Operátor trojrozměrné rotace - Three-dimensional rotation operator - Wikipedia

Tento článek odvozuje hlavní vlastnosti rotace v 3-dimenzionální prostor.

Strom Eulerovy rotace jsou jedním ze způsobů, jak přinést tuhé tělo do libovolné požadované orientace postupným vytvářením rotace kolem osy 'pevné vzhledem k objektu. Toho však lze dosáhnout také jednou rotací (Eulerova věta o rotaci ). Používání konceptů lineární algebra je ukázáno, jak lze tuto jedinou rotaci provést.

Matematická formulace

Nechat (E₁, E₂, E₃) být souřadnicový systém pevně v těle, že změnou orientace A se dostává do nových směrů

${ displaystyle mathbf {A} { hat {e}} _ {1}, mathbf {A} { hat {e}} _ {2}, mathbf {A} { hat {e}} _ {3}.}$

Žádný vektor

${ displaystyle { bar {x}} = x_ {1} { hat {e}} _ {1} + x_ {2} { hat {e}} _ {2} + x_ {3} { hat {e}} _ {3}}$

rotace s tělem se pak uvede do nového směru

${ displaystyle mathbf {A} { bar {x}} = x_ {1} mathbf {A} { hat {e}} _ {1} + x_ {2} mathbf {A} { hat { e}} _ {2} + x_ {3} mathbf {A} { hat {e}} _ {3},}$

to znamená, že se jedná o lineární operátor

The matice z toho operátor vzhledem k souřadnicovému systému (E₁, E₂, E₃) je

${ displaystyle { begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} A_ {31} & A_ {32} & A_ {33} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} langle { hat {e}} _ {1} | mathbf {A} { hat {e}} _ {1} rangle & langle { hat {e}} _ {1} | mathbf {A} { hat {e}} _ {2} rangle & langle { hat {e}} _ {1} | mathbf {A} { hat {e}} _ {3} rangle langle { hat {e}} _ {2} | mathbf {A} { hat {e}} _ {1} rangle & langle { hat {e}} _ {2} | mathbf {A} { hat {e}} _ {2} rangle & langle { hat {e}} _ {2} | mathbf {A} { hat {e}} _ {3} rangle langle { hat {e}} _ {3} | mathbf {A} { hat {e}} _ {1} rangle & langle { hat {e}} _ {3} | mathbf {A} { hat {e}} _ {2} rangle & langle { hat {e}} _ {3} | mathbf {A} { hat {e}} _ {3} rangle end {bmatrix}}.}$

Tak jako

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {3} A_ {ki} A_ {kj} = langle mathbf {A} { hat {e}} _ {i} | mathbf {A} { hat {e}} _ {j} rangle = { begin {cases} 0, & i neq j, 1, & i = j, end {cases}}}$

nebo ekvivalentně v maticovém zápisu

${ displaystyle { begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} A_ {31} & A_ {32} & A_ {33} end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}} { begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} A_ {31 } & A_ {32} & A_ {33} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}},}$

matice je ortogonální a jako pravostranný základní vektorový systém se přeorientuje na jiný pravostranný systém určující této matice má hodnotu 1.

Rotace kolem osy

Nechat (E₁, E₂, E₃) být ortogonálně pozitivně orientovaný základní vektorový systém ve Windows R³. Lineární operátor "rotace o úhel θ kolem osy definované E₃"má maticovou reprezentaci

${ displaystyle { begin {bmatrix} Y_ {1} Y_ {2} Y_ {3} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} X_ {1} X_ {2} X_ {3} end {bmatrix}}}$

ve vztahu k tomuto systému basevector. To pak znamená, že vektor

${ displaystyle { bar {x}} = { begin {bmatrix} { hat {e}} _ {1} & { hat {e}} _ {2} & { hat {e}} _ { 3} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} X_ {1} X_ {2} X_ {3} end {bmatrix}}}$

se otočí na vektor

${ displaystyle { bar {y}} = { begin {bmatrix} { hat {e}} _ {1} & { hat {e}} _ {2} & { hat {e}} _ { 3} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} Y_ {1} Y_ {2} Y_ {3} end {bmatrix}}}$

lineárním operátorem. The určující této matice je

${ displaystyle det { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} = 1,}$

a charakteristický polynom je

${ displaystyle lambda end {bmatrix}} & = left ( left ( cos theta - lambda right) ^ {2} + sin ^ {2} theta right) (1- lambda) & = - lambda ^ {3} + (2 cos theta +1) lambda ^ {2} - (2 cos theta +1) lambda +1 konec {zarovnáno}}.}$

Matice je symetrická právě tehdy hřích θ = 0, to znamená pro θ = 0 a θ = π. Pouzdro θ = 0 je triviální případ operátora identity. Pro případ θ = π the charakteristický polynom je

${ displaystyle - ( lambda -1) doleva ( lambda +1 doprava) ^ {2},}$

operátor rotace má vlastní čísla

${ displaystyle lambda = 1, quad lambda = -1.}$

The vlastní prostor souhlasí s λ = 1 jsou všechny vektory na ose otáčení, jmenovitě všechny vektory

