a kritický exponent systému. Pozoruhodný objev učiněný ve druhé polovině dvacátého století spočíval v tom, že velmi odlišné systémy měly stejné kritické exponenty.^{[Citace je zapotřebí ]}

V roce 1975 Mitchell Feigenbaum objevil univerzálnost v iterovaných mapách.^[1][2][3]

Příklady

Univerzalita dostává své jméno, protože je vidět v široké škále fyzických systémů. Mezi příklady univerzality patří:

• Laviny v hromadách písku. Pravděpodobnost laviny je v právním poměru úměrná velikosti laviny a laviny se vyskytují ve všech velikostních stupnicích. Toto se nazývá „sebeorganizovaná kritičnost " .^{[Citace je zapotřebí ]}
• Tvoření a šíření trhlin a trhlin v materiálech od oceli přes kámen až po papír. Změny směru natržení nebo drsnosti zlomeného povrchu jsou v zákoně mocnině úměrné velikosti.^{[Citace je zapotřebí ]}
• The elektrické poruchy z dielektrika, které připomínají praskliny a slzy.
• The perkolace tekutin prostřednictvím neuspořádaných médií, jako je např ropa skrz rozbitá skalní lůžka nebo vodu přes filtrační papír, například v chromatografie. Power-law škálování spojuje rychlost toku s distribucí zlomenin.^{[Citace je zapotřebí ]}
• The difúze z molekuly v řešení a fenomén difúzně omezená agregace.
• Distribuce hornin různých velikostí v agregované směsi, která je otřesena (gravitací působící na horniny).^{[Citace je zapotřebí ]}
• Vzhled kritická opalescence v tekutinách blízko a fázový přechod .^{[Citace je zapotřebí ]}

Teoretický přehled

Jedním z důležitých vývojových trendů v věda o materiálech v 70. a 80. letech došlo k poznání, že statistickou teorii pole, podobně jako kvantovou teorii pole, lze použít k poskytnutí mikroskopické teorie univerzality.^{[Citace je zapotřebí ]} Jádrem pozorování bylo, že u všech různých systémů bylo chování v a fázový přechod je popsáno polem kontinua a stejná teorie statistického pole bude popisovat různé systémy. Exponáty měřítka ve všech těchto systémech lze odvodit pouze z teorie pole a jsou známé jako kritické exponenty.

Klíčovým pozorováním je, že v blízkosti fázového přechodu nebo kritický bod, poruchy se vyskytují na všech velikostních stupnicích, a proto je třeba hledat výslovně teorie neměnného rozsahu popsat jevy, jak se zdá, že byly nejprve vloženy do formálního teoretického rámce Pokrovský a Patashinsky v roce 1965 ^[4].^{[Citace je zapotřebí ]} Univerzalita je vedlejším produktem skutečnosti, že existuje relativně málo teorií invariantních v měřítku. U jednoho konkrétního fyzického systému může mít podrobný popis mnoho parametrů a aspektů závislých na měřítku. Jak se však blíží fázový přechod, parametry závislé na měřítku hrají stále méně důležitou roli a dominují části fyzického popisu neměnné podle měřítka. Tedy zjednodušené a často přesně řešitelné, lze model použít k aproximaci chování těchto systémů v blízkosti kritického bodu.

Perkolace může být modelována náhodně elektrický odpor síť, kde elektřina proudí z jedné strany sítě na druhou. Celkový odpor sítě lze popsat průměrnou konektivitou odporů v síti.^{[Citace je zapotřebí ]}

Tvorbu slz a trhlin lze modelovat náhodnou sítí elektrické pojistky. Jak se zvyšuje tok elektrického proudu sítí, mohou některé pojistky prasknout, ale celkově je proud posunut kolem problémových oblastí a rovnoměrně rozložen. Avšak v určitém okamžiku (při fázovém přechodu) a selhání kaskády Může nastat situace, kdy přebytečný proud z jedné vyskočené pojistky postupně přetíží další pojistku, dokud nebudou obě strany sítě zcela odpojeny a nebude proudit žádný další proud.^{[Citace je zapotřebí ]}

K provedení analýzy takových systémů s náhodnými sítěmi je třeba vzít v úvahu stochastický prostor všech možných sítí (tj kanonický soubor ) a provede součet (integraci) přes všechny možné konfigurace sítě. Stejně jako v předchozí diskusi je každá daná náhodná konfigurace chápána tak, že je čerpána ze skupiny všech konfigurací s určitým daným rozdělením pravděpodobnosti; role teploty v distribuci je obvykle nahrazena průměrnou konektivitou sítě.^{[Citace je zapotřebí ]}

Očekávané hodnoty operátorů, jako je rychlost toku, tepelná kapacita, a tak dále, jsou získány integrací přes všechny možné konfigurace. Tento akt integrace přes všechny možné konfigurace je bodem shodnosti mezi systémy v statistická mechanika a kvantová teorie pole. Zejména jazyk renormalizační skupina lze použít při diskusi o modelech náhodných sítí. V 90. a 90. letech 20. století došlo k silnějším vazbám mezi statistickými modely a teorie konformního pole byly odkryty. Studium univerzálnosti zůstává důležitou oblastí výzkumu.

Aplikace do jiných oborů

Stejně jako ostatní koncepty z statistická mechanika (jako entropie a zvládnout rovnice ), univerzalita se ukázala jako užitečný konstrukt pro charakterizaci distribuovaných systémů na vyšší úrovni, jako je multiagentní systémy. Termín byl použit^[5] k simulacím s více agenty, kde chování na úrovni systému, které systém vykazuje, je nezávislé na stupni složitosti jednotlivých agentů, přičemž je téměř zcela řízeno povahou omezení, jimiž se řídí jejich interakce. V síťové dynamice se univerzálnost týká skutečnosti, že i přes rozmanitost nelineárních dynamických modelů, které se liší v mnoha detailech, se pozorované chování mnoha různých systémů řídí souborem univerzálních zákonů. Tyto zákony jsou nezávislé na konkrétních detailech každého systému.^[6]

Reference