Generování transformace funkcí - Generating function transformation

V matematice je transformace a sekvence generující funkce poskytuje metodu převodu generující funkce pro jednu sekvenci na generující funkci výčtu jiné. Tyto transformace obvykle zahrnují integrální vzorce aplikované na funkci generující sekvenci (viz integrální transformace ) nebo vážené částky nad deriváty těchto funkcí vyššího řádu (viz derivační transformace ).

Vzhledem k posloupnosti ${ displaystyle {f_ {n} } _ {n = 0} ^ { infty}}$, obyčejná generující funkce (OGF) sekvence, označené ${ displaystyle F (z)}$a exponenciální generující funkce (EGF) sekvence, označené ${ displaystyle { widehat {F}} (z)}$, jsou definovány formální mocenské řady

${ displaystyle F (z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} f_ {n} z ^ {n} = f_ {0} + f_ {1} z + f_ {2} z ^ {2 } + cdots}$

${ displaystyle { widehat {F}} (z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {f_ {n}} {n!}} z ^ {n} = { frac {f_ {0}} {0!}} + { frac {f_ {1}} {1!}} z + { frac {f_ {2}} {2!}} z ^ {2} + cdots. }$

V tomto článku používáme konvenci, že běžná (exponenciální) generující funkce pro sekvenci ${ displaystyle {f_ {n} }}$ je označena funkcí velkých písmen ${ displaystyle F (z)}$ / ${ displaystyle { widehat {F}} (z)}$ pro některé pevné nebo formální ${ displaystyle z}$ když je kontext této notace jasný. Dále používáme závorkovou notaci pro extrakci koeficientu z Konkrétní matematika odkaz, který je dán ${ displaystyle [z ^ {n}] F (z): = f_ {n}}$.v Hlavní článek uvádí příklady generujících funkcí pro mnoho sekvencí. Mezi další příklady generování funkčních variant patří Dirichlet generující funkce (DGF), Lambertova řada, a Newtonova řada. V tomto článku se zaměříme na transformace generujících funkcí v matematice a udržujeme průběžný seznam užitečných transformací a transformačních vzorců.

Extrahování aritmetických průběhů sekvence

V této části se zaměříme na poskytnutí vzorců pro generování funkcí s výčtem sekvence ${ displaystyle {f_ {an + b} }}$ vzhledem k běžné generující funkci ${ displaystyle F (z)}$ kde ${ displaystyle a, b in mathbb {N}}$, ${ displaystyle a geq 2}$, a ${ displaystyle 0 leq b$. V prvních dvou případech, kdy ${ displaystyle (a, b): = (2,0), (2,1)}$, můžeme tyto funkce generující aritmetický postup rozšířit přímo z hlediska ${ displaystyle F (z)}$:

${ displaystyle sum _ {n geq 0} f_ {2n} z ^ {2n} = { frac {1} {2}} vlevo (F (z) + F (-z) vpravo)}$

${ displaystyle sum _ {n geq 0} f_ {2n + 1} z ^ {2n + 1} = { frac {1} {2}} vlevo (F (z) -F (-z) že jo).}$

Obecněji předpokládejme, že ${ displaystyle a geq 3}$ a to ${ displaystyle omega _ {a} equiv exp left ({ frac {2 pi imath} {a}} right)}$ označuje ${ displaystyle a ^ {th}}$ primitivní kořen jednoty. Pak máme vzorec^[1]

${ displaystyle sum _ {n geq 0} f_ {an + b} z ^ {an + b} = { frac {1} {a}} krát sum _ {m = 0} ^ {a- 1} omega _ {a} ^ {- mb} F vlevo ( omega _ {a} ^ {m} z vpravo).}$

Pro celá čísla ${ displaystyle m geq 1}$, další užitečný vzorec, který poskytuje něco obráceně podlahové aritmetické postupy jsou generovány identitou^[2]

${ displaystyle sum _ {n geq 0} f _ { lfloor { frac {n} {m}} rfloor} z ^ {n} = { frac {1-z ^ {m}} {1- z}} F (z ^ {m}) = left (1 + z + cdots + z ^ {m-2} + z ^ {m-1} right) F (z ^ {m}).}$

Síly OGF a složení s funkcemi

The exponenciální Bell polynomy, ${ displaystyle B_ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n}): = n! cdot [t ^ {n} u ^ {k}] Phi (t, u)}$, jsou definovány funkcí exponenciálního generování^[3]

${ displaystyle Phi (t, u) = exp vlevo (u krát součet _ {m geq 1} x_ {m} { frac {t ^ {m}} {m!}} vpravo) = 1 + sum _ {n geq 1} left { sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, ldots) u ^ {k} right } { frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Další vzorce pro mocniny, logaritmy a složení formálních mocninných řad jsou rozšířeny o tyto polynomy o proměnné v koeficientech původních generujících funkcí.^[4][5] Vzorec pro exponenciál generující funkce je dán implicitně prostřednictvím Polynomy zvonu EGF pro tyto polynomy definované v předchozím vzorci pro nějakou sekvenci ${ displaystyle {x_ {i} }}$.

