Sine-Gordonova rovnice - Sine-Gordon equation
The sine-Gordonova rovnice je nelineární hyperbolický parciální diferenciální rovnice v rozměrech 1 + 1 zahrnující operátor d'Alembert a sinus neznámé funkce. To bylo původně představeno Edmond Bour (1862 ) v průběhu studia plochy s konstantním záporným zakřivením jako Gauss – Codazziho rovnice pro plochy zakřivení −1 ve 3prostoru,[1] a nově objevené Frenkelovou a Kontorovou (1939 ) při studiu dislokací krystalů známých jako Frenkel – Kontorova model.[2] Tato rovnice přitahovala v 70. letech velkou pozornost kvůli přítomnosti soliton řešení.
Původ rovnice a její název
Existují dvě ekvivalentní formy sine-Gordonovy rovnice. V (nemovitý ) časoprostorové souřadnice, označeno (X, t), rovnice zní:[3]
kde částečné deriváty jsou označeny indexem. Přihrávka do souřadnice světelného kužele (u, proti), podobný asymptotické souřadnice kde
rovnice má tvar:[4]
Toto je původní forma sine-Gordonovy rovnice, jak byla zvažována v devatenáctém století v průběhu vyšetřování povrchy konstantní Gaussovo zakřivení K. = -1, také volal pseudosférické povrchy. Vyberte souřadnicový systém pro takový povrch, ve kterém je souřadnicová síť u = konstantní, proti = konstanta je dána asymptotické linie parametrizováno vzhledem k délce oblouku. The první základní forma povrchu v těchto souřadnicích má zvláštní tvar
kde vyjadřuje úhel mezi asymptotickými čarami a pro druhá základní forma, L = N = 0. Pak Codazzi-Mainardiho rovnice vyjádření podmínky kompatibility mezi první a druhou základní formou má za následek sine-Gordonovu rovnici. Studium této rovnice a souvisejících transformací pseudosférických povrchů v 19. století Bianchi a Bäcklund vedlo k objevu Bäcklundovy transformace. Další transformací pseudosférických povrchů je Leží transformace představil Sophus Lie v roce 1879, což odpovídá Lorentz posiluje z hlediska souřadnic světelného kužele, tedy sine-Gordonova rovnice je Lorentzův invariant.[5]
Jméno „sine-Gordonova rovnice“ je slovní hříčka na dobře známé Klein-Gordonova rovnice ve fyzice:[3]
Sine-Gordonova rovnice je Euler-Lagrangeova rovnice pole, jehož Lagrangeova hustota darováno
Pomocí rozšíření Taylorovy řady kosinus v Lagrangeově,
lze jej přepsat jako Klein – Gordon Lagrangian plus podmínky vyšší objednávky
Řešení Soliton
Zajímavým rysem sine-Gordonovy rovnice je existence soliton a multisolitonová řešení.
1-solitonová řešení
Sine-Gordonova rovnice má následující 1-soliton řešení:
kde
a předpokládá se o něco obecnější forma rovnice:
Řešení 1-soliton, pro které jsme vybrali pozitivní kořen se nazývá a zlomit, a představuje obrat v proměnné který bere systém z jednoho řešení na sousední s . Státy jsou známé jako vakuové stavy, protože jsou to konstantní řešení nulové energie. 1-solitonové řešení, ve kterém zakládáme záporný kořen se nazývá antikink. Formu řešení 1-soliton lze získat aplikací Bäcklundovy transformace na triviální (konstantní vakuum) řešení a integrací výsledných diferenciálů prvního řádu:
na Pořád.
Řešení 1-soliton lze vizualizovat pomocí modelu pružné pásky sine-Gordon, jak je popsáno v Dodd a spolupracovníci.[6] Tady bereme ve směru hodinových ručiček (levák ) kroucení pružné pásky za zlomení s topologickým nábojem . Alternativní proti směru hodinových ručiček (pravák ) kroucení s topologickým nábojem bude antikink.
2-solitonová řešení
Více-soliton řešení lze získat pokračujícím používáním Bäcklundova transformace k 1-solitonovému roztoku, jak je předepsáno a Bianchi mříž související s transformovanými výsledky.[9] 2-solitonová řešení sine-Gordonovy rovnice ukazují některé charakteristické rysy solitonů. Cestující sinus-Gordonovy smyčky a / nebo antikinky procházejí navzájem jako dokonale propustné a jediným pozorovaným účinkem je fázový posun. Vzhledem k tomu, kolidující solitony obnovit jejich rychlost a tvar takový druh interakce se nazývá elastická kolize.
Další zajímavé 2-solitonové řešení vychází z možnosti spojeného kink-antikinkového chování známého jako a dýchat. Jsou známy tři typy dýchacích cest: stojící dýchač, cestování s velkou amplitudou, a cestování s malou amplitudou.[10]
3-solitonová řešení
3-solitonové srážky mezi pohybujícím se smyčkem a stojatým odvzdušňovačem nebo cestujícím antikinkem a stojatým odvzdušňovačem vedou k fázovému posunu stojícího odvzdušňovače. V procesu kolize mezi pohybujícím se smyčkem a stojícím odvzdušňovačem došlo k posunu odvzdušňovače darováno:
kde je rychlost zalomení a je frekvence dýchání.[10] Pokud je stará poloha stojícího odvzdušňovače , po srážce bude nová poloha .
FDTD (1D) video simulace solitonu se silami
Následující video ukazuje simulaci dvou parkovacích solitónů. Oba vysílají pole tlaku a rychlosti s odlišnou polaritou. Protože konec 1D prostoru není ukončen symetricky - vlny se odrážejí.