${ displaystyle { bar {x}} = alpha { hat {e}} _ {3}, quad - infty < alpha < infty.}$

The vlastní prostor souhlasí s λ = −1 skládá se ze všech vektorů kolmých k ose otáčení, konkrétně ze všech vektorů

${ displaystyle { bar {x}} = alpha { hat {e}} _ {1} + beta { hat {e}} _ {2}, quad - infty < alpha < infty , quad - infty < beta < infty.}$

Pro všechny ostatní hodnoty θ matice není symetrická a jako hřích² θ > 0 existuje pouze vlastní číslo λ = 1 s jednorozměrným vlastní prostor vektorů na ose otáčení:

${ displaystyle { bar {x}} = alpha { hat {e}} _ {3}, quad - infty < alpha < infty.}$

Matice rotace podle úhlu θ kolem obecné osy otáčení k darováno Rodriguesův rotační vzorec.

${ displaystyle mathbf {R} = mathbf {I} cos theta + [ mathbf {k}] _ { times} sin theta + (1- cos theta) mathbf {k} mathbf {k} ^ { mathsf {T}},}$

kde Já je matice identity a [k]_× je duální 2-forma z k nebo křížová matice produktu,

${ displaystyle [ mathbf {k}] _ { times} = { begin {bmatrix} 0 & -k_ {3} & k_ {2} k_ {3} & 0 & -k_ {1} - k_ {2 } & k_ {1} & 0 end {bmatrix}}.}$

Všimněte si, že [k]_× splňuje [k]_×proti = k × proti pro všechny vektory proti.

Obecný případ

Otočení obsluhy o úhel θ kolem zadané osy "diskutované výše je ortogonální mapování a jeho matice vzhledem k jakémukoli základnímu vektorovému systému je proto ortogonální matice. Kromě toho má jeho determinant hodnotu 1. Netriviální skutečnost je opakem, že pro jakékoli ortogonální lineární mapování v R³ s determinantem 1 existují základní vektory E₁, E₂, E₃ tak, že matice má „kanonickou formu“

${ displaystyle { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}$

pro určitou hodnotu θ. Ve skutečnosti, pokud má lineární operátor ortogonální matice

${ displaystyle { begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} A_ {31} & A_ {32} & A_ {33} konec {bmatrix}}}$

vzhledem k nějakému základnímu vektorovému systému (F₁, F₂, F₃) a tato matice je symetrická, "věta o symetrickém operátoru" platná v Rⁿ (libovolná dimenze) platí, že má n ortogonální vlastní vektory. To znamená pro trojrozměrný případ, že existuje souřadný systém E₁, E₂, E₃ tak, aby matice měla podobu

${ displaystyle { begin {bmatrix} B_ {11} & 0 & 0 0 & B_ {22} & 0 0 & 0 & B_ {33} end {bmatrix}}.}$

Jelikož se jedná o ortogonální matici, jedná se o diagonální prvky B_ii jsou buď 1 nebo -1. Protože determinantem je 1, tyto prvky jsou buď všechny 1, nebo jeden z prvků je 1 a další dva jsou −1. V prvním případě je to triviální operátor identity odpovídající θ = 0. V druhém případě má formu

${ displaystyle { begin {bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}$

jsou-li basevektory očíslovány tak, že ten s vlastní hodnotou 1 má index 3. Tato matice má potom požadovaný tvar pro θ = π.

Pokud je matice asymetrická, vektor

${ displaystyle { bar {E}} = alpha _ {1} { hat {f}} _ {1} + alpha _ {2} { hat {f}} _ {2} + alpha _ {3} { hat {f}} _ {3},}$

kde

${ displaystyle alpha _ {1} = { frac {A_ {32} -A_ {23}} {2}}, quad alpha _ {2} = { frac {A_ {13} -A_ {31 }} {2}}, quad alpha _ {3} = { frac {A_ {21} -A_ {12}} {2}}}$

je nenulová. Tento vektor je vlastní vektor s vlastní hodnotou λ = 1. Nastavení

${ displaystyle { hat {e}} _ {3} = { frac { bar {E}} {| { bar {E}} |}}}$

a výběr jakýchkoli dvou ortogonálních jednotkových vektorů E₁ a E₂ v rovině kolmé na E₃ takhle E₁, E₂, E₃ vytvoří pozitivně orientovanou trojku, operátor získá požadovanou formu s

${ displaystyle { begin {aligned} cos theta & = { frac {A_ {11} + A_ {22} + A_ {33} -1} {2}}, sin theta & = | { bar {E}} |. end {zarovnáno}}}$

Výše uvedené výrazy jsou ve skutečnosti platné také pro případ operátoru symetrické rotace odpovídající rotaci s θ = 0 nebo θ = π. Rozdíl je však v tom, že pro θ = π vektor

${ displaystyle { bar {E}} = alpha _ {1} { hat {f}} _ {1} + alpha _ {2} { hat {f}} _ {2} + alpha _ {3} { hat {f}} _ {3}}$

je nula a není použitelná pro nalezení vlastního prostoru vlastního čísla 1 a odtud osy otáčení.