Reciproční OGF (zvláštní případ vzorce pravomocí)

Silová řada pro převrácenou funkci generátoru, ${ displaystyle F (z)}$, je rozšířen o

${ displaystyle { frac {1} {F (z)}} = { frac {1} {f_ {0}}} - { frac {f_ {1}} {f_ {0} ^ {2}} } z + { frac { left (f_ {1} ^ {2} -f_ {0} f_ {2} right)} {f_ {0} ^ {3}}} z ^ {2} - { frac {f_ {1} ^ {3} -2f_ {0} f_ {1} f_ {2} + f_ {0} ^ {2} f_ {3}} {f_ {0} ^ {4}}} + cdots .}$

Pokud to necháme ${ displaystyle b_ {n}: = [z ^ {n}] 1 / F (z)}$ označíme koeficienty v expanzi reciproční generující funkce, pak máme následující relaci opakování:

${ displaystyle b_ {n} = - { frac {1} {f_ {0}}} vlevo (f_ {1} b_ {n-1} + f_ {2} b_ {n-2} + cdots + f_ {n} b_ {0} right), n geq 1.}$

Pravomoci OGF

Nechat ${ displaystyle m in mathbb {C}}$ být opraven, předpokládejme, že ${ displaystyle f_ {0} = 1}$a označit ${ displaystyle b_ {n} ^ {(m)}: = [z ^ {n}] F (z) ^ {m}}$. Pak máme řadu rozšíření pro ${ displaystyle F (z) ^ {m}}$ dána

${ Displaystyle F (z) ^ {m} = 1 + mf_ {1} z + m vlevo ((m-1) f_ {1} ^ {2} + 2f_ {2} vpravo) { frac {z ^ {2}} {2}} + vlevo (m (m-1) (m-2) f_ {1} ^ {3} + 6m (m-1) f_ {2} + 6mf_ {3} vpravo ) { frac {z ^ {3}} {6}} + cdots,}$

a koeficienty ${ displaystyle b_ {n} ^ {(m)}}$ uspokojit relaci opakování formuláře

${ displaystyle n cdot b_ {n} ^ {(m)} = (m-n + 1) f_ {1} b_ {n-1} ^ {(m)} + (2m-n + 2) f_ { 2} b_ {n-2} ^ {(m)} + cdots + ((n-1) m-1) f_ {n-1} b_ {1} ^ {(m)} + nmf_ {n}, n geq 1.}$

Další vzorec pro koeficienty, ${ displaystyle b_ {n} ^ {(m)}}$, je rozšířen o Polynomy zvonu tak jako

${ displaystyle F (z) ^ {m} = f_ {0} ^ {m} + sum _ {n geq 1} left ( sum _ {1 leq k leq n} (m) _ { k} f_ {0} ^ {mk} B_ {n, k} (f_ {1} cdot 1!, f_ {2} cdot 2!, ldots) right) { frac {z ^ {n} } {n!}},}$

kde ${ displaystyle (r) _ {n}}$ označuje Pochhammer symbol.

Logaritmy OGF

Pokud to necháme ${ displaystyle f_ {0} = 1}$ a definovat ${ displaystyle q_ {n}: = [z ^ {n}] log F (z)}$, pak máme expanzi výkonové řady pro funkci generování kompozitu danou

${ displaystyle log F (z) = f_ {1} + vlevo (2f_ {2} -f_ {1} ^ {2} vpravo) { frac {z} {2}} + vlevo (3f_ { 3} -3f_ {1} f_ {2} + f_ {1} ^ {3} vpravo) { frac {z ^ {2}} {3}} + cdots,}$

kde koeficienty, ${ displaystyle q_ {n}}$, v předchozí expanzi uspokojit relaci opakování danou

${ displaystyle n cdot q_ {n} = nf_ {n} - (n-1) f_ {1} q_ {n-1} - (n-2) f_ {2} q_ {n-2} - cdots -f_ {n-1} q_ {1},}$

a odpovídající vzorec rozšířený o Bellovy polynomy ve formě koeficientů výkonové řady následující generující funkce:

${ Displaystyle log F (z) = součet _ {n geq 1} left ( sum _ {1 leq k leq n} (- 1) ^ {k-1} (k-1)! B_ {n, k} (f_ {1} cdot 1!, F_ {2} cdot 2!, Ldots) right) { frac {z ^ {n}} {n!}}.}$

Vzorec Faà di Bruno

Nechat ${ displaystyle { widehat {F}} (z)}$ označit EGF sekvence, ${ displaystyle {f_ {n} } _ {n geq 0}}$a předpokládejme to ${ displaystyle { widehat {G}} (z)}$ je EGF sekvence, ${ displaystyle {g_ {n} } _ {n geq 0}}$. Sekvence, ${ displaystyle {h_ {n} } _ {n geq 0}}$, generované exponenciální generující funkcí pro kompozici, ${ displaystyle { widehat {H}} (z): = { widehat {F}} ({ widehat {G}} (z))}$, je uveden z hlediska exponenciálních Bell polynomů následovně:

${ displaystyle h_ {n} = součet _ {1 leq k leq n} f_ {k} cdot B_ {n, k} (g_ {1}, g_ {2}, cdots, g_ {n- k + 1}) + f_ {0} cdot delta _ {n, 0}.}$

Porovnáváme tvrzení tohoto výsledku s jiným známým tvrzením o Vzorec Faà di Bruno který poskytuje obdobné rozšíření ${ displaystyle n ^ {th}}$ deriváty složené funkce z hlediska derivací dvou funkcí ${ displaystyle z}$ jak je definováno výše.

