Transformace sférických vln - Spherical wave transformation - Wikipedia

Transformace sférických vln opustit formu sférické vlny stejně jako zákony optika a elektrodynamika neměnný ve všech setrvačné rámy. Byly definovány v letech 1908 až 1909 Harry Bateman a Ebenezer Cunningham, přičemž Bateman pojmenoval transformaci.^{[M 1]} Odpovídají konformní skupina "transformace vzájemnými poloměry" ve vztahu k rámci Geometrie sféry lži, které byly známy již v 19. století. Čas se používá jako čtvrtá dimenze jako v Minkowského prostor, takže sférické vlnové transformace jsou spojeny s Lorentzova transformace z speciální relativita, a ukázalo se, že konformní skupina časoprostoru zahrnuje Skupina Lorentz a Poincarého skupina jako podskupiny. Pouze skupiny Lorentz / Poincaré však představují symetrie všech zákonů přírody včetně mechaniky, zatímco konformní skupina souvisí s určitými oblastmi, jako je elektrodynamika.^[1][2][3] Kromě toho lze prokázat, že konformní skupina roviny (odpovídá Skupina Möbius z rozšířená komplexní rovina ) je izomorfní do skupiny Lorentz.^[4]

Zvláštní případ geometrie Lie koule je transformace vzájemnými směry nebo Laguerrova inverze, která je generátorem Skupina Laguerre. Transformuje nejen koule na koule, ale také letadla na letadla.^[5][6][7] Pokud je čas používán jako čtvrtá dimenze, poukázali na blízkou analogii Lorentzovy transformace i izomorfismus se skupinou Lorentz několik autorů, jako je Bateman, Cartan nebo Poincaré.^{[M 2][8][M 3][9][10][11][12][13]}

Transformace pomocí vzájemných poloměrů

Vývoj v 19. století

Inverze zachování úhly mezi kruhy byly nejprve projednány Durrande (1820), s Quetelet (1827) a Plücker (1828) zapisuje odpovídající transformační vzorec, ${ displaystyle k}$ je poloměr inverze:^[14]

${ displaystyle x ^ { prime} = { frac {k ^ {2} x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}, quad y ^ { prime} = { frac {k ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$.

Tyto inverze se později nazývaly „transformace vzájemnými poloměry“ a staly se lépe známými, když Thomson (1845, 1847) je aplikovali na koule se souřadnicemi ${ displaystyle x, y, z}$ v průběhu vývoje metoda inverze v elektrostatika.^[15] Joseph Liouville (1847) prokázal svůj matematický význam tím, že ukázal, že patří k konformní transformace produkující následující kvadratická forma:^{[M 4]}

${ displaystyle delta x ^ { prime 2} + delta y ^ { prime 2} + delta z ^ { prime 2} = lambda left ( delta x ^ {2} + delta y ^ {2} + delta z ^ {2} vpravo)}$.

Sám Liouville^{[M 5]} a podrobněji Sophus Lie (1871)^{[M 6]} ukázal, že související konformní skupina lze rozlišit (Liouvilleova věta ): Například, ${ displaystyle lambda = 1}$ zahrnuje Euklidovská skupina běžných pohybů; ${ displaystyle lambda neq 1}$ měřítkové nebo podobnostní transformace ve kterém jsou souřadnice předchozích transformací vynásobeny ${ displaystyle { sqrt { lambda}}}$; a ${ displaystyle lambda = k ^ {4} / left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} right) ^ {2}}$ dává Thomsonovu transformaci pomocí vzájemných poloměrů (inverzí):^{[M 5]}

${ displaystyle x ^ { prime} = { frac {k ^ {2} x} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}, quad y ^ { prime} = { frac {k ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}, quad z ^ { prime} = { frac {k ^ {2 } z} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$.

Následně byla Liouvilleova věta rozšířena na ${ displaystyle n}$ rozměry podle lži (1871)^{[M 6]} a další, jako je Darboux (1878):^{[M 7]}

${ displaystyle delta x_ {1} ^ { prime 2} + dots + delta x_ {n} ^ { prime 2} = lambda left ( delta x_ {1} ^ {2} + dots + delta x_ {n} ^ {2} vpravo)}$.

Tato skupina konformních transformací pomocí vzájemných poloměrů zachovává úhly a transformuje koule na koule nebo hypersféry (vidět Möbiova transformace, konformní symetrie, speciální konformní transformace ). Jedná se o 6parametrovou skupinu v rovině R² což odpovídá Skupina Möbius z rozšířená komplexní rovina,^[16][4] skupina 10 parametrů ve vesmíru R³a skupina 15 parametrů v R⁴. v R² představuje pouze malou podmnožinu všech konformních transformací, zatímco v R^{2 + n} je shodná se skupinou všech konformních transformací (odpovídající Möbiově transformacím ve vyšších dimenzích), v souladu s Liouvilleovou větou.^[16] Konformní transformace v R³ byly často aplikovány na to, co Darboux (1873) nazýval "pentasférické souřadnice" tím, že vztahovaly body k homogenní souřadnice založené na pěti sférách.^[17][18]

Orientované koule

Další metodou řešení těchto problémů s koulí bylo zapsat souřadnice spolu s poloměrem koule.^[19] Toho využil Lie (1871) v kontextu Geometrie sféry lži což představuje obecný rámec transformací sféry (což je zvláštní případ kontaktní transformace ) konzervování křivky zakřivení a přeměňovat koule na koule.^{[M 8]} Výše uvedená skupina 10 parametrů v R³ související s pentasférickými souřadnicemi je rozšířena na 15parametrickou skupinu transformací Lieových koulí souvisejících s "hexasferickými souřadnicemi" (pojmenovaných Klein v roce 1893) přidáním šesté homogenní souřadnice související s poloměrem.^{[M 9][17][20]} Protože poloměr koule může mít kladné nebo záporné znaménko, jedna koule vždy odpovídá dvěma transformovaným sférám. Je výhodné tuto nejednoznačnost odstranit přidělením určitého znaménka poloměru, v důsledku čehož také dáte sférám určitou orientaci, takže jedna orientovaná koule odpovídá jedné transformované orientované sféře.^[21] Tuto metodu občas a implicitně použil Lie (1871)^{[M 6]} sám a výslovně představil Laguerre (1880).^{[M 10]} Kromě toho Darboux (1887) přinesl transformace pomocí vzájemných poloměrů do formy, ve které byl poloměr r koule lze určit, pokud je znám poloměr druhé:^{[M 11]}

