Fibonacciho slovo fraktální - Fibonacci word fractal - Wikipedia
The Fibonacciho slovo fraktální je fraktální křivka definované v rovině od Fibonacciho slovo.
Definice


Tato křivka je vytvořena iterativně tak, že na Fibonacciho slovo 0100101001001 ... atd. Použije pravidlo lichého – sudého kreslení:
Pro každou číslici na pozici k :
- Nakreslete segment dopředu
- Pokud je číslice 0:
- Otočte o 90 ° doleva, pokud k je sudý
- Otočte o 90 ° doprava, pokud k je zvláštní
Fibonacciho dlouhé slovo (dále jen nth Fibonacciho číslo ) je přiřazena křivka vyroben z segmenty. Křivka zobrazuje tři různé aspekty, zda n je ve formě 3k, 3k + 1 nebo 3k + 2.
Vlastnosti

Mezi vlastnosti fraktálu slova Fibonacci patří:[2][3]
- Křivka , obsahuje segmenty, pravé úhly a ploché úhly.
- Křivka se nikdy neprotíná a neobsahuje dvojité body. Na limitu obsahuje nekonečno bodů asymptoticky blízkých.
- Křivka představuje sebepodobnosti na všech stupnicích. Redukční poměr je . Toto číslo, také nazývané poměr stříbra je přítomen v řadě níže uvedených služeb.
- Počet podobností na úrovni n je Fibonacciho číslo −1. (přesněji : ).
- Křivka uzavírá nekonečno čtvercových struktur s klesající velikostí v poměru . (viz obrázek) Počet těchto čtvercových struktur je a Fibonacciho číslo.
- Křivka lze také sestavit různými způsoby (viz galerie níže):
- Systém opakovaných funkcí 4 a 1 homothety poměru a
- Spojením křivek a
- Systém Lindermayer
- Opakovanou konstrukcí 8 čtvercových vzorů kolem každého čtvercového vzoru.
- Opakovanou konstrukcí osmiúhelníky
- The Hausdorffova dimenze Fibonacciho slova fraktál je , s , Zlatý řez.
- Zobecnění do úhlu mezi 0 a , jeho Hausdorffova dimenze je , s .
- Hausdorffova dimenze jeho hranice je .
- Výměna rolí „0“ a „1“ ve slově Fibonacci nebo v pravidle kreslení vede k podobné křivce, ale orientované 45 °.
- Ze slova Fibonacci lze definovat «husté slovo Fibonacci» na abecedě se 3 písmeny: 102210221102110211022102211021102110221022102211021 ... ((sekvence A143667 v OEIS )). Použití jednoduššího pravidla kreslení v tomto slově definuje nekonečnou sadu variant křivky, mezi nimiž:
- „diagonální varianta“
- „varianta svastiky“
- „kompaktní varianta“
- Předpokládá se, že Fibonacciho slovo fraktál se objeví pro každého sturmianské slovo pro které je sklon zapsán pokračující rozšiřování frakcí, končí nekonečnou řadou „1“.
Galerie
Křivka po iterace.
Self-podobnosti v různých měřítcích.
Rozměry.
Stavba vedle sebe (1)
Stavba vedle sebe (2)
Konstrukce iterovaným potlačením čtvercových vzorů.
Stavba iterovanými osmiúhelníky.
Konstrukce iterovanou kolekcí 8 čtvercových vzorů kolem každého čtvercového vzoru.
S úhlem 60 °.
Inverze „0“ a „1“.
Varianty generované z hustého Fibonacciho slova.
„Kompaktní varianta“
„Varianta svastiky“
„Diagonální varianta“
„Varianta pi / 8“
Umělecká tvorba (Samuel Monnier).
Dlaždice Fibonacci

Juxtapozice čtyř křivky umožňuje konstrukci uzavřené křivky obklopující povrch, jehož plocha není nulová. Tato křivka se nazývá „Fibonacciho dlaždice“.
- Dlaždice Fibonacci téměř vykládá letadlo. Juxtapozice 4 dlaždic (viz obrázek) ponechává ve středu volný čtverec, jehož plocha má sklon k nule, protože k má sklon k nekonečnu. Na hranici nekonečné dlaždice Fibonacci obkládá letadlo.
- Pokud je taška uzavřena od {Vyjasnění} čtverce ze strany 1, pak její plocha inklinuje k .

Fibonacciho vločka

The Fibonacciho vločka je dlaždice Fibonacci definovaná:[5]
- -li
- v opačném případě.
s a , „zahněte doleva“ atd "odbočit vpravo" a ,
Několik pozoruhodných vlastností:[5] · :[6]
- Jedná se o dlaždici Fibonacci přidruženou k dříve definované „diagonální variantě“.
- Dlaždice letadlo v libovolném pořadí.
- Obkládá letadlo překládáním dvěma různými způsoby.
- jeho obvod, na objednávku n, rovná se . je nth Fibonacciho číslo.
- jeho oblast, na objednávku n, následuje po sobě jdoucí indexy liché řady Pell sekvence (definován ).
Reference
- ^ Ramírez, José L .; Rubiano, Gustavo N. (2014). "Vlastnosti a zobecnění fraktálu slova Fibonacci ", Matematický deník, Sv. 16.
- ^ Monnerot-Dumaine, Alexis (únor 2009). "Fibonacciho slovo fraktální ", nezávislé (hal.archives-ouvertes.fr).
- ^ Hoffman, Tyler; Steinhurst, Benjamin (2016). „Hausdorffova dimenze generalizovaných Fibonacciho slovních fraktálů“. arXiv:1601.04786 [math.MG ]. Citovat má prázdné neznámé parametry:
| datum přístupu =
,| vydavatel =
, a| web =
(Pomoc) - ^ Ramírez, Rubiano a De Castro (2014). "Zobecnění fraktálu slova Fibonacci a sněhové vločky Fibonacci ", Teoretická informatika, Sv. 528, s. 40-56. [1]
- ^ A b Blondin-Massé, Alexandre; Brlek, Srečko; Garon, Ariane; a Labbé, Sébastien (2009). "Dlaždice Christoffel a Fibonacci ", Přednášky z informatiky: Diskrétní geometrie pro počítačové snímky, str. 67-8. Springer. ISBN 9783642043963.
- ^ A. Blondin-Massé, S. Labbé, S. Brlek, M. Mendès-France (2010). "Fibonacciho sněhové vločky ".[mrtvý odkaz ]
Viz také
externí odkazy
- "Vygenerujte fraktál slova Fibonacci ", OnlineMathTools.com.