Fibonacciho slovo fraktální - Fibonacci word fractal - Wikipedia

The Fibonacciho slovo fraktální je fraktální křivka definované v rovině od Fibonacciho slovo.

Definice

První iterace

Reprezentace L-systému^[1]

Tato křivka je vytvořena iterativně tak, že na Fibonacciho slovo 0100101001001 ... atd. Použije pravidlo lichého – sudého kreslení:

Pro každou číslici na pozici k :

1. Nakreslete segment dopředu
2. Pokud je číslice 0:
   • Otočte o 90 ° doleva, pokud k je sudý
   • Otočte o 90 ° doprava, pokud k je zvláštní

Fibonacciho dlouhé slovo ${ displaystyle F_ {n}}$ (dále jen n^th Fibonacciho číslo ) je přiřazena křivka ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n}}$ vyroben z ${ displaystyle F_ {n}}$ segmenty. Křivka zobrazuje tři různé aspekty, zda n je ve formě 3k, 3k + 1 nebo 3k + 2.

Vlastnosti

Fibonacciho čísla ve fraktálovém slově Fibonacci.

Mezi vlastnosti fraktálu slova Fibonacci patří:^[2][3]

• Křivka ${ displaystyle { mathcal {F_ {n}}}}$, obsahuje ${ displaystyle F_ {n}}$ segmenty, ${ displaystyle F_ {n-1}}$ pravé úhly a ${ displaystyle F_ {n-2}}$ ploché úhly.
• Křivka se nikdy neprotíná a neobsahuje dvojité body. Na limitu obsahuje nekonečno bodů asymptoticky blízkých.
• Křivka představuje sebepodobnosti na všech stupnicích. Redukční poměr je ${ displaystyle scriptstyle {1 + { sqrt {2}}}}$. Toto číslo, také nazývané poměr stříbra je přítomen v řadě níže uvedených služeb.
• Počet podobností na úrovni n je Fibonacciho číslo −1. (přesněji : ${ displaystyle F_ {3n + 3} -1}$).
• Křivka uzavírá nekonečno čtvercových struktur s klesající velikostí v poměru ${ displaystyle scriptstyle {1 + { sqrt {2}}}}$. (viz obrázek) Počet těchto čtvercových struktur je a Fibonacciho číslo.
• Křivka ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n}}$lze také sestavit různými způsoby (viz galerie níže):
  • Systém opakovaných funkcí 4 a 1 homothety poměru ${ displaystyle scriptstyle {1 / (1 + { sqrt {2}})}}$ a ${ displaystyle scriptstyle {1 / (1 + { sqrt {2}}) ^ {2}}}$
  • Spojením křivek ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n-1}}$ a ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n-2}}$
  • Systém Lindermayer
  • Opakovanou konstrukcí 8 čtvercových vzorů kolem každého čtvercového vzoru.
  • Opakovanou konstrukcí osmiúhelníky
• The Hausdorffova dimenze Fibonacciho slova fraktál je ${ displaystyle scriptstyle {3 { frac { log varphi} { log (1 + { sqrt {2}})}}} přibližně 1,6379}}$, s ${ displaystyle scriptstyle { varphi = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}}}$, Zlatý řez.
• Zobecnění do úhlu ${ displaystyle alpha}$ mezi 0 a ${ displaystyle pi / 2}$, jeho Hausdorffova dimenze je ${ displaystyle scriptstyle {3 { frac { log varphi} { log (1 + a + { sqrt {(1 + a) ^ {2} +1}})}}}}$, s ${ displaystyle a = cos alpha}$.
• Hausdorffova dimenze jeho hranice je ${ displaystyle scriptstyle {{ frac { log 3} {{log (1 + { sqrt {2}}})}}} přibližně 1,2465}}$.
• Výměna rolí „0“ a „1“ ve slově Fibonacci nebo v pravidle kreslení vede k podobné křivce, ale orientované 45 °.
• Ze slova Fibonacci lze definovat «husté slovo Fibonacci» na abecedě se 3 písmeny: 102210221102110211022102211021102110221022102211021 ... ((sekvence A143667 v OEIS )). Použití jednoduššího pravidla kreslení v tomto slově definuje nekonečnou sadu variant křivky, mezi nimiž:
  • „diagonální varianta“
  • „varianta svastiky“
  • „kompaktní varianta“
• Předpokládá se, že Fibonacciho slovo fraktál se objeví pro každého sturmianské slovo pro které je sklon zapsán pokračující rozšiřování frakcí, končí nekonečnou řadou „1“.