${ displaystyle { begin {aligned} x ^ { prime} & = { frac {k ^ {2} x} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -r ^ { 2}}}, quad & z ^ { prime} & = { frac {k ^ {2} z} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -r ^ {2} }}, y '& = { frac {k ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -r ^ {2}}}, & r ^ { prime} & = { frac { pm k ^ {2} r} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -r ^ {2}}}. end {zarovnáno} }}$

Používání souřadnic spolu s poloměrem bylo často spojeno s metodou, kterou Klein (1893) nazval „minimální projekce“,^{[M 12]} který později nazval „izotropní projekce“ Blaschke (1926) zdůrazňující vztah k orientovaným kruhům a sférám.^[22] Například kruh s obdélníkovými souřadnicemi ${ displaystyle x, y}$ a poloměr ${ displaystyle r}$ v R² odpovídá bodu v R³ se souřadnicemi ${ displaystyle x, y, z}$. Tato metoda byla po nějakou dobu známá v geometrii kruhů (i když bez použití konceptu orientace) a lze ji dále rozlišovat v závislosti na tom, zda se s další souřadnicí zachází jako imaginární nebo skutečné: ${ displaystyle z = ir}$ byl používán uživatelem Chasles (1852), Möbius (1857), Cayley (1867) a Darboux (1872);^{[M 13]} ${ displaystyle z = r}$ byl používán uživatelem Cousinery (1826), Druckenmüller (1842) a v „cyklografii“ z Fiedler (1882), proto se druhá metoda nazývala také „cyklografická projekce“ - viz E. Müller (1910) pro shrnutí.^[23] Tato metoda byla také aplikována na sféry^{[M 14]} autor Darboux (1872),^{[M 15]} Lež (1871),^{[M 6]} nebo Klein (1893).^{[M 12]} Nechat ${ displaystyle x, y, z, r}$ a ${ displaystyle x ', y', z ', r'}$ být středové souřadnice a poloměry dvou koulí v trojrozměrném prostoru R³. Pokud se koule navzájem dotýkají se stejnou orientací, je dána jejich rovnice

${ displaystyle (x-x ') ^ {2} + (y-y') ^ {2} + (z-z ') ^ {2} - (r-r') ^ {2} = 0}$.

Nastavení ${ displaystyle t = ir}$, tyto souřadnice odpovídají pravoúhlým souřadnicím ve čtyřrozměrném prostoru R⁴:^{[M 15][M 12]}

${ displaystyle (x-x ') ^ {2} + (y-y') ^ {2} + (z-z ') ^ {2} + (t-t') ^ {2} = 0}$.

Obecně Lie (1871) ukázal, že konformní bodové transformace v Rⁿ (složené z pohybů, podobností a transformací pomocí vzájemných poloměrů) odpovídají v R^n-1 k těm transformacím koule, které jsou kontaktní transformace.^{[M 16][24]} Klein (1893) poukázal na to, že při použití minimální projekce na hexasférické souřadnice se transformace 15parametrické sférické transformace v R³ jsou jednoduše projekce 15parametrových transformací konformních bodů v R⁴, zatímco body v R⁴ lze vidět jako stereografická projekce bodů koule v R⁵.^{[M 9][25]}

Vztah k elektrodynamice

Harry Bateman a Ebenezer Cunningham (1909)^{[M 1]} ukázal, že elektromagnetické rovnice jsou nejen Lorentzovy invariantní, ale také měřítko a konformní invariant.^[26] Jsou neměnné v rámci skupiny 15 parametrů konformních transformací ${ displaystyle G_ {15}}$ (transformace pomocí vzájemných poloměrů) v R⁴ vytváření vztahu

${ displaystyle delta x ^ { prime 2} + delta y ^ { prime 2} + delta z ^ { prime 2} + delta u ^ { prime 2} = lambda left ( delta x ^ {2} + delta y ^ {2} + delta z ^ {2} + delta u ^ {2} right)}$,

kde ${ Displaystyle u = Ict}$ zahrnuje ${ displaystyle t}$ jako časová složka a ${ displaystyle c}$ jako rychlost světla. Bateman (1909) si také všiml rovnocennosti s dříve zmíněnými transformacemi Lieových koulí R³, protože poloměr ${ displaystyle r}$ použité v nich lze interpretovat jako poloměr ${ displaystyle ct}$ sférické vlny smršťující se nebo expandující s ${ displaystyle c}$, proto je nazval „sférické vlnové transformace“.^{[M 17]} Napsal:^{[M 18]}

Když použijeme Darbouxovu reprezentaci bodu v ${ displaystyle S_ {4}}$ sférickou vlnou v ${ displaystyle S_ {3}}$, skupina ${ displaystyle G_ {15}}$ se stává skupinou transformací sférických vln, které transformují sférickou vlnu na sférickou vlnu. Tato skupina transformací byla diskutována S. Lie; je to skupina transformací, které transformují linie zakřivení na povrchu obklopeném sférickými vlnami na linie zakřivení na povrchu obklopeném odpovídajícími sférickými vlnami.