Integrální transformace

OGF ${ displaystyle longleftrightarrow}$ Převodní vzorce pro EGF

Máme následující integrální vzorce pro ${ displaystyle a, b in mathbb {Z} ^ {+}}$ které lze s ohledem na ${ displaystyle z}$ když ${ displaystyle z}$ je považována za jakoukoli formální proměnnou výkonové řady:^[6]

${ displaystyle sum _ {n geq 0} f_ {n} z ^ {n} = int _ {0} ^ { infty} { widehat {F}} (tz) e ^ {- t} dt = z ^ {- 1} { mathcal {L}} [{ widehat {F}}] (z ^ {- 1})}$

${ displaystyle sum _ {n geq 0} gama (an + b) cdot f_ {n} z ^ {n} = int _ {0} ^ { infty} t ^ {b-1} e ^ {- t} F (t ^ {a} z) dt.}$

${ displaystyle sum _ {n geq 0} { frac {f_ {n}} {n!}} z ^ {n} = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} F vlevo (ze ^ {- imath vartheta} vpravo) e ^ {e ^ { imath vartheta}} d vartheta.}$

Všimněte si, že první a poslední z těchto integrálních vzorců se používají k převodu mezi EGF na OGF sekvence a z OGF na EGF sekvence, kdykoli jsou tyto integrály konvergentní.

První integrální vzorec odpovídá Laplaceova transformace (nebo někdy formální Laplace – Borel transformace) generujících funkcí, označených ${ displaystyle { mathcal {L}} [F] (z)}$, definované v.^[7] Další integrální reprezentace pro funkce gama ve druhém z předchozích vzorců lze samozřejmě také použít ke konstrukci podobných integrálních transformací. Výsledek jednoho konkrétního vzorce je v případě příkladu funkce dvojitého faktoriálu uvedeného bezprostředně níže v této části. Porovná se poslední integrální vzorec s Hankelova smyčka integrální pro reciproční funkce gama aplikován termálně na výkonovou řadu pro ${ displaystyle F (z)}$.

Příklad: Dvojitý faktoriální integrál pro EGF Stirlingových čísel druhého druhu

The jediná faktoriální funkce, ${ displaystyle (2n)!}$, je vyjádřen jako součin dvou dvojitý faktoriál funkce formuláře

${ displaystyle (2n)! = (2n) !! krát (2n-1) !! = { frac {4 ^ {n} cdot n!} { sqrt { pi}}} krát gama left (n + { frac {1} {2}} right),}$

kde integrál pro dvojitou faktoriální funkci nebo racionální funkce gama, je dána

${ displaystyle { frac {1} {2}} cdot (2n-1) !! = { frac {2 ^ {n}} { sqrt {4 pi}}} Gamma left (n + { frac {1} {2}} right) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} times int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2 } / 2} t ^ {2n} , dt,}$

pro přirozená čísla ${ displaystyle n geq 0}$. Toto integrální znázornění ${ displaystyle (2n-1) !!}$ pak to znamená pro fixní nenulovou hodnotu ${ displaystyle q in mathbb {C}}$ a všechny integrální síly ${ displaystyle k geq 0}$, máme vzorec

${ displaystyle { frac { log (q) ^ {k}} {k!}} = { frac {1} {(2k)!}} times left [ int _ {0} ^ { infty} { frac {2e ^ {- t ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} left ({ sqrt {2 log (q)}} cdot t right) ^ {2k} , dt vpravo].}$

Tedy pro jakékoli předepsané celé číslo ${ displaystyle j geq 0}$, můžeme použít předchozí integrální reprezentaci společně s vzorcem pro extrakci aritmetických postupů ze sekvence OGF uvedené výše, abychom vytvořili další integrální reprezentaci pro tzv. upraveno Stirlingovo číslo EGF as

${ displaystyle sum _ {n geq 0} left {{ begin {matrix} 2n j end {matrix}} right } { frac { log (q) ^ {n}} {n!}} = int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2} / 2}} {{ sqrt {2 pi}} cdot j!}} left [ sum _ {b = pm 1} left (e ^ {b { sqrt {2 log (q)}} cdot t} -1 right) ^ {j} right] dt, }$

který je konvergentní za předpokladu vhodných podmínek pro parametr ${ displaystyle 0 <| q | <1}$.^[8]

Příklad: Vzorec EGF pro deriváty vyššího řádu geometrické řady

Pro pevnou nenulovou hodnotu ${ displaystyle c, z in mathbb {C}}$ definované tak, že ${ displaystyle | cz | <1}$, nech geometrické řady nad nezápornými integrálními mocnostmi ${ displaystyle (cz) ^ {n}}$ být označen ${ displaystyle G (z): = 1 / (1-cz)}$. Odpovídající vyšší řád ${ displaystyle j ^ {th}}$ deriváty geometrické řady s ohledem na ${ displaystyle z}$ jsou označeny posloupností funkcí

${ displaystyle G_ {j} (z): = { frac {(cz) ^ {j}} {1-cz}} times left ({ frac {d} {dz}} right) ^ { (j)} doleva [G (z) doprava],}$

pro nezáporná celá čísla ${ displaystyle j geq 0}$. Tyto ${ displaystyle j ^ {th}}$ deriváty běžné geometrické řady lze ukázat, například indukcí, aby vyhovovaly explicitnímu uzavřenému vzorci danému vztahem

${ displaystyle G_ {j} (z) = { frac {(cz) ^ {j} cdot j!} {(1-cz) ^ {j + 2}}},}$

pro všechny ${ displaystyle j geq 0}$ kdykoli ${ displaystyle | cz | <1}$. Jako příklad třetího OGF ${ displaystyle longmapsto}$ Výše uvedený vzorec pro převod EGF můžeme vypočítat následující odpovídající exponenciální formy generujících funkcí ${ displaystyle G_ {j} (z)}$:

