V oblasti matematická analýza, a obecná Dirichletova řada je nekonečná řada který má podobu

kde
,
jsou komplexní čísla a
se přísně zvyšuje sekvence nezáporné reálná čísla která má sklon k nekonečnu.
Jednoduché pozorování ukazuje, že „obyčejný“ Dirichletova řada

se získá dosazením
zatímco a výkonová řada

se získá, když
.
Základní věty
Pokud je řada Dirichlet konvergentní v
, pak je rovnoměrně konvergentní v doména

a konvergentní pro všechny
kde
.
Nyní existují tři možnosti týkající se konvergence Dirichletovy řady, tj. Může konvergovat pro všechny, pro žádnou nebo pro některé hodnoty s. V druhém případě existují a
taková, že řada je konvergentní pro
a odlišný pro
. Podle konvence
pokud se řada nikam nekonverguje a
pokud řada konverguje všude na internetu složité letadlo.
Úsečka konvergence
The úsečka konvergence řady Dirichlet lze definovat jako
výše. Další ekvivalentní definice je

Linie
se nazývá linie konvergence. The polorovina konvergence je definován jako

The úsečka, čára a polorovina konvergence Dirichletovy řady jsou analogické k poloměr, hranice a disk konvergence a výkonová řada.
Na linii konvergence zůstává otázka konvergence otevřená jako v případě výkonových řad. Pokud však řada Dirichlet konverguje a diverguje v různých bodech na stejné vertikální linii, pak tato linie musí být linií konvergence. Důkaz je implicitní v definici úsečky konvergence. Příkladem by mohla být série

který konverguje v
(střídavé harmonické řady ) a liší se v
(harmonická řada ). Tím pádem,
je linie konvergence.
Předpokládejme, že řada Dirichletů nesblíží
, pak je jasné, že
a
rozchází se. Na druhou stranu, pokud řada Dirichlet konverguje na
, pak
a
konverguje. K výpočtu tedy existují dva vzorce
, v závislosti na konvergenci
které lze určit různými konvergenční testy. Tyto vzorce jsou podobné Cauchy – Hadamardova věta pro poloměr konvergence výkonové řady.
Li
je divergentní, tj.
, pak
darováno

Li
je konvergentní, tj.
, pak
darováno

Úsečka absolutní konvergence
Série Dirichlet je absolutně konvergentní pokud série

je konvergentní. Jako obvykle je absolutně konvergentní Dirichletova řada konvergentní, ale konverzovat není vždy pravda.
Pokud je řada Dirichlet absolutně konvergentní
, pak je naprosto konvergentní pro všechny s kde
. Série Dirichlet může konvergovat absolutně pro všechny, pro žádné nebo pro některé hodnoty s. V druhém případě existují a
tak, že řada konverguje absolutně pro
a konverguje ne absolutně pro
.
The úsečka absolutní konvergence lze definovat jako
výše, nebo ekvivalentně jako

The čára a polorovina absolutní konvergence lze definovat podobně. K výpočtu existují také dva vzorce
.
Li
se tedy liší
darováno

Li
je tedy konvergentní
darováno

Obecně se úsečka konvergence neshoduje s úsečkou absolutní konvergence. Mohl by tedy existovat pás mezi přímkou konvergence a absolutní konvergencí, kde je Dirichletova řada podmíněně konvergentní. Šířka tohoto pásu je dána vztahem

V případě, že L = 0, tedy

Všechny dosud poskytnuté vzorce stále platí pro „obyčejné“ Dirichletova řada nahrazením
.
Další úsečky konvergence
U řady Dirichlet je možné uvažovat o dalších abscisech konvergence. The úsečka omezené konvergence
darováno

zatímco úsečka jednotné konvergence
darováno

Tyto úsečky souvisejí s úsečkou konvergence
a absolutní konvergence
podle vzorců
,
a pozoruhodná Bohrova věta ve skutečnosti ukazuje, že pro každou běžnou Dirichletovu sérii kde
(tj. Dirichletova řada formuláře
) ,
a
[1] Bohnenblust a Hille to následně ukázali pro každé číslo
existují série Dirichlet
pro který
[2]
Vzorec pro úsečku jednotné konvergence
pro obecnou sérii Dirichlet
je uveden následovně: pro všechny
, nechť
, pak
[3]
Analytické funkce
A funkce představovaný sérií Dirichlet

je analytický na polorovině konvergence. Navíc pro 

Další zobecnění
Řadu Dirichlet lze dále zobecnit na více proměnných případ kde
, k = 2, 3, 4, ..., nebo komplexní proměnná případ kde
, m = 1, 2, 3,...
Reference
- G. H. Hardy, a M. Riesz, Obecná teorie Dirichletovy řady, Cambridge University Press, první vydání, 1915.
- E. C. Titchmarsh, Teorie funkcí, Oxford University Press, druhé vydání, 1939.
- Tom Apostol, Modulární funkce a Dirichletovy řady v teorii číselSpringer, druhé vydání, 1990.
- A.F. Leont'ev, Celé funkce a řady exponenciálů (v ruštině), Nauka, první vydání, 1982.
- A.I. Markushevich, Teorie funkcí komplexní proměnné (přeloženo z ruštiny), Chelsea Publishing Company, druhé vydání, 1977.
- J.-P. Serre, Kurz aritmetikySpringer-Verlag, páté vydání, 1973.
- John E. McCarthy, Série Dirichlet, 2018.
- H. F. Bohnenblust a Einar Hille, O absolutní konvergenci Dirichletovy série, Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 32, č. 3 (červenec, 1931), str. 600-622.
externí odkazy