Záleží na ${ displaystyle lambda}$ lze je rozdělit do podskupin:^[27]

(A) ${ displaystyle lambda = 1}$ odpovídají mapováním, která transformují nejen koule na koule, ale také letadla na letadla. Tito se nazývají Laguerrovy transformace / inverze tvoří Laguerrovu skupinu, která ve fyzice odpovídá Lorentzovým transformacím tvořícím 6-parametr Skupina Lorentz nebo 10-parametr Poincarého skupina s překlady.^[28]

b) ${ displaystyle lambda neq 1}$ představuje měřítkové nebo podobnostní transformace vynásobením časoprostorových proměnných Lorentzových transformací konstantním faktorem v závislosti na ${ displaystyle lambda}$.^[29] Například pokud ${ displaystyle l = { sqrt { lambda}}}$ je použita transformace daná Poincaré v roce 1905 následuje:^{[M 19]}

${ displaystyle x ^ { prime} = gamma l left (x-vt right), quad y ^ { prime} = ly, quad z ^ { prime} = lz, quad t ^ { prime} = gamma l left (tx { frac {v} {c ^ {2}}} right)}$.

Ukázali to však Poincaré a Einstein jen to ${ displaystyle l = 1}$ vytváří skupinu, která je symetrií všech přírodních zákonů, jak to vyžaduje princip relativity (skupina Lorentz), zatímco skupina transformací měřítka je pouze symetrií optiky a elektrodynamiky.

(c) Nastavení ${ displaystyle lambda = r ^ {4} / left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + u ^ {2} right) ^ {2}}$ týká se zejména široké konformní skupiny transformací pomocí vzájemných poloměrů. Skládá se z elementárních transformací, které představují zobecněnou inverzi do čtyřrozměrného hypersféra:^[30]

${ displaystyle { begin {aligned} x '& = { frac {k ^ {2} x} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + u ^ {2}}} , quad & z '& = { frac {k ^ {2} z} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + u ^ {2}}}, y' & = { frac {k ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + u ^ {2}}}, & u '& = { frac {k ^ { 2} u} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + u ^ {2}}}, end {zarovnáno}}}$

které se stávají skutečnými sférickými vlnovými transformacemi, pokud jde o geometrii Lieovy koule, pokud je to skutečný poloměr ${ displaystyle ct}$ se používá místo ${ Displaystyle u = Ict}$, tím pádem ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -c ^ {2} t ^ {2}}$ je uveden ve jmenovateli.^{[M 1]}

Felix Klein (1921) poukázal na podobnost těchto vztahů s Lieovými a jeho vlastními výzkumy z roku 1871 a dodal, že konformní skupina nemá stejný význam jako Lorentzova skupina, protože první platí pro elektrodynamiku, zatímco druhá je symetrií všech přírodní zákony včetně mechaniky.^{[M 20]} Po nějakou dobu byla diskutována možnost, zda konformní transformace umožňují transformaci do rovnoměrně zrychlených rámců.^[31] Později se konformní invariance znovu stala důležitou v určitých oblastech, jako např teorie konformního pole.^[32]

Lorentzova skupina je izomorfní se skupinou Möbius

Ukazuje se, že také 6parametrická konformní skupina R² (tj Skupina Möbius složen z automorfismy z Riemannova koule ),^[4] což je izomorfní se skupinou 6 parametrů hyperbolické pohyby (tj. izometrické automorfismy a hyperbolický prostor ) v R³,^[33] lze fyzicky interpretovat: Je izomorfní se skupinou Lorentz.

Například, Fricke a Klein (1897) začal definováním „absolutního“ Cayley metrický pokud jde o jednodílnou křivočarou plochu druhého stupně, kterou lze reprezentovat koulí, jejíž vnitřek představuje hyperbolický prostor s rovnicí^[34]

${ displaystyle z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} = 0}$,

kde ${ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}}$ jsou homogenní souřadnice. Poukázali na to, že pohyby hyperbolického prostoru do sebe také transformují tuto sféru v sebe. Vyvinuli odpovídající transformaci definováním komplexního parametru ${ displaystyle xi}$ koule^[35]

${ displaystyle xi = { frac {z_ {1} + iz_ {2}} {z_ {4} -z_ {3}}}}$

který je připojen k jinému parametru ${ displaystyle xi '}$ střídáním

${ displaystyle xi '= { frac { alpha xi + beta} { gamma xi + delta}}}$

kde ${ displaystyle alpha, beta, gamma, delta}$ jsou komplexní koeficienty. Dále to ukázali nastavením ${ displaystyle z_ {1}: z_ {2}: z_ {3}: z_ {4} = X: Y: Z: 1}$, výše uvedené vztahy nabývají formy z hlediska jednotkové sféry v R³:^[36]

${ displaystyle X ^ {2} + Y ^ {2} + Z ^ {2} = 1, quad xi = { frac {X + iY} {1-Z}}}$.

který je totožný se stereografickou projekcí ${ displaystyle xi}$- letadlo na sférickém povrchu, které již dal Klein v roce 1884.^{[M 21]} Od substitucí ${ displaystyle xi, xi '}$ jsou Möbiovy transformace (Němec: Kreisverwandtschaften) v ${ displaystyle xi}$- letadlo nebo na ${ displaystyle xi}$- koule, dospěli k závěru, že prováděním libovolného pohybu hyperbolického prostoru v sobě, ${ displaystyle xi}$-sphere podstoupí Möbiovu transformaci, že celá skupina hyperbolických pohybů dává všechny přímé Möbiovy transformace, a nakonec že žádný přímá Möbiova transformace odpovídá pohybu hyperbolického prostoru.^[37]

Na základě práce Fricke & Klein byl izomorfismus této skupiny hyperbolických pohybů (a následně skupiny Möbius) vůči skupině Lorentz prokázán Gustav Herglotz (1909).^{[M 22]} Konkrétně metrika Minkowski odpovídá výše uvedené metrice Cayley (na základě skutečného kuželovitého řezu), pokud jsou souřadnice časoprostoru identifikovány výše uvedenými homogenními souřadnicemi

${ displaystyle z_ {1} = x, quad z_ {2} = y, quad z_ {3} = z, quad z_ {4} = t}$,

kterým se stane výše uvedený parametr

${ displaystyle { mathsf { xi}} = { frac {x + iy} {tz}}, quad xi '= { frac {x' + iy '} {t'-z'}}, }$ opět spojen se střídáním ${ displaystyle xi '= { frac { alpha xi + beta} { gamma xi + delta}}}$.