Galerie

• 

  Křivka po ${ displaystyle textstyle {F_ {23}}}$ iterace.

• 

  Self-podobnosti v různých měřítcích.

• 

  Rozměry.

• 

  Stavba vedle sebe (1)

• 

  Stavba vedle sebe (2)

• 
• 

  Konstrukce iterovaným potlačením čtvercových vzorů.

• 

  Stavba iterovanými osmiúhelníky.

• 

  Konstrukce iterovanou kolekcí 8 čtvercových vzorů kolem každého čtvercového vzoru.

• 

  S úhlem 60 °.

• 

  Inverze „0“ a „1“.

• 

  Varianty generované z hustého Fibonacciho slova.

• 

  „Kompaktní varianta“

• 

  „Varianta svastiky“

• 

  „Diagonální varianta“

• 

  „Varianta pi / 8“

• 

  Umělecká tvorba (Samuel Monnier).

Dlaždice Fibonacci

Nedokonalé obklady pomocí dlaždice Fibonacci. Plocha centrálního náměstí má sklon k nekonečnu.

Juxtapozice čtyř ${ displaystyle F_ {3k}}$ křivky umožňuje konstrukci uzavřené křivky obklopující povrch, jehož plocha není nulová. Tato křivka se nazývá „Fibonacciho dlaždice“.

• Dlaždice Fibonacci téměř vykládá letadlo. Juxtapozice 4 dlaždic (viz obrázek) ponechává ve středu volný čtverec, jehož plocha má sklon k nule, protože k má sklon k nekonečnu. Na hranici nekonečné dlaždice Fibonacci obkládá letadlo.
• Pokud je taška uzavřena od {Vyjasnění} čtverce ze strany 1, pak její plocha inklinuje k ${ displaystyle scriptstyle {2 - { sqrt {2}} = 0,5857}}$.

Perfektní obklad podle sněhové vločky Fibonacci

Fibonacciho vločka

Fibonacciho sněhové vločky pro i= 2 pro n= 1 až 4: ${ displaystyle sideset {} {_ {1} ^ { left [2 right]} quad} prod}$, ${ displaystyle sideset {} {_ {2} ^ { left [2 right]} quad} prod}$, ${ displaystyle sideset {} {_ {3} ^ { left [2 right]} quad} prod}$, ${ displaystyle sideset {} {_ {4} ^ { left [2 right]} quad} prod}$^[4]

The Fibonacciho vločka je dlaždice Fibonacci definovaná:^[5]

• ${ displaystyle scriptstyle {q_ {n} = q_ {n-1} q_ {n-2}}}$ -li ${ displaystyle scriptstyle {n equiv 2 { pmod {3}}}}$
• ${ displaystyle scriptstyle {q_ {n} = q_ {n-1} { overline {q}} _ {n-2}}}$ v opačném případě.

s ${ displaystyle q_ {0} = epsilon}$ a ${ displaystyle q_ {1} = R}$, ${ displaystyle L =}$„zahněte doleva“ atd ${ displaystyle R =}$"odbočit vpravo" a ${ displaystyle scriptstyle {{ overline {R}} = L}}$,

Několik pozoruhodných vlastností:^[5] · :^[6]

• Jedná se o dlaždici Fibonacci přidruženou k dříve definované „diagonální variantě“.
• Dlaždice letadlo v libovolném pořadí.
• Obkládá letadlo překládáním dvěma různými způsoby.
• jeho obvod, na objednávku n, rovná se ${ displaystyle 4F (3n + 1)}$. ${ displaystyle F (n)}$ je n^th Fibonacciho číslo.
• jeho oblast, na objednávku n, následuje po sobě jdoucí indexy liché řady Pell sekvence (definován ${ displaystyle P (n) = 2P (n-1) + P (n-2)}$).

Reference

Viz také

• Zlatý řez
• Fibonacciho číslo
• Fibonacciho slovo
• Seznam fraktálů podle Hausdorffovy dimenze

externí odkazy

• "Vygenerujte fraktál slova Fibonacci ", OnlineMathTools.com.