Dirichletova řada inverze - Dirichlet series inversion

v analytická teorie čísel, a Dirichletova řada nebo Funkce generování dirichletů (DGF), posloupnosti je běžný způsob porozumění a shrnutí aritmetické funkce smysluplným způsobem. Málo známý, nebo alespoň často zapomenutý způsob vyjadřování vzorců pro aritmetické funkce a jejich součtové funkce je provést integrální transformaci, která invertuje operaci formování DGF sekvence. Tato inverze je obdobou provádění inverzní Z-transformace do generující funkce posloupnosti pro vyjádření vzorců pro řadové koeficienty dané běžné generující funkce.

Prozatím použijeme tuto stránku jako souhrn „zvláštností“ a často zapomenutých faktů o transformaci a převrácení Dirichletovy řady, DGF, a týkající se inverze DGF sekvence se sumační funkcí sekvence. Používáme také notaci pro extrakci koeficientů obvykle aplikovanou na formální generující funkce v nějaké složité proměnné označením ${ displaystyle [n ^ {- s}] D_ {f} (s) =: f (n)}$ pro jakékoli kladné celé číslo ${ displaystyle n geq 1}$ kdykoli

{ displaystyle D_ {f} (s): = sum _ {n geq 0} { frac {f (n)} {n ^ {s}}}, quad Re (s)> sigma _ {0, f},}

označuje DGF (nebo Dirichletova řada ) z F který je považován za absolutně konvergentní kdykoli skutečná část z s je větší než úsečka absolutní konvergence, ${ displaystyle sigma _ {0, f} v mathbb {R}}$ .

Vztah Mellinova transformace součtové funkce posloupnosti na DGF posloupnosti nám poskytuje způsob vyjádření aritmetických funkcí ${ displaystyle f (n)}$ takhle ${ displaystyle f (1) neq 0}$ a odpovídající Dirichlet inverzní funkce, ${ displaystyle f ^ {- 1} (n)}$ , inverzními vzorci zahrnujícími součtovou funkci, definovanou

{ displaystyle S_ {f} (x): = { součet _ {n leq x}} ^ { prime} f (n), quad forall x geq 1.}

Zejména za předpokladu, že DGF některé aritmetické funkce F má analytické pokračování na ${ displaystyle s mapsto -s}$ , můžeme vyjádřit Mellinova transformace souhrnné funkce F pokračujícím vzorcem DGF jako

{ displaystyle { mathcal {M}} [S_ {f}] (s) = - { frac {D_ {f} (- s)} {s}}.}

Často je také vhodné vyjádřit vzorce pro součtové funkce nad Dirichlet inverzní funkce F pomocí této konstrukce problému typu inverze Mellin.

Preliminaries: Zápis, konvence a známé výsledky v DGF

DGF pro Dirichletovy inverzní funkce

Připomeňme, že aritmetická funkce je Dirichletova invertibilní nebo má inverzní funkci ${ displaystyle f ^ {- 1} (n)}$ s ohledem na Dirichletova konvoluce takhle ${ displaystyle (f ast f ^ {- 1}) (n) = delta _ {n, 1}}$ nebo ekvivalentně ${ displaystyle f ast f ^ {- 1} = mu ast 1 equiv varepsilon}$ , právě když ${ displaystyle f (1) neq 0}$ . Není těžké to dokázat ${ displaystyle D_ {f} (y)}$ je DGF F a je naprosto konvergentní pro všechny složité s uspokojující ${ displaystyle Re (s)> sigma _ {0, f}}$ , pak je DGF Dirichletovy inverze dána vztahem ${ displaystyle D_ {f ^ {- 1}} (s) = 1 / D_ {f} (s)}$ a je také naprosto konvergentní pro všechny ${ displaystyle Re (s)> sigma _ {0, f}}$ . Pozitivní skutečný ${ displaystyle sigma _ {0, f}}$ spojené s každou invertibilní aritmetickou funkcí F se nazývá úsečka konvergence.