${ displaystyle { widehat {G}} _ {j} (z) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ {+ pi} G_ {j} vlevo (ze ^ {- imath t} right) e ^ {e ^ { imath t}} dt = { frac {(cz) ^ {j} e ^ {cz}} {(j + 1)}} left (j + 1 + z right).}$

Frakční integrály a deriváty

Frakční integrály a frakční deriváty (viz Hlavní článek ) tvoří další zobecněnou třídu integračních a diferenciačních operací, které lze použít na OGF sekvence pro vytvoření odpovídajícího OGF transformované sekvence. Pro ${ displaystyle Re ( alpha)> 0}$ definujeme zlomkový integrální operátor (objednávky ${ displaystyle alpha}$) integrální transformací^[9]

${ displaystyle I ^ { alpha} F (z) = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {0} ^ {z} (zt) ^ { alpha -1} F (t) dt,}$

což odpovídá (formální) mocenské řadě dané

${ displaystyle I ^ { alpha} F (z) = součet _ {n geq 0} { frac {n!} { gama (n + alpha +1)}} f_ {n} z ^ {n + alpha}.}$

Pro pevné ${ displaystyle alpha, beta in mathbb {C}}$ definované tak, že ${ displaystyle Re ( alpha), Re ( beta)> 0}$, máme operátory ${ displaystyle I ^ { alpha} I ^ { beta} = I ^ { alpha + beta}}$. Navíc pro pevné ${ displaystyle alpha in mathbb {C}}$ a celá čísla ${ displaystyle n}$ uspokojující ${ displaystyle 0 < Re ( alpha)$ můžeme definovat pojem zlomkový derivát splňující vlastnosti, které

${ displaystyle D ^ { alpha} F (z) = { frac {d ^ {(n)}} {dz ^ {(n)}}} I ^ {n- alpha} F (z),}$

a

${ displaystyle D ^ {k} I ^ { alpha} = D ^ {n} I ^ { alpha + n-k}}$ pro ${ displaystyle k = 1,2, ldots, n,}$

kde máme vlastnost poloskupiny ${ displaystyle D ^ { alpha} D ^ { beta} = D ^ { alpha + beta}}$ jen když žádný z ${ displaystyle alpha, beta, alpha + beta}$ má celočíselnou hodnotu.

Transformace řady polylogaritmů

Pro pevné ${ displaystyle s in mathbb {Z} ^ {+}}$, máme to (ve srovnání se zvláštním případem integrálního vzorce pro Nielsen zobecněná funkce polylogaritmu definované v^[10]) ^[11]

${ displaystyle sum _ {n geq 0} { frac {f_ {n}} {(n + 1) ^ {s}}} z ^ {n} = { frac {(-1) ^ {s -1}} {(s-1)!}} Int _ {0} ^ {1} log ^ {s-1} (t) F (tz) dt.}$

Všimněte si, že pokud nastavíme ${ displaystyle g_ {n} equiv f_ {n + 1}}$, integrál s ohledem na generující funkci, ${ displaystyle G (z)}$, v poslední rovnici když ${ displaystyle z equiv 1}$ odpovídá Funkce generování dirichletů nebo DGF, ${ displaystyle { widetilde {F}} (s)}$posloupnosti ${ displaystyle {f_ {n} }}$ za předpokladu, že integrál konverguje. Tato třída související s polylogaritmem integrální transformace souvisí s transformacemi řady zeta odvozenými na základě definovaných v následujících částech.

Čtvercové řady generující transformace funkcí

Pro pevnou nenulovou hodnotu ${ displaystyle q, c, z in mathbb {C}}$ takhle ${ displaystyle | q | <1}$ a ${ displaystyle | cz | <1}$, máme následující integrální reprezentace pro tzv čtvercová řada generující funkce spojená se sekvencí ${ displaystyle {f_ {n} }}$, které lze s ohledem na ${ displaystyle z}$:^[12]

${ displaystyle sum _ {n geq 0} q ^ {n ^ {2}} f_ {n} cdot (cz) ^ {n} = { frac {1} { sqrt {2 pi}} } int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2} / 2} left [F left (e ^ {t { sqrt {2 log (q)}}} cdot cz right) + F left (e ^ {- t { sqrt {2 log (q)}}} cdot cz right) right] dt.}$

Tento výsledek, který je prokázán v odkazu, vyplývá z varianty integrace transformace dvojité faktoriální funkce pro Stirlingova čísla druhého druhu uvedené jako příklad výše. Zejména proto, že

${ displaystyle q ^ {n ^ {2}} = exp (n ^ {2} cdot log (q)) = 1 + n ^ {2} log (q) + n ^ {4} { frac { log (q) ^ {2}} {2!}} + n ^ {6} { frac { log (q) ^ {3}} {3!}} + cdots,}$

můžeme použít variantu transformací OGF založených na derivátech pozitivního řádu definovaných v následujících částech zahrnujících Stirlingova čísla druhého druhu získat integrální vzorec pro generující funkci sekvence, ${ displaystyle left {S (2n, j) / n! right }}$, a poté proveďte součet nad ${ displaystyle j ^ {th}}$ deriváty formálního OGF, ${ displaystyle F (z)}$ získat výsledek v předchozí rovnici, kde je po ruce označena funkce generující aritmetický postup

${ displaystyle sum _ {n geq 0} left {{ begin {matrix} 2n j end {matrix}} right } { frac {z ^ {2n}} {(2n) !}} = { frac {1} {2j!}} left ((e ^ {z} -1) ^ {j} + (e ^ {- z} -1) ^ {j} right), }$

pro každou pevnou ${ displaystyle j in mathbb {N}}$.