Herglotz dospěl k závěru, že jakákoli taková substituce odpovídá Lorentzově transformaci, kterou se stanoví a osobní korespondence na hyperbolické pohyby v R³. Na vztah mezi Lorentzovou skupinou a Cayleyovou metrikou v hyperbolickém prostoru upozornil také Klein (1910)^{[M 23]} stejně jako Pauli (1921).^[38] Odpovídající izomorfismus skupiny Möbius se skupinou Lorentz byl použit, mimo jiné, Roger Penrose.

Transformace pomocí vzájemných směrů

Vývoj v 19. století

Nahoře bylo zmíněno spojení konformních transformací se souřadnicemi včetně poloměru koulí v geometrii Lieových koulí. Zvláštní případ ${ displaystyle lambda = 1}$ odpovídá transformaci koule dané Edmond Laguerre (1880-1885), který ji nazval „transformací vzájemnými směry“ a položil základ geometrie orientovaných koulí a letadla.^{[M 10][5][6]} Podle Darboux^{[M 24]} a Bateman,^{[M 2]} podobné vztahy byly dříve projednány Albert Ribaucour (1870)^{[M 25]} a sám Lie (1871).^{[M 6]} Stephanos (1881) poukázali na to, že Laguerreova geometrie je skutečně zvláštním případem Lieovy geometrie koule.^{[M 26]} Rovněž zastupoval Laguerrovy orientované sféry čtveřice (1883).^{[M 27]}

Čáry, kružnice, roviny nebo koule s poloměry určité orientace se nazývají Laguerrovými půlřádky, půlkruhy (cykly), půlrovinami, polokoulemi atd. Tečna je půlřádka řezající cyklus v bod, kde oba mají stejný směr. Transformace pomocí vzájemných směrů transformuje orientované sféry na orientované sféry a orientované roviny na orientované roviny a ponechává invariantní „tangenciální vzdálenost“ dvou cyklů (vzdálenost mezi body každé z jejich společných tečen) a také zachovává křivky zakřivení.^[39] Laguerre (1882) použil transformaci na dva cykly za následujících podmínek: Jejich radikální osa je osa transformace a jejich společné tečny jsou rovnoběžné se dvěma pevnými směry polovičních čar, které se transformují do sebe (Laguerre nazval tuto specifickou metodu „transformace pomocí vzájemných polovičních čar“, která se později nazývala „Laguerrova inverze“^[40][41]). Nastavení ${ displaystyle R}$ a ${ displaystyle R '}$ jako poloměry cyklů a ${ displaystyle D}$ a ${ displaystyle D '}$ jako vzdálenosti jejich středů k ose získal:^{[M 28]}

${ displaystyle D ^ {2} -D ^ { prime 2} = R ^ {2} -R ^ { prime 2}, quad D-D '= alpha (R-R'), quad D + D '= { frac {1} { alpha}} (R + R'),}$

s transformací:^{[M 29]}

${ displaystyle D '= { frac {D vlevo (1+ alpha ^ {2} vpravo) -2 alpha R} {1- alpha ^ {2}}}, quad R' = { frac {2 alpha DR left (1+ alpha ^ {2} right)} {1- alpha ^ {2}}}.}$

Darboux (1887) získal stejné vzorce v různé notaci (s ${ displaystyle z = D}$ a ${ displaystyle k = alpha}$) ve svém zacházení s „transformací na základě vzájemnosti“, i když zahrnul ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ souřadnice také:^{[M 30]}

${ displaystyle { begin {aligned} x '& = x, quad & z' & = { frac {1 + k ^ {2}} {1-k ^ {2}}} z - { frac {2kR } {1-k ^ {2}}}, y '& = y, & R' & = { frac {2kz} {1-k ^ {2}}} - { frac {1 + k ^ { 2}} {1-k ^ {2}}} R, end {zarovnáno}}}$

s

${ displaystyle z '+ R' = { frac {1 + k} {1-k}} (zR), quad z'-R '= { frac {1-k} {1 + k}} ( z + R),}$

následně získal vztah

${ displaystyle x ^ { prime 2} + y ^ { prime 2} + z ^ { prime 2} -R ^ { prime 2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ { 2} -R ^ {2}}$.

Jak bylo uvedeno výše, orientované koule v R³ mohou být reprezentovány body čtyřrozměrného prostoru R⁴ pomocí minimální (izotropní) projekce, která se stala zvláště důležitou v Laguerrově geometrii.^[5] Například, E. Müller (1898) založil diskusi o orientovaných sférách na skutečnosti, že je lze mapovat na body rovinného potrubí čtyř dimenzí (které přirovnal k Fiedlerově „cyklografii“ z roku 1882). Systematicky porovnával transformace pomocí recipročních poloměrů (nazýval ji „inverze v kouli“) s transformacemi podle vzájemných směrů (nazýval ji „inverze v rovině sféry komplex“).^{[M 31]} Podle Müllerova článku Kovář (1900) diskutovali Laguerrovu transformaci a související „skupinu geometrie vzájemných směrů“. V narážce na Kleinovo (1893) zacházení s minimální projekcí poukázal na to, že tato skupina „je jednoduše izomorfní se skupinou všech posunů a transformací symetrie v prostoru čtyř dimenzí“.^{[M 32]} Smith získal stejnou transformaci jako Laguerre a Darboux v jiné notaci a nazval ji „inverzí do sférického komplexu“:^{[M 33]}

${ displaystyle p '= { frac { kappa ^ {2} +1} { kappa ^ {2} -1}} p - { frac {2 kappa} { kappa ^ {2} -1} } R, quad R '= { frac {2 kappa} { kappa ^ {2} -1}} p - { frac { kappa ^ {2} +1} { kappa ^ {2} - 1}} R}$

se vztahy

${ displaystyle kappa = { frac {R'-R} {p'-p}}, quad p ^ { prime 2} -p ^ {2} = R ^ { prime 2} -R ^ { 2}.}$

