Blízko mnohoúhelníku - Near polygon

Hustý téměř polygon s průměrem d = 2

v matematika, a blízko mnohoúhelníku je geometrie dopadu představili Ernest E. Shult a Arthur Yanushka v roce 1980.^[1] Shult a Yanushka ukázali souvislost mezi takzvanými čtyřstěnně uzavřenými lineárními systémy v euklidovských prostorech a třídou geometrie bodové čáry které nazývali blízko polygonů. Tyto struktury zobecňují pojem zobecněný polygon jako každý generalizovaný 2n-gon je téměř 2n-gon konkrétního druhu. Blízké polygony byly intenzivně studovány a souvislost mezi nimi a duálem polární prostory ^[2] byl uveden v 80. a na počátku 90. let. Nějaký sporadické jednoduché skupiny, například Skupina Hall-Janko a Mathieu skupiny, fungují jako automorfické skupiny blízkých polygonů.

Definice

Téměř 2d-gon je struktura výskytu (${ displaystyle P, L, I}$), kde ${ displaystyle P}$ je množina bodů, ${ displaystyle L}$ je sada řádků a ${ displaystyle I subseteq P krát L}$ je vztah výskytu takové, že:

• Maximální vzdálenost mezi dvěma body (tzv. Průměr) je d.
• Za každý bod ${ displaystyle x}$ a každý řádek ${ displaystyle L}$ existuje jedinečný bod ${ displaystyle L}$ který je nejblíže ${ displaystyle x}$.

Všimněte si, že vzdálenost se měří v kolineárnosti graf bodů, tj. graf vytvořený tak, že se body vezmou jako vrcholy a spojí se dvojice vrcholů, pokud narážejí na společnou čáru. Můžeme také dát náhradníka teoretická graf definice, téměř 2d-gon je spojený graf konečného průměru d s vlastností, že pro každý vrchol X a každá maximální klika M existuje jedinečný vrchol X' v M nejblíže k X. Maximální kliky takového grafu odpovídají řádkům v definici struktury dopadu. Téměř 0 gon (d = 0) je jediný bod, zatímco téměř 2-gon (d = 1) je jen jeden řádek, tj. A kompletní graf. Blízký čtyřúhelník (d = 2) je stejný jako (pravděpodobně zdegenerovaný) zobecněný čtyřúhelník. Ve skutečnosti lze prokázat, že každý zobecněný 2d-gon je téměř 2d-gon, který splňuje následující dvě další podmínky:

• Každý bod je incident s alespoň dvěma liniemi.
• Za každé dva body X, y na dálku i < d, existuje jedinečný soused y na dálku i - 1 odX.

Blízký mnohoúhelník se nazývá hustý, pokud každá čára dopadá s alespoň třemi body a pokud každé dva body ve vzdálenosti dva mají alespoň dva společné sousedy. Říká se, že má pořádek (s, t) pokud je každý řádek přesně shodný s + 1 bod a každý bod přesně dopadá t + 1 řádek. Husté blízké polygony mají bohatou teorii a několik jejich tříd (jako tenké husté blízké polygony) bylo zcela klasifikováno.^[3]

Příklady

• Vše připojeno bipartitní grafy jsou blízko polygonů. Ve skutečnosti jakýkoli blízký polygon, který má přesně dva body na řádek, musí být spojeným bipartitním grafem.
• Všechny konečné zobecněné polygony kromě projektivních rovin.
• Všechno duální polární prostory.
• The Hall – Janko near octagon, also known as the Cohen-Prsa blízko osmiúhelníku^[4] spojené s Skupina Hall – Janko. Lze jej sestavit výběrem třída konjugace z 315 centrálních involucí skupiny Hall-Janko jako body a čáry jako tříprvkové podmnožiny {x, y, xy} kdykoli dojíždějí xay.
• The M.₂₄ blízko šestiúhelníku související s Skupina Mathieu M24 a rozšířený binární Golay kód. Je konstruován převzetím 759 oktadů (bloků) v Wittově designu S(5, 8, 24), což odpovídá Golayovu kódu jako bodům a trojici tří párových disjunktních oktad jako linek.^[5]
• Vezměte oddíly z {1, 2, ..., 2n + 2} do n + 1 2 podmnožiny jako body a oddíly do n - 1 2 podmnožiny a jedna 4 podmnožina jako řádky. Bod je dopad na linii, pokud jako přepážka jde o upřesnění linie. To nám dává téměř 2n-gon se třemi body na každém řádku, obvykle označený H_n. Její úplnou skupinou pro automorfismus je symetrická skupina S_2n+2.^[6][7]

Pravidelné poblíž mnohoúhelníků

Konečně blízko ${ displaystyle 2d}$-gon S se nazývá regulární, pokud má objednávku ${ displaystyle (s, t)}$ a pokud existují konstanty ${ displaystyle t_ {i}, i in {1, ldots, d }}$, takže za každé dva body ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ na dálku ${ displaystyle i}$, existují přesně ${ displaystyle t_ {i} +1}$ linky skrz ${ displaystyle y}$ obsahující (nutně jedinečný) bod na dálku ${ displaystyle i-1}$ z ${ displaystyle x}$. Ukazuje se, že pravidelný blízko ${ displaystyle 2d}$-gony jsou přesně ty blízké ${ displaystyle 2d}$-gony, jejichž bodový graf (také známý jako a kolineárnost graf ) je vzdálenost-pravidelný graf. Zobecněný ${ displaystyle 2d}$-gon objednávky ${ displaystyle (s, t)}$ je pravidelný blízký ${ displaystyle 2d}$-gon s parametry ${ displaystyle t_ {1} = 0, t_ {2} = 0, ldots, t_ {d} = t}$

Viz také

• Konečná geometrie
• Polární prostor
• Částečný lineární prostor
• Schéma přidružení
• Hall – Jankov graf

Poznámky

Reference

• Brouwer, A.E .; Cohen, A. M .; Wilbrink, H. A .; Hall, J. J. (1994), „Blízké polygony a Fischerovy prostory“ (PDF), Geom. Dedicata, 49 (3): 349–368, doi:10.1007 / BF01264034.

• Brouwer, A.E.; Cohen, A.M .; Neumaier, A. (1989), Vzdálené pravidelné grafy, Berlín, New York: Springer-Verlag., ISBN  3-540-50619-5, PAN  1002568.

• Brouwer, A.E.; Wilbrink, H. A. (1983), Dvě nekonečné sekvence blízkých polygonů (PDF), Zpráva ZW194 / 83, Mathematisch Centrum.

• Cameron, Peter J. (1982), "Dual polar spaces", Geom. Dedicata, 12: 75–85, doi:10.1007 / bf00147332, PAN  0645040.

• Cameron, Peter J. (1991), Projektivní a polární prostory, QMW Maths Notes, 13, Londýn: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, PAN  1153019.

• De Bruyn, Bart (2006), Blízko polygonů, Frontiers in Mathematics, Birkhäuser Verlag, doi:10.1007/978-3-7643-7553-9, ISBN  3-7643-7552-3, PAN  2227553.

• De Clerck, F .; Van Maldeghem, H. (1995), „Některé třídy geometrií 2. úrovně“, Handbook of Incidence Geometry, Amsterdam: Severní Holandsko, s. 433–475.
• Shult, Ernest E. (2011), Body a čáryUniversitext, Springer, doi:10.1007/978-3-642-15627-4, ISBN  978-3-642-15626-7.

• Shult, Ernest; Yanushka, Arthur (1980), „Near n-gons and line systems“, Geom. Dedicata, 9: 1–72, doi:10.1007 / BF00156473, PAN  0566437.