Hadamardovy produkty a funkce generující úhlopříčky

Pro produkt Hadamard máme integrální zastoupení dvou generujících funkcí, ${ displaystyle F (z)}$ a ${ displaystyle G (z)}$, uvedeno v následujícím formuláři:

${ displaystyle (F odot G) (z): = součet _ {n geq 0} f_ {n} g_ {n} z ^ {n} = { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} F left ({ sqrt {z}} e ^ { imath t} right) G left ({ sqrt {z}} e ^ {- imath t } right) dt.}$

Více informací o produktech Hadamard as funkce generující úhlopříčku více proměnných sekvencí a / nebo generujících funkcí a tříd generujících funkcí, ke kterým tyto diagonální OGF patří, se nachází ve Stanleyho knize.^[13] Odkaz také poskytuje vnořené vzorce pro extrakci koeficientů formuláře

${ displaystyle operatorname {diag} left (F_ {1} cdots F_ {k} right): = sum _ {n geq 0} f_ {1, n} cdots f_ {k, n} z ^ {n} = [x_ {k-1} ^ {0} cdots x_ {2} ^ {0} x_ {1} ^ {0}] F_ {k} left ({ frac {z} {x_ {k-1}}} right) F_ {k-1} left ({ frac {x_ {k-1}} {x_ {k-2}}} right) cdots F_ {2} left ({ frac {x_ {2}} {x_ {1}}} vpravo) F_ {1} (x_ {1}),}$

které jsou zvláště užitečné v případech, kdy funkce generující sekvenci komponent, ${ displaystyle F_ {i} (z)}$, lze rozšířit v a Laurentova řada, nebo zlomkové řady, v ${ displaystyle z}$, například ve zvláštním případě, kdy jsou všechny funkce generující komponenty racionální, což vede k algebraický forma odpovídající funkce generující úhlopříčku.

Příklad: Hadamardovy produkty racionálních generujících funkcí

Obecně platí, že produkt Hadamard ze dvou racionální generující funkce je sám o sobě racionální.^[14] To je vidět tím, že si všimneme, že koeficienty a racionální generující funkce formulář kvazi-polynom podmínky formuláře

${ displaystyle f_ {n} = p_ {1} (n) rho _ {1} ^ {n} + cdots + p _ { ell} (n) rho _ { ell} ^ {n},}$

kde vzájemné kořeny, ${ displaystyle rho _ {i} v mathbb {C}}$, jsou pevné skaláry a kde ${ displaystyle p_ {i} (n)}$ je polynom v ${ displaystyle n}$ pro všechny ${ displaystyle 1 leq i leq ell}$. Například Hadamardův produkt dvou generujících funkcí

${ displaystyle F (z): = { frac {1} {1 + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2}}}}$

a

${ displaystyle G (z): = { frac {1} {1 + b_ {1} z + b_ {2} z ^ {2}}}}$

je dán vzorcem racionální generující funkce^[15]

${ displaystyle (F odot G) (z) = { frac {1-a_ {2} b_ {2} z ^ {2}} {1-a_ {1} b_ {1} z + vlevo (a_ { 2} b_ {1} ^ {2} + a_ {1} ^ {2} b_ {2} -a_ {2} b_ {2} right) z ^ {2} -a_ {1} a_ {2} b_ {1} b_ {2} z ^ {3} + a_ {2} ^ {2} b_ {2} ^ {2} z ^ {4}}}.}$

Příklad: Faktoriální (přibližné Laplaceovy) transformace

Obyčejné generující funkce pro zobecněné faktoriální funkce vytvořené jako speciální případy zobecněné rostoucí faktoriální funkce produktunebo Pochhammerův k-symbol, definován

${ displaystyle p_ {n} ( alpha, R): = R (R + alpha) cdots (R + (n-1) alpha) = alpha ^ {n} cdot left ({ frac {R } { alpha}} vpravo) _ {n},}$

kde ${ displaystyle R}$ je opraveno, ${ displaystyle alpha neq 0}$, a ${ displaystyle (x) _ {n}}$ označuje Pochhammer symbol jsou generovány (alespoň formálně) Jacobiho typ J-frakce (nebo speciální formy pokračující zlomky ) stanovené v odkazu.^[16] Pokud to necháme ${ displaystyle operatorname {Conv} _ {h} ( alpha, R; z): = operatorname {FP} _ {h} ( alpha, R; z) / operatorname {FQ} _ {h} ( alfa, R; z)}$ označit ${ displaystyle h ^ { text {th}}}$ konvergentní k těmto nekonečným pokračujícím zlomkům, kde jsou konvergentní funkce komponent definovány pro všechna celá čísla ${ displaystyle h geq 2}$ podle