Laguerrova inverze a Lorentzova transformace

V roce 1905 Poincaré i Einstein poukázali na to, že Lorentzova transformace z speciální relativita (nastavení ${ displaystyle c = 1}$)

${ displaystyle x '= { frac {x-vt} { sqrt {1-v ^ {2}}}}, quad y' = y, quad z '= z, quad t' = { frac {t-vx} { sqrt {1-v ^ {2}}}}}$

opouští vztah ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2}}$ neměnný.^[2] Einstein zdůraznil, že touto transformací se sférická světelná vlna v jednom rámci transformuje na sférickou světelnou vlnu v jiném.^[42] Poincaré ukázal, že Lorentzovu transformaci lze chápat jako rotaci ve čtyřrozměrném prostoru s časem jako čtvrtou souřadnicí, s Minkowski prohloubení tohoto vhledu mnohem dále (viz Historie speciální relativity ).

Jak je ukázáno výše, také Laguerreova transformace pomocí vzájemných směrů nebo půlí čar - později nazývaná Laguerreova inverze^[40][41] - v podobě dané Darbouxem (1887) opouští výraz ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2}}$ neměnný. Následně byl vztah k Lorentzově transformaci zaznamenán několika autory. Například Bateman (1910) tvrdil, že tato transformace (kterou připisoval Ribaucourovi) je „identická“ s Lorentzovou transformací.^{[M 2]} Zejména tvrdil (1912), že varianta daná Darbouxem (1887) odpovídá Lorentzově transformaci v r. ${ displaystyle z}$ směr, pokud ${ displaystyle R = ct}$, ${ displaystyle R '= ct'}$a ${ displaystyle k}$ termíny jsou nahrazeny rychlostmi.^{[M 34]} Bateman (1910) také načrtl geometrické reprezentace relativistických světelných koulí pomocí takových sférických systémů.^{[M 35][43]} Nicméně, Kubota (1925) reagoval na Batemana argumentem, že Laguerrova inverze je nedobrovolný zatímco Lorentzova transformace není. Došel k závěru, že aby byly ekvivalentní, musí být Laguerreova inverze kombinována s obrácením směru cyklů.^{[M 36]}

Specifický vztah mezi Lorentzovou transformací a Laguerrovou inverzí lze také demonstrovat následovně (viz HR Müller (1948)^{[M 37]} pro analogické vzorce v různých notacích). Laguerrovy inverzní vzorce z roku 1882 (ekvivalentní vzorcům Darbouxu z roku 1887) znějí:

${ displaystyle D '= { frac {D vlevo (1+ alpha ^ {2} vpravo) -2 alpha R} {1- alpha ^ {2}}}, quad R' = { frac {2 alpha DR left (1+ alpha ^ {2} right)} {1- alpha ^ {2}}}.}$

nastavením

${ displaystyle { frac {2 alpha} {1+ alpha ^ {2}}} = w}$

následuje

${ displaystyle { frac {1- alpha ^ {2}} {1+ alpha ^ {2}}} = { sqrt {1-w ^ {2}}}, quad { frac {2 alpha} {1- alpha ^ {2}}} = { frac {w} { sqrt {1-w ^ {2}}}},}$

nakonec nastavením ${ displaystyle D = x, D '= x', R = t, R '= t'}$ Laguerrova inverze se velmi podobá Lorentzově transformaci kromě toho výrazu ${ displaystyle t-vx}$ je obrácen do ${ displaystyle wx-t}$:

${ displaystyle x '= { frac {x-wt} { sqrt {1-w ^ {2}}}}, quad t' = { frac {wx-t} { sqrt {1-w ^ {2}}}}}$.

Podle Müllera lze Lorentzovu transformaci považovat za produkt sudého počtu takových Laguerrových inverzí, které mění znaménko. Nejprve je inverze provedena do roviny ${ displaystyle pi _ {1}}$ který je nakloněn vzhledem k rovině ${ displaystyle pi}$ pod určitým úhlem, následovaný další inverzí zpět do ${ displaystyle pi}$.^{[M 37]} Viz část # Skupina Laguerre je izomorfní se skupinou Lorentz pro více informací o spojení mezi Laguerrovou inverzí k jiným variantám Laguerrových transformací.

Lorentzova transformace v Laguerrově geometrii

Časování (1911)^{[M 38]} použil Laguerrovu koncepci orientovaných sfér k reprezentaci a odvození Lorentzovy transformace. Vzhledem k sféře poloměru ${ displaystyle r}$, s ${ displaystyle x}$ jako vzdálenost mezi jeho středem a střední rovinou získal vztahy k odpovídající sféře

${ displaystyle x '+ r' = { sqrt { frac {1+ lambda ^ {2}} {1- lambda ^ {2}}}} (x + r), quad { frac {x '-r'} {x '+ r'}} = { frac {1- lambda} {1+ lambda}} cdot { frac {xr} {x + r}},}$

což má za následek transformaci

${ displaystyle { sqrt {1- lambda ^ {2}}} cdot x '= x- lambda r, quad { sqrt {1- lambda ^ {2}}} cdot r' = r - lambda x.}$

Nastavením ${ displaystyle lambda = v / c}$ a ${ displaystyle r = ct}$, stává se Lorentzovou transformací.

Po časovači a Batemanovi Ogura (1913) analyzovali Laguerrovu transformaci formy^{[M 39]}

${ displaystyle alpha '= alpha { frac {1} { sqrt {1- lambda ^ {2}}}} - R { frac { lambda} { sqrt {1- lambda ^ {2 }}}}, quad beta '= beta, quad gamma' = gamma, quad R '= alpha { frac {- lambda} { sqrt {1- lambda ^ {2} }}} + R { frac {1} { sqrt {1- lambda ^ {2}}}}}$,

které se staly Lorentzovou transformací s

${ displaystyle { begin {zarovnáno} x & = alpha, & y & = beta, & z & = gamma, & R & = ct, x '& = alpha', & y '& = beta', & z '& = gamma ', & R' & = ct ', end {zarovnáno}}}$    ${ displaystyle lambda = { frac {v} {c}}}$.