Vidíme také následující identity související s Dirichlet inverzní některé funkce G to nezmizí najednou:

{ displaystyle { begin {aligned} (g ^ {- 1} ast mu) (n) & = [n ^ {- s}] left ({ frac {1} { zeta (s) D_ {g} (s)}} right) (g ^ {- 1} ast 1) (n) & = [n ^ {- s}] left ({ frac { zeta (s)}) {D_ {g} (y)}} right). End {aligned}}}

Souhrnné funkce

Stejnou konvenci používáme při vyjadřování výsledku Perronův vzorec, předpokládáme, že součtová funkce aritmetické funkce (Dirichletova invertibilní) ${ displaystyle f}$ , je definován pro všechny skutečné ${ displaystyle x geq 0}$ podle vzorce

{ displaystyle S_ {f} (x): = { součet _ {n leq x}} ^ { prime} f (n) = { start {případů} 0, & 0 leq x <1 součet limity _ {n <[x]} f (n), & x in mathbb {R} setminus mathbb {Z} ^ {+} klín x geq 1 součet limity _ {n leq [x]} f (n) - { frac {f (x)} {2}}, & x in mathbb {Z} ^ {+}. end {cases}}}

Známe následující vztah mezi Mellinova transformace souhrnné funkce F a DGF v F kdykoli ${ displaystyle Re (s)> sigma _ {0, f}}$ :

{ displaystyle D_ {f} (s) = s cdot int _ {1} ^ { infty} { frac {S_ {f} (x)} {x ^ {s + 1}}} dx.}

Některé příklady tohoto vztahu zahrnují následující identity zahrnující Funkce Mertens nebo souhrnná funkce Funkce Moebius, primární funkce zeta a funkce počítání prvočísel a Riemmann funkce počítání prvočísel:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {1} { zeta (s)}} & = s cdot int _ {1} ^ { infty} { frac {M (x)} {x ^ {s + 1}}} dx P (s) & = s cdot int _ {1} ^ { infty} { frac { pi (x)} {x ^ {s + 1}} } dx log zeta (s) & = s cdot int _ {0} ^ { infty} { frac { Pi _ {0} (x)} {x ^ {s + 1}} } dx. end {zarovnáno}}}

Výroky integrálního vzorce pro Dirichletovu inverzi

Klasický integrální vzorec

Pro všechny s takhle ${ displaystyle sigma: = Re (s)> sigma _ {0, f}}$ , máme to

{ displaystyle f (x) equiv [x ^ {- s}] D_ {f} (s) = lim _ {T rightarrow infty} { frac {1} {2T}} int _ {- T} ^ {T} x ^ { sigma + imath t} D_ {f} ( sigma + imath t) , dt.}

Pokud napíšeme DGF z F podle Mellinova transformace vzorec součtové funkce F, pak uvedený integrální vzorec jednoduše odpovídá speciálnímu případu Perronův vzorec. Další varianta předchozího vzorce uvedeného v knize Apostol poskytuje integrální vzorec pro alternativní součet v následující podobě pro ${ displaystyle c, x> 0}$ a jakékoli skutečné ${ displaystyle sigma> sigma _ {0, f} -c}$ kde označujeme ${ displaystyle Re (s): = sigma}$ :

{ displaystyle { sum _ {n leq x}} ^ { prime} { frac {f (n)} {n ^ {s}}} = { frac {1} {2 pi imath} } int _ {c- imath infty} ^ {c + imath infty} D_ {f} (s + z) { frac {x ^ {z}} {z}} dz.}

Přímý důkaz: Z knihy Apostola

Zvláštní případy vzorce

Pokud bychom chtěli vyjádřit vzorce pro Dirichlet inverzní z F, označeno ${ displaystyle f ^ {- 1} (n)}$ kdykoli ${ displaystyle f (1) neq 0}$ , píšeme ${ displaystyle D_ {f} (s) = 1 + s cdot A_ {f} (s)}$ . Pak máme absolutní konvergenci DGF pro všechny ${ displaystyle Re (s)> sigma _ {0, f}}$ že

