Hyperbolický sektor - Hyperbolic sector

A hyperbolický sektor je regionem Kartézské letadlo {(X,y)} ohraničený paprsky od počátku do dvou bodů (A, 1/A) a (b, 1/b) a obdélníková hyperbola xy = 1 (nebo odpovídající oblast, když je tato hyperbola změněna a její orientace je změněn a otáčení ponechání středu v počátku, jako u jednotka hyperbola ).
Hyperbolický sektor na standardní pozici má A = 1 a b > 1 .
Hyperbolické sektory jsou základem pro hyperbolické funkce.
Plocha

The plocha hyperbolického sektoru ve standardní pozici je přirozený logaritmus z b .
Důkaz: Integrovat pod 1 /X od 1 do b, přidejte trojúhelník {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} a odečtěte trojúhelník {(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)}.[1]
Ve standardní pozici odpovídá hyperbolický sektor kladné hodnotě hyperbolický úhel na počátku, přičemž míra druhého je definována jako oblast prvního.
Hyperbolický trojúhelník

Ve standardní poloze určuje hyperbolický sektor a hyperbolický trojúhelník, pravoúhlý trojuhelník s jedním vrchol na počátku, základna na diagonálním paprsku y = Xa třetí vrchol na hyperbola
s přeponou je segment od počátku do bodu (x, y) na hyperbole. Délka základny tohoto trojúhelníku je
a nadmořská výška je
kde u je vhodné hyperbolický úhel.
Analogii mezi kruhovými a hyperbolickými funkcemi popsal Augustus De Morgan v jeho Trigonometrie a dvojitá algebra (1849).[2] William Burnside použil takové trojúhelníky, vyčnívající z bodu na hyperbole xy = 1 na hlavní úhlopříčku, ve svém článku „Poznámka k větě sčítání pro hyperbolické funkce“.[3]
Hyperbolický logaritmus

Studenti integrální počet vím, že f (X) = Xp má algebraiku primitivní kromě případu p = –1 odpovídá kvadratura hyperboly. Ostatní případy jsou dány Cavalieriho kvadraturní vzorec. Zatímco kvadraturu paraboly dosáhl Archimedes ve třetím století před naším letopočtem (v Kvadratura paraboly ), hyperbolická kvadratura vyžadovala v roce 1647 vynález nové funkce: Gregoire de Saint-Vincent řeší problém výpočtu oblastí ohraničených hyperbolou. Jeho nálezy vedly k přirozené logaritmické funkci, které se kdysi říkalo hyperbolický logaritmus protože se získá integrací nebo nalezení oblasti pod hyperbolou.[4]
Před rokem 1748 a vydáním Úvod do analýzy nekonečna, přirozený logaritmus byl znám z hlediska oblasti hyperbolického sektoru. Leonhard Euler když to představil, to změnilo transcendentální funkce například 10X. Euler identifikován E jako hodnota b produkující jednotku plochy (pod hyperbolou nebo v hyperbolickém sektoru ve standardní poloze). Pak mohl být přirozený logaritmus rozpoznán jako inverzní funkce k transcendentální funkci eX.
Hyperbolická geometrie
Když Felix Klein napsal svou knihu dne neeuklidovská geometrie v roce 1928 poskytl tomuto subjektu základ s odkazem na projektivní geometrie. Aby stanovil hyperbolické měřítko na linii, poznamenal, že oblast hyperbolického sektoru poskytuje vizuální ilustraci konceptu.[5]
Hyperbolické sektory lze také přitáhnout k hyperbole . Oblast těchto hyperbolických sektorů byla použita k definování hyperbolické vzdálenosti v učebnici geometrie.[6]
Viz také
Reference
- ^ V.G. Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) Nápady a metody afinní a projektivní geometrie (v ruština ), strana 151, ministerstvo školství, Moskva
- ^ Augustus De Morgan (1849) Trigonometrie a dvojitá algebra Kapitola VI: „O propojení běžné a hyperbolické trigonometrie“
- ^ William Burnside (1890) Posel matematiky 20: 145–8, viz schéma na straně 146
- ^ Martin Flashman Historie logaritmů z Humboldtova státní univerzita
- ^ Felix Klein (1928) Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie, str. 173, obrázek 113, Julius Springer, Berlín
- ^ Jürgen Richter-Gebert (2011) Pohledy na projektivní geometrii, str. 385, ISBN 9783642172854 PAN2791970