DAgostinos K-kvadrát test - DAgostinos K-squared test - Wikipedia

v statistika, D'Agostino K.² test, pojmenovaný pro Ralph D'Agostino, je dobrota míra odletu z normálnost, to je cílem testu zjistit, zda daný vzorek pochází z normálně distribuované populace. Test je založen na transformacích vzorku špičatost a šikmost, a má sílu pouze proti alternativám, že distribuce je vychýlená a / nebo kurtická.

Šikovnost a špičatost

V následujícím, {X_i } označuje vzorek n pozorování, G₁ a G₂ jsou vzorky šikmost a špičatost, m_jJsou j-tý vzorek ústřední momenty, a ${ displaystyle { bar {x}}}$ je vzorek znamenat. Často v literatuře související s testování normality, šikmost a špičatost jsou označeny jako √β₁ a β₂ resp. Takový zápis může být nepohodlný, protože například √β₁ může být záporné množství.

Ukázková šikmost a špičatost jsou definovány jako

${ displaystyle { begin {aligned} & g_ {1} = { frac {m_ {3}} {m_ {2} ^ {3/2}}} = { frac {{ frac {1} {n} } sum _ {i = 1} ^ {n} left (x_ {i} - { bar {x}} right) ^ {3}} { left ({ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} left (x_ {i} - { bar {x}} right) ^ {2} right) ^ {3/2}}} , & g_ {2} = { frac {m_ {4}} {m_ {2} ^ {2}}} - 3 = { frac {{ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} left (x_ {i} - { bar {x}} right) ^ {4}} { left ({ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ { n} left (x_ {i} - { bar {x}} right) ^ {2} right) ^ {2}}} - 3 . end {aligned}}}$

Tato množství důsledně odhadnout teoretickou šikmost distribuce, respektive špičatost distribuce. Kromě toho, pokud vzorek skutečně pochází z normální populace, lze přesně analyzovat konečné konečné rozdělení vzorků šikmosti a špičatosti z hlediska jejich průměrů μ₁odchylky μ₂, špejle y₁a kurtosy y₂. To bylo provedeno uživatelem Pearson (1931), kteří odvodili následující výrazy:^{[je zapotřebí lepší zdroj ]}

${ displaystyle { begin {aligned} & mu _ {1} (g_ {1}) = 0, & mu _ {2} (g_ {1}) = { frac {6 (n-2 )} {(n + 1) (n + 3)}}, & gamma _ {1} (g_ {1}) equiv { frac { mu _ {3} (g_ {1})} { mu _ {2} (g_ {1}) ^ {3/2}}} = 0, & gamma _ {2} (g_ {1}) equiv { frac { mu _ {4 } (g_ {1})} { mu _ {2} (g_ {1}) ^ {2}}} - 3 = { frac {36 (n-7) (n ^ {2} + 2n-5 )} {(n-2) (n + 5) (n + 7) (n + 9)}}. end {zarovnáno}}}$

a

${ displaystyle { begin {aligned} & mu _ {1} (g_ {2}) = - { frac {6} {n + 1}}, & mu _ {2} (g_ {2 }) = { frac {24n (n-2) (n-3)} {(n + 1) ^ {2} (n + 3) (n + 5)}}, & gamma _ {1 } (g_ {2}) equiv { frac { mu _ {3} (g_ {2})} { mu _ {2} (g_ {2}) ^ {3/2}}} = { frac {6 (n ^ {2} -5n + 2)} {(n + 7) (n + 9)}} { sqrt { frac {6 (n + 3) (n + 5)} {n ( n-2) (n-3)}}}, & gamma _ {2} (g_ {2}) equiv { frac { mu _ {4} (g_ {2})} { mu _ {2} (g_ {2}) ^ {2}}} - 3 = { frac {36 (15n ^ {6} -36n ^ {5} -628n ^ {4} + 982n ^ {3} + 5777n ^ {2} -6402n + 900)} {n (n-3) (n-2) (n + 7) (n + 9) (n + 11) (n + 13)}}. End {zarovnáno} }}$

Například vzorek s velikostí n = 1000 lze očekávat, že čerpané z normálně distribuované populace bude šikmé 0, SD 0,08 a špičatost 0, SD 0,15, kde SD označuje směrodatnou odchylku.^{[Citace je zapotřebí ]}

Transformovaná vzorová šikmost a špičatost

Ukázková šikmost G₁ a špičatost G₂ jsou oba asymptoticky normální. Míra jejich konvergence k distribučnímu limitu je však frustrovaně nízká, zejména pro G₂. Například dokonce s n = 5000 pozorování ukázkové špičatosti G₂ má jak šikmost, tak špičatost přibližně 0,3, což není zanedbatelné. Aby se tato situace napravila, bylo navrženo převést množství G₁ a G₂ takovým způsobem, aby se jejich distribuce co nejvíce přiblížila standardnímu normálu.

Zejména, D’Agostino (1970) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFD’Agostino1970 (Pomoc) navrhl následující transformaci pro vzorek šikmost:

${ displaystyle Z_ {1} (g_ {1}) = delta operatorname {asinh} left ({ frac {g_ {1}} { alpha { sqrt { mu _ {2}}}}} že jo),}$

kde konstanty α a δ jsou počítány jako

${ displaystyle { begin {aligned} & W ^ {2} = { sqrt {2 gamma _ {2} +4}} - 1, & delta = 1 / { sqrt { ln W}} , & alpha ^ {2} = 2 / (W ^ {2} -1), end {zarovnáno}}}$

a kde μ₂ = μ₂(G₁) je rozptyl G₁, a y₂ = y₂(G₁) je špičatost - výrazy uvedené v předchozí části.

Podobně, Anscombe & Glynn (1983) navrhl transformaci pro G₂, který funguje přiměřeně dobře pro velikosti vzorku 20 nebo větší:

${ displaystyle Z_ {2} (g_ {2}) = { sqrt { frac {9A} {2}}} left {1 - { frac {2} {9A}} - left ({ frac {1-2 / A} {1 + { frac {g_ {2} - mu _ {1}} { sqrt { mu _ {2}}}} { sqrt {2 / (A-4 )}}}} doprava) ^ {! 1/3} doprava },}$

kde

${ displaystyle A = 6 + { frac {8} { gamma _ {1}}} vlevo ({ frac {2} { gamma _ {1}}} + { sqrt {1 + 4 / gamma _ {1} ^ {2}}} vpravo),}$

a μ₁ = μ₁(G₂), μ₂ = μ₂(G₂), y₁ = y₁(G₂) jsou množství vypočítaná Pearsonem.

Omnibus K.² statistický

Statistika Z₁ a Z₂ lze kombinovat a vytvořit souhrnný test, který dokáže detekovat odchylky od normality buď kvůli šikmě nebo špičatosti (D’Agostino, Belanger & D’Agostino 1990 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFD’AgostinoBelangerD’Agostino1990 (Pomoc):

${ displaystyle K ^ {2} = Z_ {1} (g_ {1}) ^ {2} + Z_ {2} (g_ {2}) ^ {2} ,}$

Pokud nulová hypotéza normality je tedy pravda K.² je přibližně χ²-distribuováno se 2 stupni volnosti.

Všimněte si, že statistiky G₁, G₂ nejsou nezávislí, pouze nesouvisí. Proto jejich transformace Z₁, Z₂ bude závislý také (Shenton & Bowman 1977 ), což činí platnost χ² aproximace sporná. Simulace ukazují, že při nulové hypotéze K.² statistiku testu charakterizuje

Viz také

• Shapiro – Wilkův test
• Jarque – Bera test

Reference