{ displaystyle { begin {zarovnáno} int { frac {x ^ { imath t}} {D_ {f} ( sigma + imath t)}} , dt & = int left ( sum _ {j geq 0} ( sigma + imath t) ^ {j} times sum _ {k = 0} ^ {j} (- 1) ^ {k} D_ {f} ( sigma + imath t) ^ {k} { frac { log ^ {jk} (x)} {(jk)!}} vpravo) , dt. end {zarovnáno}}}

Nyní můžeme zavolat integrace po částech vidět, že pokud označíme ${ displaystyle F ^ {(- m)} (x) = součet _ {n geq 0} { frac {F ^ {(n)} (0)} {n!}} x ^ {n + m } times { frac {n!} {(n + m)!}}}$ označuje ${ displaystyle m ^ {th}}$ primitivní z F, pro všechna pevná nezáporná celá čísla ${ displaystyle k geq 0}$ , my máme

{ displaystyle int (sekera + b) ^ {k} cdot F (sekera + b) , dx = součet _ {j = 0} ^ {k} { frac {k!} {a cdot j !}} (- 1) ^ {kj} t ^ {j} F ^ {(j + 1-k)} (ax + b).}

Tak to získáme

{ displaystyle { begin {aligned} int _ {- T} ^ {T} { frac {x ^ { imath t}} {D_ {f} ( sigma + imath t)}} , dt & = { frac {1} { imath}} left ( sum _ {j geq 0} sum _ {k = 0} ^ {j} sum _ {m = 0} ^ {k} { frac {k!} {m!}} (- 1) ^ {m} ( sigma + imath t) ^ {m} left [D_ {f} ^ {k} right] ^ {(j + 1 -k)} ( sigma + imath t) { frac { log ^ {jk} (x)} {(jk)!}} right) { Biggr |} _ {t = -T} ^ { t = + T}. end {zarovnáno}}}

Můžeme také spojit iterované integrály pro ${ displaystyle k ^ {th}}$ antiderivativa z F konečnou částkou k jednotlivé integrály výkonově upravených verzí F:

{ displaystyle F ^ {(- k)} (x) = součet _ {i = 0} ^ {k-1} { binom {k-1} {i}} { frac {(-1) ^ {i}} {(k-1)!}} int { frac {F (x)} {x ^ {i}}} , dx.}

Ve světle této expanze pak můžeme napsat částečně omezující T- zkrácené inverzní integrály řady Dirichlet ve formě

{ displaystyle { begin {aligned} { frac {1} {2T}} int _ {- T} ^ {T} { frac {x ^ { imath t}} {D_ {f} ( sigma + imath t)}} , dt & = { frac {1} {2T cdot imath}} left ( sum _ {j geq 0} sum _ {k = 0} ^ {j} suma _ {m = 0} ^ {k} sum _ {n = 0} ^ {jk} { binom {jk} {n}} { frac {(-1) ^ {k + n + m} cdot k!} {(jk)! cdot m!}} ( sigma + imath t) ^ {m} { frac { log ^ {jk} (x)} {(jk)!}} int _ {0} ^ { sigma + imath t} left [A_ {f} ^ {k} right] (v) { frac {dv} {v ^ {n}}} right) { Biggr |} _ {t = -T} ^ {t = + T} & = { frac {1} {2T cdot imath}} left ( sum _ {j geq 0} sum _ { k = 0} ^ {j} sum _ {m = 0} ^ {k} { frac {(-1) ^ {jk} cdot (-s) ^ {m}} {m!}} { frac { log ^ {k} (x)} {k!}} int _ {0} ^ {1} s cdot D_ {f} ^ {jk} (rs) left (1 - { frac { 1} {rs}} right) ^ {k} , dv right) { Biggr |} _ {s = sigma - imath T} ^ {s = sigma + imath T} & = { frac {s left (e ^ {- s} + O_ {s} (1) right)} {2T cdot imath}} int _ {0} ^ {1} { frac {x ^ {1 - { frac {1} {rs}}}} {1 + D_ {f} (rs)}} dr { Biggr |} _ {s = sigma - imath T} ^ {s = sigma + imath T} & = { frac { left (e ^ {- s} + O_ {s} (1) right)} {2T cdot imath}} int _ {0} ^ { s} { frac {x ^ {1 - { frac {1} {v}}}} {1 + D_ {f} (v)}} , dv { B iggr |} _ {s = sigma - imath T} ^ {s = sigma + imath T}. end {zarovnáno}}}

