Perronův vzorec - Perrons formula - Wikipedia

v matematika, a to zejména v analytická teorie čísel, Perronův vzorec je vzorec kvůli Oskar Perron vypočítat součet aritmetická funkce pomocí inverze Mellinova transformace.

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle {a (n) }}$ být aritmetická funkce a nechte

${ displaystyle g (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a (n)} {n ^ {s}}}}$

být odpovídající Dirichletova řada. Předpokládejme, že série Dirichlet bude rovnoměrně konvergentní pro ${ displaystyle Re (s)> sigma}$. Pak je Perronův vzorec

${ displaystyle A (x) = { součet _ {n leq x}} 'a (n) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {ci infty} ^ {c + i infty} g (z) { frac {x ^ {z}} {z}} , dz.}$

Zde prvočíslo na součtu naznačuje, že poslední člen součtu musí být vynásoben 1/2, když X je celé číslo. Integrál není konvergentní Lebesgueův integrál; chápe se jako Hodnota Cauchyho jistiny. Vzorec to vyžaduje C > 0, C > σ a X > 0.

Důkaz

Snadný náčrt důkazu pochází z převzetí Abelův součet

${ displaystyle g (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a (n)} {n ^ {s}}} = s int _ {1} ^ { infty } A (x) x ^ {- (s + 1)} dx.}$

To není nic jiného než a Laplaceova transformace pod změnou proměnné ${ displaystyle x = e ^ {t}.}$ Když to obrátíme, získáme Perronův vzorec.

Příklady

Vzhledem ke svému obecnému vztahu k Dirichletově řadě se vzorec běžně používá u mnoha číselně teoretických součtů. Například jeden má slavné integrální zastoupení pro Funkce Riemann zeta:

${ displaystyle zeta (s) = s int _ {1} ^ { infty} { frac { lfloor x rfloor} {x ^ {s + 1}}} , dx}$

a podobný vzorec pro Dirichlet L-funkce:

${ displaystyle L (s, chi) = s int _ {1} ^ { infty} { frac {A (x)} {x ^ {s + 1}}} , dx}$

kde

${ displaystyle A (x) = součet _ {n leq x} chi (n)}$

a ${ displaystyle chi (n)}$ je Dirichletova postava. Další příklady se objevují v článcích na internetu Funkce Mertens a von Mangoldtova funkce.

Zobecnění

Perronův vzorec je jen zvláštním případem Mellinovy ​​diskrétní konvoluce

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a (n) f (n / x) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {ci infty} ^ { c + i infty} F (s) G (s) x ^ {s} ds}$

kde

${ displaystyle G (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a (n)} {n ^ {s}}}}$

a

${ displaystyle F (s) = int _ {0} ^ { infty} f (x) x ^ {s-1} dx}$

Mellinova transformace. Perronův vzorec je pouze zvláštním případem testovací funkce ${ displaystyle f (1 / x) = theta (x-1),}$ pro ${ displaystyle theta (x)}$ the Funkce Heaviside step.

Reference

• Stránka 243 z Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel, Vysokoškolské texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, PAN  0434929, Zbl  0335.10001
• Weisstein, Eric W. „Perronův vzorec“. MathWorld.
• Tenenbaum, Gérald (1995). Úvod do analytické a pravděpodobnostní teorie čísel. Cambridge studia pokročilé matematiky. 46. Přeložil C.B. Thomas. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-41261-7. Zbl  0831.11001.