Speciální konformní transformace - Special conformal transformation

Souřadnicová mřížka před speciální konformní transformací

Stejná mřížka po speciální konformní transformaci

v projektivní geometrie, a speciální konformní transformace je lineární frakční transformace to je ne an afinní transformace. Tak generace speciální konformní transformace zahrnuje použití multiplikativní inverze, což je generátor lineárních frakčních transformací, který není afinní.

v matematická fyzika jisté konformní mapy známý jako sférické vlnové transformace jsou speciální konformní transformace.

Vektorové prezentace

Lze napsat speciální konformní transformaci^[1]

${ displaystyle x '^ { mu} = { frac {x ^ { mu} -b ^ { mu} x ^ {2}} {1-2b cdot x + b ^ {2} x ^ { 2}}} ,.}$

Je to složení inverze (X^μ → X^μ/X²), a překlad (X^μ → X^μ − b^μ) a inverze:

${ displaystyle { frac {x '^ { mu}} {x' ^ {2}}} = { frac {x ^ { mu}} {x ^ {2}}} - b ^ { mu } ,.}$

Své nekonečně malý generátor je

${ displaystyle K _ { mu} = - i (2x _ { mu} x ^ { nu} částečný _ { nu} -x ^ {2} částečný _ { mu}) ,.}$

Alternativní prezentace

Lze také použít inverzi^[2] být multiplikativní inverzí biquaternions B. Složitá algebra B lze rozšířit na P (B) skrz projektivní čára přes prsten. Homografie k P (B) zahrnují překlady:

${ displaystyle U (q, 1) { begin {pmatrix} 1 & 0 t & 1 end {pmatrix}} = U (q + t, 1).}$

Skupina homografie G (B) zahrnuje konjugáty překladu inverzí:

${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 0 t & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix} } = { begin {pmatrix} 1 & t 0 & 1 end {pmatrix}}.}$

Matice popisuje působení speciální konformní transformace.

Reference