Výroky v jazyce Mellinových transformací

Formální konvoluční lemma generující funkci

Předpokládejme, že bychom chtěli zacházet s integrandovým vzorcem integrandu pro inverzi Dirichletova koeficientu v mocninách ${ displaystyle ( imath t) ^ {k}}$ kde ${ displaystyle [( imath t) ^ {k}] F ( sigma + imath t) = F ^ {(k)}) ( sigma) / k!}$ , a pak pokračujeme, jako bychom hodnotili tradiční integrál na skutečné linii. Pak tu máme

{ displaystyle { begin {aligned} { hat {D}} _ {f} (x; sigma, T) &: = int _ {- T} ^ {T} x ^ { sigma + imath t} D_ {f} ( sigma + imath t) , dt & = sum _ {m geq 0} int _ {- T} ^ {T} x ^ { sigma + imath t } ( imath t) ^ {m} { frac {D_ {f} ^ {(m)} ( sigma)} {m!}} & = sum _ {m geq 0} int _ {-T} ^ {T} t ^ {2m} x ^ { sigma + imath t} { frac {(-1) ^ {m} D_ {f} ^ {(2m)} ( sigma)} {(2 m)!}} , Dt + imath times sum _ {m geq 0} int _ {- T} ^ {T} t ^ {2m + 1} x ^ { sigma + imath t } { frac {(-1) ^ {m} A ^ {(2m + 1)} ( sigma)} {(2m + 1)!}} , dt. end {zarovnáno}}}

Požadujeme výsledek daný následujícím vzorcem, který je důsledně prokázán aplikací integrace po částech, pro jakékoli nezáporné celé číslo ${ displaystyle m geq 0}$ :

{ displaystyle { begin {aligned} { hat {I}} _ {m} (T) &: = int _ {- T} ^ {T} { frac {( imath t) ^ {m} } {m!}} x ^ { imath t} , dt & = sum _ {r = 0} ^ {m} { frac { left (x ^ { imath T} + (- 1 ) ^ {r + 1} x ^ {- imath T} right) (- imath) ^ {r + 1}} { log ^ {k + 1-r} (x)}} cdot { frac {T ^ {r}} {r!}} & = { frac { cos (T log x)} {T log x}} times sum _ {r = 0} ^ { lfloor k / 2 rfloor} { frac {(-1) ^ {r + 1} T ^ {2r}} { log ^ {k-2r} (x) (2r)!}} + { frac { sin (T log x)} {T log x}} times sum _ {r = 0} ^ { lfloor k / 2 rfloor} { frac {(-1) ^ {r + 1} T ^ {2r + 1}} { log ^ {k-2r-1} (x) (2r + 1)!}}. End {zarovnáno}}}

Takže příslušné skutečné a imaginární části naší aritmetická funkce koeficienty F při kladných celých číslech X uspokojit:

{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Re} (f (x)) & = x ^ { sigma} times lim _ {T rightarrow infty} sum _ {m geq 0} D_ {f} ^ {(2m)} ( sigma) cdot { frac {{ hat {I}} _ {2m} (T)} {2T}} operatorname {Im} (f (x) ) & = x ^ { sigma} times lim _ {T rightarrow infty} sum _ {m geq 0} D_ {f} ^ {(2m + 1)} ( sigma) cdot { frac {{ hat {I}} _ {2m + 1} (T)} {2T}}. end {zarovnáno}}}