Uvedl, že „Laguerreova transformace v sférické rozmanitosti je ekvivalentní s Lorentzovou transformací v časoprostorové rozmanitosti“.

Skupina Laguerre je izomorfní se skupinou Lorentz

Jak je uvedeno výše, skupina transformací konformních bodů v Rⁿ (složené z pohybů, podobností a inverzí) lze spojit pomocí minimální projekce do skupiny kontaktní transformace v R^n-1 transformace kruhů nebo koulí na jiné kruhy nebo koule. Kromě toho Lie (1871, 1896) poukázal na to, že v R³ existuje 7parametrická podskupina bodových transformací složená z pohybů a podobností, která při použití minimální projekce odpovídá 7parametrické podskupině kontaktní transformace v R² transformace kruhů na kruhy.^{[M 40]} Tyto vztahy byly dále studovány Kovář (1900),^{[M 32]} Blaschke (1910),^{[M 41]} Coolidge (1916)^[44] a další, kteří poukázali na souvislost s Laguerrovou geometrií vzájemných směrů souvisejících s orientovanými čarami, kruhy, rovinami a koulemi. Proto ji Smith (1900) nazval „skupinou geometrie vzájemných směrů“,^{[M 32]} a Blaschke (1910) použil výraz „Laguerreova skupina“.^{[M 41]} "Rozšířená Laguerreova skupina" se skládá z pohybů a podobností se 7 parametry v R² transformuje orientované čáry a kružnice nebo 11 parametrů ve formátu R³ transformace orientovaných rovin a koulí. Pokud jsou vyloučeny podobnosti, stane se z toho „omezená skupina Laguerre“ se 6 parametry R² a 10 parametrů v R³, skládající se z pohybů zachovávajících orientaci nebo obrácení orientace a zachovávajících tangenciální vzdálenost mezi orientovanými kruhy nebo koulemi.^{[M 42][45]} Následně se stalo běžným, že pojem skupina Laguerre odkazuje pouze na omezenou skupinu Laguerre.^[45][46] Rovněž bylo poznamenáno, že skupina Laguerre je součástí širší skupiny zachovávající tangenciální vzdálenosti, kterou nazývá „ekvilongová skupina“ Scheffers (1905).^{[M 43][47]}

v R² skupina Laguerre ponechává vztah neměnný ${ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} -dr ^ {2}}$, kterou lze rozšířit na libovolné Rⁿ také.^[48] Například v R³ ponechává neměnný vztah ${ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -dr ^ {2}}$.^[49] To je ekvivalentní vztahu ${ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} + dr ^ {2}}$ v R⁴ používáním minimální (izotropní) projekce s imaginární poloměr souřadnice nebo cyklographic projekce (v deskriptivní geometrie ) se skutečným poloměrem.^[9] Transformace tvořící Laguerrovu skupinu lze dále diferencovat na „přímé Laguerrovy transformace“, které souvisejí s pohyby zachovávajícími tangenciální vzdálenost i znaménko; nebo „nepřímé Laguerreovy transformace“, které souvisejí s pohyby obrácení orientace, zachovávající tangenciální vzdálenost se znaménkem obráceným.^{[M 43][50]} Laguerrova inverze poprvé daná Laguerrem v roce 1882 je nedobrovolný patří tedy k nepřímým Laguerrovým transformacím. Sám Laguerre nemluvil o skupině související s jeho inverzí, ale ukázalo se, že každá Laguerreova transformace může být generována nejvýše čtyřmi Laguerreovými inverzemi a každá přímá Laguerreova transformace je výsledkem dvou involutorních transformací, takže Laguerreovy inverze mají zvláštní význam, protože generují operátory celé skupiny Laguerre.^{[M 44][51]}

Bylo poznamenáno, že skupina Laguerre skutečně je izomorfní skupině Lorentz (nebo Poincarého skupina pokud jsou zahrnuty překlady), protože obě skupiny ponechávají formu neměnnou ${ displaystyle dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2} -dx_ {4} ^ {2}}$. Po prvním srovnání Lorentzovy transformace a Laguerrovy inverze Batemana (1910) as zmíněno výše, poukázal na rovnocennost obou skupin Cartan v roce 1912^{[M 45]} a 1914,^{[M 46]} a on ji rozšířil v roce 1915 (publikoval 1955) ve francouzské verzi Kleinova encyklopedie.^[8] Také Poincaré (1912, publikoval 1921) napsal:^{[M 3][52]}

Pan Cartan nedávno uvedl zvláštní příklad. Víme, jak je v matematické fyzice důležité to, čemu se říkalo Lorentzova skupina; to je tato skupina, na které jsou založeny naše nové myšlenky na principu relativity a dynamiky elektronu. Na druhou stranu Laguerre jednou zavedl do geometrie skupinu transformací, které mění koule na koule. Tyto dvě skupiny jsou izomorfní, takže matematicky tyto dvě teorie, jedna fyzická, druhá geometrická, nevykazují žádný zásadní rozdíl.^{[M 47]}

— Henri Poincaré, 1912

Mezi další, kteří si tohoto spojení všimli, patří Coolidge (1916),^[9] Klein & Blaschke (1926),^[10] Blaschke (1929),^[11] HR Müller,^{[M 48]} Kunle & Fladt (1970),^[12] Benz (1992).^[13] Nedávno bylo zdůrazněno:

A Laguerrova transformace (L-transformace) je mapování, které je bijektivní na množinách orientovaných rovin a orientovaných koulí a zachovává tečnost mezi rovinou a koulí. L-transformace jsou snáze pochopitelné, pokud použijeme tzv cyklografický model Laguerrovy geometrie. Tam, orientovaná sféra ${ displaystyle S}$ je reprezentován jako bod ${ displaystyle mathbf {S} operatorname { text {: =}} ( mathbf {m}, R) in mathbb {R} ^ {4}}$. Orientovaná rovina ${ displaystyle P}$ v ${ displaystyle E ^ {3}}$ lze interpretovat jako množinu všech orientovaných koulí, k nimž je tečna ${ displaystyle P}$. Mapování ${ displaystyle P}$ prostřednictvím této sady koulí do ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$, jeden najde hyperplán uvnitř ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ který je rovnoběžný s tečnou nadrovinou kužele ${ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}$. V cyklografickém modelu je L-transformace považována za speciální afinní mapu (Lorentzova transformace), ...