${ displaystyle operatorname {FP} _ {h} ( alpha, R; z) = sum _ {n = 0} ^ {h-1} left [ sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {h} {k}} vlevo (1 h - { frac {R} { alpha}} vpravo) _ {k} vlevo ({ frac {R} { alpha}} vpravo) _ {nk} right] ( alpha z) ^ {n},}$

a

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {FQ} _ {h} ( alpha, R; z) & = (- alpha z) ^ {h} cdot h! krát L_ {h} ^ { left (R / alpha -1 right)} left (( alpha z) ^ {- 1} right) & = sum _ {k = 0} ^ {h} { binom {h } {k}} left [ prod _ {j = 0} ^ {k-1} (R + (j-1-j) alpha) right] (- z) ^ {k}, end {zarovnáno }}}$

kde ${ displaystyle L_ {n} ^ {( beta)} (x)}$ označuje přidružený Laguerreův polynom, pak tu máme ${ displaystyle h ^ {th}}$ konvergentní funkce, ${ displaystyle operatorname {Conv} _ {h} ( alpha, R; z)}$, přesně vyčísluje sekvence produktů, ${ displaystyle p_ {n} ( alpha, R)}$, pro všechny ${ displaystyle 0 leq n <2h}$. Pro každého ${ displaystyle h geq 2}$, ${ displaystyle h ^ {th}}$ konvergentní funkce je rozšířena jako konečný součet zahrnující pouze spárované převrácené hodnoty Laguerrových polynomů ve formě

${ displaystyle operatorname {Conv} _ {h} ( alpha, R; z) = sum _ {i = 0} ^ {h-1} { binom {{ frac {R} { alpha}} + i-1} {i}} krát { frac {(- alpha z) ^ {- 1}} {(i + 1) cdot L_ {i} ^ { left (R / alpha -1 right)} left (( alpha z) ^ {- 1} right) L_ {i + 1} ^ { left (R / alpha -1 right)} left (( alpha z) ^ {-1} vpravo)}}}$

Navíc, protože jediná faktoriální funkce je dán oběma ${ displaystyle n! = p_ {n} (1,1)}$ a ${ displaystyle n! = p_ {n} (- 1, n)}$, můžeme generovat termíny jednotlivých faktoriálních funkcí pomocí aproximace Racionální konvergentní generující funkce na zakázku ${ displaystyle 2h}$. Toto pozorování naznačuje přístup k aproximaci přesné (formální) Laplace-Borelovy transformace, která je obvykle dána z hlediska integrálního vyjádření z předchozí části Hadamardovým produktem nebo diagonálním koeficientem generujícím funkci. Zejména vzhledem k jakékoli OGF ${ displaystyle G (z)}$ můžeme vytvořit přibližnou Laplaceovu transformaci, která je ${ displaystyle 2h}$- objednávka přesná, podle vzorce pro extrakci úhlopříčných koeficientů uvedeného výše daným

${ displaystyle { begin {aligned} { widetilde { mathcal {L}}} _ {h} [G] (z) &: = [x ^ {0}] operatorname {Conv} _ {h} vlevo (1,1; { frac {z} {x}} vpravo) G (x) & = { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} operatorname {Conv} _ {h} left (1,1; { sqrt {z}} e ^ { imath t} right) G left (- { sqrt {z}} e ^ { imath t} right) dt. end {zarovnáno}}}$

Mezi příklady sekvencí vyjmenovaných prostřednictvím těchto funkcí generujících diagonální koeficient vyplývající z multiplikátoru sekvenčních faktoriálových funkcí poskytovaných racionálními konvergentními funkcemi patří

${ displaystyle { begin {aligned} n! ^ {2} & = [z ^ {n}] [x ^ {0}] operatorname {Conv} _ {h} left (-1, n; { frac {z} {x}} right) operatorname {Conv} _ {h} left (-1, n; x right), h geq n { binom {2n} {n}} & = [x_ {1} ^ {0} x_ {2} ^ {0} z ^ {n}] operatorname {Conv} _ {h} left (-2,2n; { frac {z} {x_ { 2}}} right) operatorname {Conv} _ {h} left (-2,2n-1; { frac {x_ {2}} {x_ {1}}} right) I_ {0} ( 2 { sqrt {x_ {1}}}) { binom {3n} {n}} { binom {2n} {n}} & = [x_ {1} ^ {0} x_ {2} ^ {0} z ^ {n}] operatorname {Conv} _ {h} left (-3,3n-1; { frac {3z} {x_ {2}}} right) operatorname {Conv} _ {h} left (-3,3n-2; { frac {x_ {2}} {x_ {1}}} right) I_ {0} (2 { sqrt {x_ {1}}}) ! n & = n! times sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {(-1) ^ {i}} {i!}} = [z ^ {n} x ^ {0} ] left ({ frac {e ^ {- x}} {(1-x)}} operatorname {Conv} _ {n} left (-1, n; { frac {z} {x}} right) right) operatorname {af} (n) & = sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {nk} k! = [z ^ {n}] left ({ frac { operatorname {Conv} _ {n} (1,1; z) -1} {1 + z}} vpravo) (t-1) ^ {n} P_ {n} vlevo ({ frac {t + 1} {t-1}} right) & = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} ^ {2} t ^ {k } & = [x_ {1} ^ {0} x_ {2} ^ {0}] [z ^ {n}] left ( operatorname {Co nv} _ {n} left (1,1; { frac {z} {x_ {1}}} right) operatorname {Conv} _ {n} left (1,1; { frac {x_ {1}} {x_ {2}}} vpravo) I_ {0} (2 { sqrt {t cdot x_ {2}}}) I_ {0} (2 { sqrt {x_ {2}}} ) right), n geq 1 (2n-1) !! & = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {(n-1)!} {(k-1)! }} k cdot (2k-3) !! & = [x_ {1} ^ {0} x_ {2} ^ {0} x_ {3} ^ {n-1}] left ( operatorname { Conv} _ {n} left (1,1; { frac {x_ {3}} {x_ {2}}} right) operatorname {Conv} _ {n} left (2,1; { frac {x_ {2}} {x_ {1}}} vpravo) { frac {(x_ {1} +1) e ^ {x_ {1}}} {(1-x_ {2})}} vpravo), end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle I_ {0} (z)}$ označuje a upravená Besselova funkce, ${ displaystyle! n}$ označuje podfaktorová funkce, ${ displaystyle operatorname {af} (n)}$ označuje střídavý faktoriál funkce a ${ displaystyle P_ {n} (x)}$ je Legendární polynom. Mezi další příklady sekvencí vyjmenovaných prostřednictvím aplikací těchto racionálních funkcí generujících produkt Hadamard uvedených v článku patří Barnesova funkce G. kombinatorické částky zahrnující dvojitý faktoriál funkce, součty sil sekvence a sekvence dvojčlenů.

