Euler – Rodriguesův vzorec - Euler–Rodrigues formula

v matematika a mechanika, Euler – Rodriguesův vzorec popisuje rotaci vektoru ve třech rozměrech. Je to založeno na Rodriguesův rotační vzorec, ale používá jinou parametrizaci.

Rotace je popsána čtyřmi Eulerovy parametry kvůli Leonhard Euler. Rodriguesův vzorec (pojmenovaný po Olinde Rodrigues ), metoda výpočtu polohy otočeného bodu, se používá v některých softwarových aplikacích, například letové simulátory a počítačové hry.

Definice

Rotace o počátku je reprezentována čtyřmi reálnými čísly, $A$ , $b$ , $C$ , $d$ takhle

{ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 1.}

Když se použije rotace, bod v poloze $X \to$ otočí do nové polohy

{ displaystyle { vec {x}} '= { begin {pmatrix} a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2} & 2 (bc-ad) & 2 (bd + ac) 2 (bc + ad) & a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2} -d ^ {2} & 2 (cd-ab) 2 (bd-ac) & 2 ( cd + ab) & a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} end {pmatrix}} { vec {x}}.}

Vektorové složení

Parametr $A$ lze nazvat skalární parametr, zatímco $ω \to = (b, c, d)$ the vektor parametr. Ve standardní vektorové notaci má rotační vzorec Rodrigues kompaktní podobu

${ displaystyle { vec {x}} '= { vec {x}} + 2a ({ vec { omega}} krát { vec {x}}) + 2 vlevo ({ vec { omega}} times ({ vec { omega}} times { vec {x}}) right)}$

Symetrie

Parametry $(A, b, C, d)$ a $(- A, - b, - C, - d)$ popsat stejnou rotaci. Kromě této symetrie popisuje každá sada čtyř parametrů jedinečnou rotaci v trojrozměrném prostoru.

Složení rotací

Složení dvou rotací je samo o sobě rotací. Nechat $(A 1, b 1, C 1, d 1)$ a $(A 2, b 2, C 2, d 2)$ být Eulerovy parametry dvou rotací. Parametry složené rotace (rotace 2 po rotaci 1) jsou následující:

{ displaystyle { begin {aligned} a & = a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2} -c_ {1} c_ {2} -d_ {1} d_ {2}; b & = a_ {1} b_ {2} + b_ {1} a_ {2} -c_ {1} d_ {2} + d_ {1} c_ {2}; c & = a_ {1} c_ {2} + c_ {1} a_ {2} -d_ {1} b_ {2} + b_ {1} d_ {2}; d & = a_ {1} d_ {2} + d_ {1} a_ {2} -b_ {1} c_ {2} + c_ {1} b_ {2}. End {aligned}}}

Je to jednoduché, i když zdlouhavé, to zkontrolovat $A 2 + b 2 + C 2 + d 2 = 1$ . (To je v zásadě Eulerova čtvercová identita, také používá Rodrigues.)

Úhel otáčení a osa otáčení

Jakákoli centrální rotace ve třech rozměrech je jednoznačně určena její osou rotace (představovanou a jednotkový vektor $k \to = (k X, k y, k z)$ ) a úhel otočení $φ$ . Parametry Euler pro tuto rotaci se počítají takto:

{ displaystyle { begin {aligned} a & = cos { frac { varphi} {2}}; b & = k_ {x} sin { frac { varphi} {2}}; c & = k_ {y} sin { frac { varphi} {2}}; d & = k_ {z} sin { frac { varphi} {2}}. end {zarovnáno}}}

Všimněte si, že pokud $φ$ se zvýší o plnou rotaci o 360 stupňů, argumenty sinu a kosinu se zvýší pouze o 180 stupňů. Výsledné parametry jsou opakem původních hodnot, $(- A, - b, - C, - d)$ ; představují stejnou rotaci.

Zejména transformace identity (nulová rotace, $φ = 0$ ) odpovídá hodnotám parametrů $(A, b, C, d) = (\pm1, 0, 0, 0)$ . Výsledkem bude rotace o 180 stupňů kolem jakékoli osy $A = 0$ .

Spojení s čtveřicemi

Na Eulerovy parametry lze pohlížet jako na koeficienty a čtveřice; skalární parametr $A$ je skutečná část, vektorové parametry $b$ , $C$ , $d$ jsou imaginární části. Máme tedy čtveřici

{ displaystyle q = a + bi + cj + dk,}

což je čtveřice jednotkové délky (nebo versor ) od té doby

{ displaystyle left | q right | ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 1.}

Nejdůležitější je, že výše uvedené rovnice pro složení rotací jsou přesně rovnicemi pro násobení čtveřic. Jinými slovy, skupina čtverců jednotek s násobením, modulo záporné znaménko, je izomorfní se skupinou rotací se složením.

Spojení s maticemi SU (2) spin

The Lež skupina SU (2) lze použít k reprezentaci trojrozměrných rotací v 2 × 2 matice. Matice SU (2) odpovídající rotaci, pokud jde o její parametry Euler, je

{ displaystyle U = { begin {pmatrix} , a + di & b + ci - b + ci & a-di end {pmatrix}}.}

Alternativně to lze zapsat jako součet

{ displaystyle { begin {aligned} U & = a { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} + b { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}} + c { begin {pmatrix} 0 & i i & 0 end {pmatrix}} + d { begin {pmatrix} i & 0 0 & -i end {pmatrix}} & = a , I + ic , sigma _ {x} + ib , sigma _ {y} + id , sigma _ {z}, end {zarovnáno}}}

Kde $σ i$ jsou Pauli spin matice. Parametry Euler jsou tedy koeficienty pro reprezentaci trojrozměrné rotace v SU (2).

Viz také

Reference

Cartan, Élie (1981). Theory of Spinors. Doveru. ISBN 0-486-64070-1.
Hamilton, W. R. (1899). Prvky čtveřic. Cambridge University Press.
Haug, E.J. (1984). Počítačem podporovaná analýza a optimalizace dynamiky mechanických systémů. Springer-Verlag.
Garza, Eduardo; Pacheco Quintanilla, M. E. (červen 2011). „Benjamin Olinde Rodrigues, matemático y filántropo, y su influencia en la Física Mexicana“ (PDF). Revista Mexicana de Física (ve španělštině): 109–113. Archivovány od originál (pdf) dne 2012-04-23.
Shuster, Malcolm D. (1993). „Průzkum zastoupení postojů“ (pdf). Journal of the Astronautical Sciences. 41 (4): 439–517.