— Pottmann, Grohs, Mitra (2009)^[53]

Viz také

• Historie Lorentzových transformací

Primární zdroje

• Bateman, Harry (1909) [1908]. „Konformní transformace prostoru čtyř dimenzí a jejich aplikace na geometrickou optiku“. Proceedings of the London Mathematical Society. 7: 70–89. doi:10.1112 / plms / s2-7.1.70.
• Bateman, Harry (1910) [1909]. „Transformace elektrodynamických rovnic“. Proceedings of the London Mathematical Society. 8: 223–264. doi:10.1112 / plms / s2-8.1.223.
• Bateman, Harry (1910a). „Fyzický aspekt času“. Manchester Memoirs. 54 (14): 1–13.
• Bateman, Harry (1910b). „Vztah mezi elektromagnetismem a geometrií“. Filozofický časopis. 20 (118): 623 –628. doi:10.1080/14786441008636944.
• Bateman, Harry (1912) [1910]. „Některé geometrické věty spojené s Laplaceovou rovnicí a rovnicí vlnového pohybu“. American Journal of Mathematics. 34 (3): 325–360. doi:10.2307/2370223. JSTOR  2370223.
• Blaschke, Wilhelm (1910). „Untersuchungen über die Geometrie der Speere in der Euklidischen Geometrie“. Monatshefte für Mathematik und Physik. 21 (1): 3–60. doi:10.1007 / bf01693218. S2CID  120182503.
• Cartan, Élie (1912). „Sur les groupes de transformation de contact et la Cinématique nouvelle“. Société de Mathématique ve Francii - Comptes Rendus des Séances: 23.
• Cartan, Élie (1914). „La théorie des groupes“. Revue du Mois: 452–457.
• Cunningham, Ebenezer (1910) [1909]. „Princip relativity v elektrodynamice a jeho rozšíření“. Proceedings of the London Mathematical Society. 8: 77–98. doi:10.1112 / plms / s2-8.1.77.
• Darboux, Gaston (1872). „Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphères“. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1: 323–392. doi:10,24033 / asens.87.
• Darboux, Gaston (1878). „Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux. Troisième partie“. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 7: 275 –348. doi:10,24033 / asens.164.
• Darboux, Gaston (1887). Leçons sur la théorie générale des povrchy. Première partie. Paříž: Gauthier-Villars.
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], „Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper“ [Překlad Wikisource: Na tělech, která mají být označena jako „tuhá“ z hlediska principu relativity ], Annalen der Physik, 336 (2): 393–415, Bibcode:1910AnP ... 336..393H, doi:10,1002 / a19103360208
• Felix Klein (1884), Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, Teubner, Lipsko; Anglický překlad: Přednášky o ikosahedronu a řešení rovnic pátého stupně (1888)
• Klein, Felix (1910). „Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe“. Gesammelte Mathematische Abhandlungen . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 19. 533–552. doi:10.1007/978-3-642-51960-4_31. ISBN  978-3-642-51898-0. Přetištěno Klein, Felix (1921). „Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe“. Gesammelte mathematische Abhandlungen. 1. 533–552. doi:10.1007/978-3-642-51960-4_31. ISBN  978-3-642-51898-0. Anglický překlad David Delphenich: Na geometrických základech skupiny Lorentz
• Kubota, Tadahiko (1925). „Über die (2-2) -deutigen quadratischen Verwandtschaften V“. Vědecké zprávy Tôhoku Imperial University. 14: 155–164..
• Laguerre, Edmond (1881). „Sur la Transformation Par Directions Réciproques“. Comptes Rendus. 92: 71–73.
• Laguerre, Edmond (1882). „Transformations par semi-droites réciproques“. Nouvelles annales de mathématiques. 1: 542–556.
• Laguerre, Edmond (1905). „Sborník příspěvků vydaných v letech 1880–1885“. Œuvres de Laguerre, sv. 2. Paříž: Gauthier-Villars. str. 592–684.
• Lež, Sophusi (1871). „Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit beliebig vielen Dimensionen, die der Krümmungs-Theorie des gewöhnlichen Raumes entspricht“. Göttinger Nachrichten: 191–209.
• Lež, Sophusi (1872). „Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller Differentialgleichungen“. Mathematische Annalen. 5: 145–256. doi:10.1007 / bf01446331. S2CID  122317672. Anglický překlad David Delphenich: Na komplexech - zejména na lineárních a sférických komplexech - s aplikacemi v teorii parciálních diferenciálních rovnic
• Lež, Sophusi; Scheffers, Georg (1896). Geometrie der Berührungstransformationen. Lipsko: B.G. Teubner.
• Liouville, Joseph (1847). „Note au sujet de l'article précédent“. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 12: 265–290.
• Liouville, Joseph (1850a). „Théorème sur l'équation dx² + dy² + dz² = λ (dα² + dβ² + dγ²)“. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 15: 103.
• Liouville, Joseph (1850b). „Extension au cas des trois Dimensions de la Question du Tracé géographique“. V Gaspard Monge (ed.). Aplikace de l'analyse à la Géométrie. Paris: Bachelier. 609–616.
• Müller, Emil (1898). „Die Geometrie orientierter Kugeln nach Grassmann'schen Methoden“. Monatshefte für Mathematik und Physik. 9 (1): 269–315. doi:10.1007 / bf01707874. S2CID  121786469.
• Müller, Hans Robert (1948). „Zyklographische Betrachtung der Kinematik der speziellen Relativitätstheorie“. Monatshefte für Mathematik und Physik. 52 (4): 337–353. doi:10.1007 / bf01525338. S2CID  120150204.^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Ogura, Kinnosuke (1913). „O Lorentzově transformaci s některými geometrickými interpretacemi“. Vědecké zprávy univerzity Tôhuku. 2: 95–116.
• Poincaré, Henri (1906) [1905], „Sur la dynamique de l'électron“ [Překlad Wikisource: O dynamice elektronu ], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 21: 129–176, Bibcode:1906RCMP ... 21..129P, doi:10.1007 / BF03013466, S2CID  120211823
• Poincaré, Henri (1921) [1912]. „Rapport sur les travaux de M. Cartan (fait à la Faculté des sciences de l'Université de Paris)“. Acta Mathematica. 38 (1): 137–145. doi:10.1007 / bf02392064. S2CID  122517182.. Napsal Poincaré v roce 1912, vytištěn v Acta Mathematica v roce 1914, ačkoli byl opožděně publikován v roce 1921.
• Ribaucour, Albert (1870). „Sur la déformation des povrchy“. Comptes Rendus. 70: 330–333.
• Smith, Percey F. (1900). „O transformaci Laguerre“. Annals of Mathematics. 1 (1/4): 153–172. doi:10.2307/1967282. JSTOR  1967282.
• Stephanos, C. (1881). „Sur la géométrie des sphères“. Comptes Rendus. 92: 1195–1197.
• Stephanos, C. (1883). „Sur la théorie des quaternions“. Mathematische Annalen. 7 (4): 589–592. doi:10.1007 / bf01443267. S2CID  179178015.
• Timerding, H. E. (1912). „Über ein einfaches geometrisches Bild der Raumzeitwelt Minkowskis“. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 21: 274–285.