Řádky ve videu:
- Protože () část soliton.
- Sin () část soliton.
- Úhlové zrychlení soliton.
- Tlaková složka pole s různou polaritou.
- Rychlostní složka pole - závislá na směru.
Kroky:
- Soliton vysílá ne vázanou energii jako vlny.
- Solitony posílají pole p-v, které se dostane k peerovi.
- Solitony se začínají hýbat.
- Setkají se uprostřed a ničí.
- Hmotnost se šíří jako vlna.
Související rovnice
The sinh-Gordonova rovnice darováno[11]
To je Euler-Lagrangeova rovnice z Lagrangian
Další úzce související rovnice je eliptická sine-Gordonova rovnice, dána
kde je nyní funkcí proměnných X a y. Toto již není solitonová rovnice, ale má mnoho podobných vlastností, protože souvisí se sine-Gordonovou rovnicí analytické pokračování (nebo Rotace knotu ) y = it.
The eliptická sinh-Gordonova rovnice lze definovat podobným způsobem.
Zobecnění je dáno Teorie pole Toda.[12]
Kvantová verze
V kvantové teorii pole obsahuje sine-Gordonův model parametr, který lze identifikovat pomocí Planckova konstanta. Spektrum částic se skládá z soliton, anti-soliton a konečný (případně nulový) počet dýchá. Počet odvzdušňovačů závisí na hodnotě parametru. Produkce více částic se ruší na hromadném plášti. Zmizení amplitudy dvou do čtyř bylo výslovně zkontrolováno v aproximaci jedné smyčky.
Poloklasickou kvantizaci sine-Gordonova modelu provedl Ludwig Faddeev a Vladimír Korepin.[13] Přesnou matici kvantového rozptylu objevil Alexander Zamolodchikov.Tento model je S-dual do Thirring model.
V konečném objemu a na půlřádce
Lze také uvažovat sine-Gordonův model na kruhu, na úsečce nebo na půl úsečce. Je možné najít okrajové podmínky, které zachovají integrovatelnost modelu. Na půlřádce spektrum obsahuje hraniční mezní stavy kromě solitonů a dýchacích cest.
Supersymetrický sine-Gordonův model
Existuje také supersymetrické rozšíření sine-Gordonova modelu. Lze nalézt také integrovatelnost zachovávající okrajové podmínky pro toto rozšíření.
Viz také
Reference
- ^ Bour E (1862). "Théorie de la déformation des povrchy". Journal de l'École Impériale Polytechnique. 19: 1–48.
- ^ Frenkel J, Kontorova T (1939). „K teorii plastické deformace a partnerství“. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Seriya Fizicheskaya. 1: 137–149.
- ^ A b Rajaraman, R. (1989). Solitons and Instantons: An Introduction to Solitons and Instantons in Quantum Field Theory. Osobní knihovna North-Holland. 15. Severní Holandsko. str. 34–45. ISBN 978-0-444-87047-6.
- ^ Polyanin, Andrei D .; Valentin F. Zaitsev (2004). Příručka nelineárních parciálních diferenciálních rovnic. Chapman & Hall / CRC Press. 470–492. ISBN 978-1-58488-355-5.
- ^ Terng, C. L., a Uhlenbeck, K. (2000). "Geometrie solitonů" (PDF). Oznámení AMS. 47 (1): 17–25.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ Dodd, Roger K .; J. C. Eilbeck; J. D. Gibbon; H. C. Morris (1982). Soliton a nelineární vlnové rovnice. London: Academic Press. ISBN 978-0-12-219122-0.
- ^ A b C d E F G h i Georgiev DD, Papaioanou SN, Glazebrook JF (2004). "Neuronový systém uvnitř neuronů: molekulární biologie a biofyzika neuronových mikrotubulů". Biomedicínské recenze. 15: 67–75. doi:10.14748 / bmr.v15.103.
- ^ A b C d E F G h i Georgiev DD, Papaioanou SN, Glazebrook JF (2007). „Solitonové účinky místního elektromagnetického pole na neuronální mikrotubuly“. NeuroQuantologie. 5 (3): 276–291. doi:10.14704 / nq.2007.5.3.137.
- ^ Rogers, C .; W. K. Schief (2002). Bäcklund a Darboux Transformations: Geometry and Modern Applications in Soliton Theory. Cambridge texty v aplikované matematice. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01288-1.
- ^ A b Miroshnichenko A, Vasiliev A, Dmitriev S. Soliton a solitonové kolize.
- ^ Polyanin, Andrei D .; Zaitsev, Valentin F. Příručka nelineárních parciálních diferenciálních rovnic (Druhé vydání.). Boca Raton: CRC Press. str. 485. ISBN 978-1-4200-8723-9.
- ^ Yuanxi, Xie; Tang, Jiashi (únor 2006). "Jednotná metoda řešení rovnic sinh-Gordonova typu". Il Nuovo Cimento B. 121 (2): 115–121. Bibcode:2006NCimB.121..115X. doi:10.1393 / ncb / i2005-10164-6.
- ^ Faddeev LD, Korepin VE (1978). "Kvantová teorie solitonů". Fyzikální zprávy. 42 (1): 1–87. Bibcode:1978PhR .... 42 .... 1F. doi:10.1016/0370-1573(78)90058-3.
externí odkazy
- sine-Gordonova rovnice na EqWorld: Svět matematických rovnic.
- Sinh-Gordonova rovnice na EqWorld: Svět matematických rovnic.
- sine-Gordonova rovnice na NEQwiki, encyklopedii nelineárních rovnic.