Definování E₄ tak jako cos θ matice pro operátor rotace je

${ displaystyle { frac {1-E_ {4}} {E_ {1} ^ {2} + E_ {2} ^ {2} + E_ {3} ^ {2}}} { begin {bmatrix} E_ {1} E_ {1} & E_ {1} E_ {2} & E_ {1} E_ {3} E_ {2} E_ {1} & E_ {2} E_ {2} & E_ {2} E_ {3} E_ {3} E_ {1} & E_ {3} E_ {2} & E_ {3} E_ {3} end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} E_ {4} & - E_ {3} & E_ { 2} E_ {3} & E_ {4} & - E_ {1} - E_ {2} & E_ {1} & E_ {4} end {bmatrix}},}$

pokud

${ displaystyle E_ {1} ^ {2} + E_ {2} ^ {2} + E_ {3} ^ {2}> 0.}$

to znamená, s výjimkou případů θ = 0 (operátor identity) a θ = π.

Čtveřice

Čtvrtečky jsou definovány podobně jako E₁, E₂, E₃, E₄ s tím rozdílem, že poloviční úhel θ/2 se používá místo plného úhlu θ. To znamená, že první 3 komponenty q₁, q₂, q₃ složky vektoru definované z

${ displaystyle q_ {1} { hat {f}} _ {1} + q_ {2} { hat {f}} _ {2} + q_ {3} { hat {f}} _ {1} = sin { frac { theta} {2}}, quad { hat {e}} _ {3} = { frac { sin { frac { theta} {2}}} { sin theta}}, quad { bar {E}},}$

a že čtvrtá složka je skalární

${ displaystyle q_ {4} = cos { frac { theta} {2}}.}$

Jako úhel θ definovaný z kanonické formy je v intervalu

${ displaystyle 0 leq theta leq pi,}$

jeden by to normálně měl q₄ ≥ 0. Používá se ale „dvojí“ reprezentace rotace s čtveřicemi, to znamená (q₁, q₂, q₃, q₄)}} a (−q₁, −q₂, −'q₃, −q₄) jsou dvě alternativní reprezentace jedné a stejné rotace.

Subjekty E_k jsou definovány z čtveřic pomocí

${ displaystyle { begin {aligned} E_ {1} & = 2q_ {4} q_ {1}, quad E_ {2} = 2q_ {4} q_ {2}, quad E_ {3} = 2q_ {4 } q_ {3}, [8px] E_ {4} & = q_ {4} ^ {2} - left (q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} + q_ {3 } ^ {2} vpravo). End {zarovnáno}}}$

Pomocí čtveřic je matice rotačního operátoru

${ displaystyle { begin {bmatrix} 2 left (q_ {1} ^ {2} + q_ {4} ^ {2} right) -1 & 2 left (q_ {1} q_ {2} -q_ {3 } q_ {4} right) & 2 left (q_ {1} q_ {3} + q_ {2} q_ {4} right) 2 left (q_ {1} q_ {2} + q_ {3 } q_ {4} right) & 2 left (q_ {2} ^ {2} + q_ {4} ^ {2} right) -1 & 2 left (q_ {2} q_ {3} -q_ {1} q_ {4} right) 2 left (q_ {1} q_ {3} -q_ {2} q_ {4} right) & 2 left (q_ {2} q_ {3} + q_ {1} q_ {4} right) & 2 left (q_ {3} ^ {2} + q_ {4} ^ {2} right) -1 end {bmatrix}}.}$

Numerický příklad

Zvažte přeorientování odpovídající Eulerovy úhly α = 10°, β = 20°, y = 30° vzhledem k danému základnímu vektorovému systému (F₁, F₂, F₃). Odpovídající matice vzhledem k tomuto základnímu vektorovému systému je (viz Eulerovy úhly # Maticová orientace )

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0,771281 & -0,633718 & 0,059391 0,613092 & 0,714610 & -0,336824 0,171010 & 0,296198 & 0,939693 end {bmatrix}},}$

a čtveřice je

${ displaystyle (0,171010, -0,030154,0,336824,0,925417).}$

Kanonická podoba tohoto operátoru

${ displaystyle { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}$

s θ = 44.537° se získá s

${ displaystyle { hat {e}} _ {3} = (0,451272, -0,079571,0,888832).}$

Čtvrtina relativní k tomuto novému systému je tedy

${ displaystyle (0,0,0,378951,0,925417) = left (0,0, sin { frac { theta} {2}}, cos { frac { theta} {2}} vpravo) .}$

Místo tří rotací Euler 10 °, 20 °, 30 ° lze dosáhnout stejné orientace s jediným otočením o velikosti 44,537 ° kolem E₃.

Reference

• Shilov, Georgi (1961), Úvod do teorie lineárních prostorů, Prentice-Hall, Library of Congress 61-13845.