Poslední identity naznačují použití Produkt Hadamard vzorec pro generující funkce. Zejména můžeme vypracovat následující identity, které vyjadřují skutečné a imaginární části naší funkce F na X v následujících formách:^[1]

{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Re} (f (x)) & = lim _ {T rightarrow infty} left [{ frac {x ^ { sigma}} {2T}} times { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} left (D_ {f} ( sigma + imath T cdot e ^ { imath s} ) + D_ {f} ( sigma - imath Te ^ { imath s}) right) left (FUNC (e ^ {- imath s}) right) , ds right] operatorname {Im} (f (x)) & = lim _ {T rightarrow infty} left [{ frac {x ^ { sigma}} {2T}} times { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} vlevo (D_ {f} ( sigma + imath T cdot e ^ { imath s}) - D_ {f} ( sigma - imath Te ^ { imath s} right) () , ds right]. end {zarovnáno}}}

Všimněte si, že ve zvláštním případě, kdy je aritmetická funkce F je přísně reálný, očekáváme, že vnitřní členy v předchozím vzorci limitu jsou vždy nulové (tj. pro libovolný T).

Viz také

Poznámky

^ Chcete-li použít integrální vzorec pro produkt Hadamard to pozorujeme
${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {r = 0} ^ { lfloor k / 2 rfloor} { frac {(-1) ^ {r + 1} T ^ {2r}} { log ^ {k-2r} (x) (2r)!}} & = - { frac {1} {2}} [z ^ {k}] left ({ frac {e ^ { imath T { sqrt {z}}}} {1 - { frac {z} { log x}}}} + { frac {e ^ {- imath T { sqrt {z}}}} {1 + { frac {z} { log x}}}} right) součet _ {r = 0} ^ { lfloor k / 2 rfloor} { frac {(-1) ^ {r + 1} T ^ {2r + 1}} { log ^ {k-2r-1} (x) (2r + 1)!}} & = - { frac {1} {2}} [z ^ {k}] vlevo ({ frac {e ^ { imath T { sqrt {z}}}} {1 - { frac {z} { log x}}}} - { frac {e ^ {- imath T { sqrt {z}}}} {1 + { frac {z} { log x}}}} right). end {zarovnáno}}}$
Z tohoto pozorování je níže uvedený vzorec nyní standardní aplikací citovaného integrálního vzorce pro výpočet Hadamardova produktu dvou generujících funkcí.

Reference

Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel„Pregraduální texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, PAN 0434929, Zbl 0335.10001

[1] Chcete-li použít integrální vzorec pro produkt Hadamard to pozorujeme
${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {r = 0} ^ { lfloor k / 2 rfloor} { frac {(-1) ^ {r + 1} T ^ {2r}} { log ^ {k-2r} (x) (2r)!}} & = - { frac {1} {2}} [z ^ {k}] left ({ frac {e ^ { imath T { sqrt {z}}}} {1 - { frac {z} { log x}}}} + { frac {e ^ {- imath T { sqrt {z}}}} {1 + { frac {z} { log x}}}} right) součet _ {r = 0} ^ { lfloor k / 2 rfloor} { frac {(-1) ^ {r + 1} T ^ {2r + 1}} { log ^ {k-2r-1} (x) (2r + 1)!}} & = - { frac {1} {2}} [z ^ {k}] vlevo ({ frac {e ^ { imath T { sqrt {z}}}} {1 - { frac {z} { log x}}}} - { frac {e ^ {- imath T { sqrt {z}}}} {1 + { frac {z} { log x}}}} right). end {zarovnáno}}}$
Z tohoto pozorování je níže uvedený vzorec nyní standardní aplikací citovaného integrálního vzorce pro výpočet Hadamardova produktu dvou generujících funkcí.

[1]