Úhel paralelismu - Angle of parallelism

Úhel rovnoběžnosti v hyperbolické geometrii

v hyperbolická geometrie, úhel rovnoběžnosti ${ displaystyle Pi (a)}$ , je úhel v pravém úhlu vrcholu pravice hyperbolický trojúhelník mít dva asymptotická rovnoběžka strany. Úhel závisí na délce segmentu A mezi pravým úhlem a vrcholem úhlu rovnoběžnosti.

Vzhledem k tomu, že bod není na přímce, umístěte kolmo na přímku z bodu. Nechat A být délka tohoto kolmého segmentu a ${ displaystyle Pi (a)}$ být nejmenší úhel, aby přímka vedená bodem neprotínala danou přímku. Jelikož jsou dvě strany asymptoticky paralelní,

{ displaystyle lim _ {a to 0} Pi (a) = { tfrac {1} {2}} pi quad { text {a}} quad lim _ {a to infty } Pi (a) = 0.}

Existuje pět ekvivalentních výrazů, které se vztahují ${ displaystyle Pi (a)}$ a A:

{ displaystyle sin Pi (a) = operatorname {sech} a = { frac {1} { cosh a}} = { frac {2} {e ^ {a} + e ^ {- a} }} ,}

{ displaystyle cos Pi (a) = tanh a = { frac {e ^ {a} -e ^ {- a}} {e ^ {a} + e ^ {- a}}} ,}

{ displaystyle tan Pi (a) = operatorname {csch} a = { frac {1} { sinh a}} = { frac {2} {e ^ {a} -e ^ {- a} }} ,}

{ displaystyle tan left ({ tfrac {1} {2}} Pi (a) right) = e ^ {- a},}

{ displaystyle Pi (a) = { tfrac {1} {2}} pi - operatorname {gd} (a),}

kde jsou sinh, cosh, tanh, sech a csch hyperbolické funkce a gd je Gudermannská funkce.

Konstrukce

János Bolyai objevil konstrukci, která dává asymptotickou paralelu s na řádek r procházející bodem A ne na r.^[1] Pustit kolmici z A na B na r. Vyberte libovolný bod C na r odlišný od B. Vztyčte kolmo t na r na C. Pustit kolmici z A na D na t. Pak délka DA je delší než CB, ale kratší než CA. Nakreslete kruh C s poloměrem rovným DA. Protíná segment AB v určitém okamžiku E. Pak úhel BEC je nezávislá na délce před naším letopočtem, záleží jen na AB; je to úhel paralelismu. Postavit s přes A pod úhlem BEC z AB.

{ displaystyle sin BEC = { frac { sinh {BC}} { sinh {CE}}} = { frac { sinh {BC}} { sinh {DA}}} = { frac { sinh {BC}} { sin {ACD} sinh {CA}}} = { frac { sinh {BC}} { cos {ACB} sinh {CA}}} = { frac { sinh { BC} tanh {CA}} { tanh {CB} sinh {CA}}} = { frac { cosh {BC}} { cosh {CA}}} = { frac { cosh {BC} } { cosh {CB} cosh {AB}}} = { frac {1} { cosh {AB}}} ,.}

Vidět Trigonometrie pravoúhlých trojúhelníků pro zde použité vzorce.

Dějiny

The úhel rovnoběžnosti byl vyvinut v roce 1840 v německé publikaci „Geometrische Untersuchungen zur Theory der Parallellinien“ Nikolai Lobachevsky.