Sekundární zdroje

Textbooks, encyclopaedic entries, historical surveys:

• Bateman, Harry (1915). The mathematical analysis of electrical and optical wave motion on the basis of Maxwell's equations. Cambridge: University Press.
• Benz, Walter (2005) [1992]. Classical Geometries in Modern Contexts: Geometry of Real Inner Product Spaces Third Edition. Springer. pp. 133–175. ISBN  978-3034804202.
• Blaschke, Wilhelm (1929). Thomsen, Gerhard (ed.). Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie Bd. 3. Berlín: Springer. doi:10.1007/978-3-642-50823-3. hdl:2027/mdp.39015017405492. ISBN  978-3-642-50513-3.
• Cartan, Élie; Fano, Gino (1915). "La théorie des groupes continus et la géométrie". Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées. 3 (1): 39–43. (Only pages 1–21 were published in 1915, the entire article including pp. 39–43 concerning the groups of Laguerre and Lorentz was posthumously published in 1955 in Cartan's collected papers, and was reprinted in the Encyclopédie in 1991.)
• Cecil, Thomas E. (2008) [1992], "Laguerre geometry", Geometrie sféry lži, Springer, pp. 37–46, ISBN  978-0387746555
• Coolidge, Juliane (1916). A treatise on the circle and the sphere. Oxford: Clarendon Press.
• Cunningham, Ebenezer (1914). The principle of relativity. Cambridge: University Press.
• Fano, Gino (1907). "Kontinuierliche geometrische Gruppen. Die Gruppentheorie als geometrisches Einteilungsprinzip". Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften. 3.1.1. pp. 289–388. doi:10.1007/978-3-663-16027-4_5. ISBN  978-3-663-15456-3.
• Robert Fricke & Felix Klein (1897), Vorlesungen über die Theorie der autormorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen, Teubner, Lipsko
• Kastrup, H. A. (2008). "On the advancements of conformal transformations and their associated symmetries in geometry and theoretical physics". Annalen der Physik. 520 (9–10): 631–690. arXiv:0808.2730. Bibcode:2008AnP...520..631K. doi:10.1002/andp.200810324. S2CID  12020510.
• Klein, Felix (1893). Einleitung in die höhere Geometrie I. Göttingen: Göttingen.
• Klein, Felix; Blaschke, Wilhelm (1926). Vorlesungen über höhere Geometrie. Berlín: Springer. (Klein's lectures from 1893 updated and edited by Blaschke in 1926.)
• Kunle H.; Fladt K. (1926). "Erlangen program and higher geometry – Laguerre geometry". In Heinrich Behnke (ed.). Fundamentals of Mathematics: Geometry. MIT Stiskněte. pp. 460–516.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Müller, Emil (1910). "Die verschiedenen Koordinatensysteme". Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften. 3.1.1. pp. 596–770. doi:10.1007/978-3-663-16027-4_9. ISBN  978-3-663-15456-3.
• Pedoe, Daniel (1972). "A forgotten geometrical transformation". L'Enseignement Mathématique. 18: 255–267. doi:10.5169/seals-45376.
• Rougé, André (2008). Relativité restreinte: la contribution d'Henri Poincaré. Editions Ecole Polytechnique. ISBN  978-2730215251.
• Walter, Scott (2012). "Figures of light in the early history of relativity". To appear in Einstein Studies, D. Rowe, ed., Basel: Birkhäuser.
• Warwick, Andrew (1992). "Cambridge mathematics and Cavendish physics: Cunningham, Campbell and Einstein's relativity 1905–1911 Part I: The uses of theory". Studies in History and Philosophy of Science Part A. 23 (4): 625–656. doi:10.1016/0039-3681(92)90015-X.
• Warwick, Andrew (2003). Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics. Fyzika dnes. 57. Chicago: University of Chicago Press. str.58. Bibcode:2004PhT....57i..58W. doi:10.1063/1.1809094. ISBN  978-0-226-87375-6.