Mellinova věta o inverzi - Mellin inversion theorem
v matematika, Mellinův inverzní vzorec (pojmenoval podle Hjalmar Mellin ) nám říká podmínky, za kterých je inverzní Mellinova transformace nebo ekvivalentně inverzní oboustranná Laplaceova transformace, jsou definovány a obnovují transformovanou funkci.
Metoda
Li je analytický v pásu , a pokud má tendenci rovnoměrně nulovat jako pro jakoukoli skutečnou hodnotu C mezi A a b, se svým integrálem podél takové linie absolutně konvergující, pak pokud
máme to
Naopak, předpokládejme F(X) je po částech spojitý na kladná reálná čísla, vezmeme hodnotu uprostřed mezi mezními hodnotami při jakýchkoli nespojitostech skoku a předpokládejme integrál
je naprosto konvergentní, když . Pak F je získatelný pomocí inverzní Mellinovy transformace z jeho Mellinovy transformace [Citace je zapotřebí ].
Podmínka ohraničenosti
Můžeme posílit podmínku omezenosti na -li F(X) je spojitý. Li je analytický v pásu , a pokud , kde K. je tedy kladná konstanta F(X) jak je definováno inverzním integrálem, existuje a je spojitý; navíc Mellinova transformace F je alespoň .
Na druhou stranu, pokud jsme ochotni přijmout originál F což je zobecněná funkce, můžeme omezit podmínku omezenosti na jednoduše to způsobí polynomiální růst v jakémkoli uzavřeném pásu obsaženém v otevřeném pásu .
Můžeme také definovat a Banachův prostor verze této věty. Pokud zavoláme vážený LP prostor komplexních hodnotných funkcí F na pozitivních realitách tak, že
kde ν a str jsou pevná reálná čísla s str> 1, pak pokud F(X) je v s , pak patří s a
Zde jsou identifikovány funkce, identické všude kromě sady nulové míry.
Protože oboustrannou Laplaceovu transformaci lze definovat jako
tyto věty lze okamžitě použít také na něj.
Viz také
Reference
- Flajolet, P.; Gourdon, X .; Dumas, P. (1995). „Mellinovy transformace a asymptotika: harmonické součty“ (PDF). Teoretická informatika. 144 (1–2): 3–58. doi:10.1016 / 0304-3975 (95) 00002-E.
- McLachlan, N. W. (1953). Složitá teorie proměnných a transformační počet. Cambridge University Press.
- Polyanin, A. D .; Manžirov, A. V. (1998). Příručka integrálních rovnic. Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.
- Titchmarsh, E. C. (1948). Úvod do teorie Fourierových integrálů (Druhé vydání.). Oxford University Press.
- Yakubovich, S. B. (1996). Transformace indexu. World Scientific. ISBN 981-02-2216-5.
- Zemanian, A. H. (1968). Zobecněné integrální transformace. John Wiley & Sons.
externí odkazy
- Tabulky integrálních transformací na EqWorld: Svět matematických rovnic.