Tato publikace se stala široce známou v angličtině po profesorovi z Texasu G. B. Halsted vytvořil překlad v roce 1891. (Geometrické výzkumy teorie rovnoběžek)

Následující pasáže definují tento stěžejní koncept v hyperbolické geometrii:

Úhel HAD mezi rovnoběžkou HA a kolmým AD se nazývá paralelní úhel (úhel rovnoběžnosti), který zde označíme Π (p) pro AD = p.^[2]^:13^[3]

Demonstrace

Úhel rovnoběžnosti, φ, formulované jako: (a) Úhel mezi osou x a přímkou vedoucí od X, centrum města Q, do y, Y-průsečík Q, a (b) Úhel z tečny Q na y k ose y.
Tento diagram se žlutou barvou ideální trojúhelník, je podobný tomu, který najdete v knize Smogorzhevského.^[4]

V Poincarého polorovinový model hyperbolické roviny (viz Hyperbolické pohyby ), lze navázat vztah φ na A s Euklidovská geometrie. Nechat Q být půlkruh s průměrem na X-osa, která prochází body (1,0) a (0,y), kde y > 1. Od té doby Q je tečna k jednotkovému půlkruhu se středem v počátku, představují dva půlkruhy paralelní hyperbolické čáry. The y- osa protíná oba půlkruhy, přičemž s jednotkovým půlkruhem vytváří pravý úhel a proměnný úhel φ s Q. Úhel ve středu Q podřízené poloměrem na (0,y) je také φ protože dva úhly mají strany, které jsou kolmé, levá strana k levé straně a pravá strana k pravé straně. Půlkruh Q má střed v (X, 0), X <0, takže jeho poloměr je 1 -X. Poloměr tedy na druhou Q je

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (1-x) ^ {2},}

proto

{ displaystyle x = { tfrac {1} {2}} (1-y ^ {2}).}

The metrický z Poincarého polorovinový model hyperbolické geometrie parametrizuje vzdálenost na paprsku {(0,y) : y > 0} s logaritmická míra. Nechte se přihlásity = A, tak y = e^A kde E je základem přirozený logaritmus. Pak vztah mezi φ a A lze odvodit z trojúhelníku {(X, 0), (0, 0), (0, y)}, například:

{ displaystyle tan phi = { frac {y} {- x}} = { frac {2y} {y ^ {2} -1}} = { frac {2e ^ {a}} {e ^ {2a} -1}} = { frac {1} { sinh a}}.}

Reference

^ „Neeuklidovská geometrie“ Roberto Bonola, strana 104, Dover Publications.
^ Nikolai Lobachevsky (1840) G. B. Halsted překladatel (1891) Geometrické výzkumy teorie rovnoběžek, odkaz od Knihy Google
^ Bonola, Roberto (1955). Neeuklidovská geometrie: kritická a historická studie jejího vývoje (Nezkrácené a nezměněné republiky 1. anglického překladu 1912. vyd.). New York, NY: Dover. ISBN 0-486-60027-0.
^ TAK JAKO. Smogorzhevsky (1982) Lobachevskian geometrie, §12 Základní vzorce hyperbolické geometrie, obrázek 37, strana 60, Mir Publishers, Moskva

Marvin J. Greenberg (1974) Euklidovské a neeuklidovské geometrie, str. 211–3, W.H. Freeman & Company.
Robin Hartshorne (1997) Společník Euklida 319, 325, Americká matematická společnost, ISBN 0821807978.
Jeremy Gray (1989) Myšlenky vesmíru: euklidovské, neeuklidovské a relativistické, 2. vydání, Clarendon Press, Oxford (Viz strany 113 až 118).
Béla Kerékjártó (1966) Les Fondements de la Géométry, Tome Deux, § 97,6 Angle de parallélisme de la géométry hyperbolique, str. 411,2, Akademiai Kiado, Budapešť.

[1] „Neeuklidovská geometrie“ Roberto Bonola, strana 104, Dover Publications.

[Lob-2] Nikolai Lobachevsky (1840) G. B. Halsted překladatel (1891) Geometrické výzkumy teorie rovnoběžek, odkaz od Knihy Google

[3] Bonola, Roberto (1955). Neeuklidovská geometrie: kritická a historická studie jejího vývoje (Nezkrácené a nezměněné republiky 1. anglického překladu 1912. vyd.). New York, NY: Dover. ISBN 0-486-60027-0.

[4] TAK JAKO. Smogorzhevsky (1982) Lobachevskian geometrie, §12 Základní vzorce hyperbolické geometrie, obrázek 37, strana 60, Mir Publishers, Moskva

[1]

[2]

[3]

[4]