Derivační transformace

Pozitivní a negativní pořadí transformací řady zeta

Pro pevné ${ displaystyle k in mathbb {Z} ^ {+}}$, máme to, pokud je sekvence OGF ${ displaystyle F (z)}$ má ${ displaystyle j ^ {th}}$ deriváty všech požadovaných objednávek pro ${ displaystyle 1 leq j leq k}$, že transformace řady zeta kladného řádu je dána^[17]

${ displaystyle sum _ {n geq 0} n ^ {k} f_ {n} z ^ {n} = sum _ {j = 0} ^ {k} left {{ begin {matrix} k j end {matrix}} right } z ^ {j} F ^ {(j)} (z),}$

kde ${ displaystyle scriptstyle { left {{ begin {matrix} n k end {matrix}} right }}}$ označuje a Stirlingovo číslo druhého druhu. Zejména máme následující speciální případ identity, když ${ displaystyle f_ {n} equiv 1 forall n}$ když ${ displaystyle scriptstyle { left langle { begin {matrix} n m end {matrix}} right rangle}}$ označuje trojúhelník Euleriánská čísla prvního řádu:^[18]

${ displaystyle sum _ {n geq 0} n ^ {k} z ^ {n} = sum _ {j = 0} ^ {k} left {{ begin {matrix} k j end {matrix}} right } { frac {z ^ {j} cdot j!} {(1-z) ^ {j + 1}}} = { frac {1} {(1-z) ^ {k + 1}}} times sum _ {0 leq m$

Můžeme také rozšířit transformace řady zeta záporného řádu obdobným postupem jako výše uvedená rozšíření uvedená v rámci ${ displaystyle j ^ {th}}$- objednejte si deriváty některých ${ displaystyle F (z) v C ^ { infty}}$ a nekonečná, netrojúhelníková sada zobecněných Stirlingových čísel opačněnebo zobecněná Stirlingova čísla druhého druhu definovaná v tomto kontextu.

Zejména pro celá čísla ${ displaystyle k, j geq 0}$, definujte tyto zobecněné třídy Stirlingových čísel druhého druhu podle vzorce

${ displaystyle left {{ begin {matrix} k + 2 j end {matrix}} right } _ { ast}: = { frac {1} {j!}} times součet _ {m = 1} ^ {j} { binom {j} {m}} { frac {(-1) ^ {jm}} {m ^ {k}}}.}$

Pak pro ${ displaystyle k in mathbb {Z} ^ {+}}$ a některé předepsané OGF, ${ displaystyle F (z) v C ^ { infty}}$, tj. tak, že vyššího řádu ${ displaystyle j ^ {th}}$ deriváty ${ displaystyle F (z)}$ existují pro všechny ${ displaystyle j geq 0}$, máme to

${ displaystyle sum _ {n geq 1} { frac {f_ {n}} {n ^ {k}}} z ^ {n} = sum _ {j geq 1} left {{ začátek {matrix} k + 2 j end {matrix}} right } _ { ast} z ^ {j} F ^ {(j)} (z).}$

Tabulka prvních několika transformačních koeficientů řady zeta, ${ displaystyle scriptstyle { left {{ begin {matrix} k j end {matrix}} right } _ { ast}}}$, se objeví níže. Tato rozšíření váženého harmonického čísla jsou téměř totožná se známými vzorci pro Stirlingova čísla prvního druhu až po přední značku na váženém harmonické číslo podmínky v expanzích.

k	${ displaystyle left {{ begin {matrix} k j end {matrix}} right } _ { ast} times (-1) ^ {j-1} j!}$
2	${ displaystyle 1}$
3	${ displaystyle H_ {j}}$
4	${ displaystyle { frac {1} {2}} vlevo (H_ {j} ^ {2} + H_ {j} ^ {(2)} vpravo)}$
5	${ displaystyle { frac {1} {6}} vlevo (H_ {j} ^ {3} + 3H_ {j} H_ {j} ^ {(2)} + 2H_ {j} ^ {(3)} že jo)}$
6	${ displaystyle { frac {1} {24}} vlevo (H_ {j} ^ {4} + 6H_ {j} ^ {2} H_ {j} ^ {(2)} + 3 vlevo (H_ { j} ^ {(2)} vpravo) ^ {2} + 8H_ {j} H_ {j} ^ {(3)} + 6H_ {j} ^ {(4)} vpravo)}$

Příklady transformací řady zeta záporného řádu

Další série související s funkce polylogaritmu (dále jen dilogaritmus a trilogaritmus funkce) funkce střídání zeta a Funkce Riemann zeta jsou formulovány z předchozích výsledků řady negativních objednávek nalezených v referencích. Zejména když ${ displaystyle s: = 2}$ (nebo ekvivalentně, když ${ displaystyle k: = 4}$ v tabulce výše), máme následující speciální případové řady pro dilogaritmus a odpovídající konstantní hodnota střídavé funkce zeta:

${ displaystyle { begin {aligned} { text {Li}} _ {2} (z) & = sum _ {j geq 1} { frac {(-1) ^ {j-1}} { 2}} left (H_ {j} ^ {2} + H_ {j} ^ {(2)} right) { frac {z ^ {j}} {(1-z) ^ {j + 1} }} zeta ^ { ast} (2) & = { frac { pi ^ {2}} {12}} = sum _ {j geq 1} { frac { left (H_ { j} ^ {2} + H_ {j} ^ {(2)} vpravo)} {4 cdot 2 ^ {j}}}. end {zarovnáno}}}$

Když ${ displaystyle s: = 3}$ (nebo kdy ${ displaystyle k: = 5}$ v zápisu použitém v předchozí podkapitole) obdobně získáváme speciální řady případů pro tyto funkce dané

${ displaystyle { begin {aligned} { text {Li}} _ {3} (z) & = sum _ {j geq 1} { frac {(-1) ^ {j-1}} { 6}} left (H_ {j} ^ {3} + 3H_ {j} H_ {j} ^ {(2)} + 2H_ {j} ^ {(3)} right) { frac {z ^ { j}} {(1-z) ^ {j + 1}}} zeta ^ { ast} (3) & = { frac {3} {4}} zeta (3) = sum _ {j geq 1} { frac { left (H_ {j} ^ {3} + 3H_ {j} H_ {j} ^ {(2)} + 2H_ {j} ^ {(3)} right) } {12 cdot 2 ^ {j}}} & = { frac {1} {6}} log (2) ^ {3} + sum _ {j geq 0} { frac {H_ {j} H_ {j} ^ {(2)}} {2 ^ {j + 1}}}. end {zarovnáno}}}$

Je známo, že harmonická čísla prvního řádu mají uzavřenou formu exponenciální generující funkce rozšířenou z hlediska přirozený logaritmus, neúplná funkce gama a exponenciální integrál dána

${ displaystyle sum _ {n geq 0} { frac {H_ {n}} {n!}} z ^ {n} = e ^ {z} left ({ mbox {E}} _ {1 } (z) + gamma + log z right) = e ^ {z} left ( Gamma (0, z) + gamma + log z right).}$

Další reprezentace sérií pro harmonické číslo řádu R. exponenciální generující funkce pro celá čísla ${ displaystyle r geq 2}$ jsou vytvořeny jako zvláštní případy těchto výsledků transformace řady na základě derivátů negativního řádu. Například harmonická čísla druhého řádu mít odpovídající exponenciální generující funkci rozšířenou o řadu

${ displaystyle sum _ {n geq 0} { frac {H_ {n} ^ {(2)}} {n!}} z ^ {n} = sum _ {j geq 1} { frac {H_ {j} ^ {2} + H_ {j} ^ {(2)}} {2 cdot (j + 1)!}} Z ^ {j} e ^ {z} left (j + 1 + z vpravo).}$

Zobecněné transformace zeta řady negativního řádu

Další zobecnění výše popsaných transformací řad záporného řádu souvisí s více Hurwitz-zeta nebo Lerch-transcendentní, generující funkce. Konkrétně, pokud definujeme ještě obecnější parametrizovaná Stirlingova čísla druhého druhu

${ displaystyle left {{ begin {matrix} k + 2 j end {matrix}} right } _ {( alpha, beta) ^ { ast}}: = { frac { 1} {j!}} Times sum _ {0 leq m leq j} { binom {j} {m}} { frac {(-1) ^ {jm}} {( alpha m + beta) ^ {k}}}}$,

pro nenulovou ${ displaystyle alpha, beta in mathbb {C}}$ takhle ${ displaystyle - { frac { beta} { alpha}} notin mathbb {Z} ^ {+}}$a některé opravené ${ displaystyle k geq 1}$, máme to

${ displaystyle sum _ {n geq 1} { frac {f_ {n}} {( alpha n + beta) ^ {k}}} z ^ {n} = sum _ {j geq 1} left {{ begin {matrix} k + 2 j end {matrix}} right } _ {( alpha, beta) ^ { ast}} z ^ {j} F ^ {( j)} (z).}$

Navíc pro všechna celá čísla ${ displaystyle u, u_ {0} geq 0}$, máme aproximace dílčích řad na celou nekonečnou řadu v předchozí rovnici dané

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {u} { frac {f_ {n}} {( alpha n + beta) ^ {k}}} z ^ {n} = [w ^ {u} ] left ( sum _ {j = 1} ^ {u + u_ {0}} left {{ begin {matrix} k + 2 j end {matrix}} right } _ {( alpha, beta) ^ { ast}} { frac {(wz) ^ {j} F ^ {(j)} (wz)} {1-w}} vpravo).}$

Příklady generalizovaných transformací zeta řady negativního řádu

Série pro speciální konstanty a funkce související se zeta vyplývající z těchto generalizovaných derivátových řadových transformací obvykle zahrnuje generalizovaná harmonická čísla řádu R definován ${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)} ( alpha, beta): = sum _ {1 leq k leq n} ( alpha k + beta) ^ {- r}}$ pro celá čísla ${ displaystyle r geq 1}$. Dvojice konkrétních rozšíření řady pro následující konstanty, když ${ displaystyle n in mathbb {Z} ^ {+}}$ je pevná vyplývá ze zvláštních případů Identity typu BBP tak jako