Průměrné číslo křížení - Average crossing number

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (září 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematický Předmět teorie uzlů, průměrné číslo křížení a uzel je výsledkem průměrování všemi směry počet přechodů v uzlovém diagramu uzlu získaného projekcí na rovinu kolmou ke směru. Průměrné číslo křížení je často vnímáno v kontextu teorie fyzických uzlů.

Definice

Přesněji řečeno, pokud K. je hladký uzel, pak pro téměř každý jednotkový vektor proti udávající směr, kolmý průmět na rovinu kolmou na proti dává uzlový diagram, a můžeme vypočítat číslo křížení, označené n(proti). Průměrné číslo křížení je pak definováno jako integrál přes sféru jednotky:^[1]

${displaystyle {frac {1} {4pi}} int _ {S ^ {2}} n (v), dA}$

kde dA je plošný tvar na 2 sféře. Integrál dává smysl, protože množina směrů, kde projekce nedává uzlový diagram, je množina míry nula a n(proti) je lokálně konstantní, když je definován.

Alternativní formulace

Méně intuitivní, ale výpočetně užitečná definice je integrální podobně jako Gaussův spojovací integrál.

Bude uvedena derivace analogická derivaci spojovacího integrálu. Nechat K. být uzlem, parametrizovaným

${displaystyle f: S ^ {1} ightarrow mathbb {R} ^ {3}.}$

Poté definujte mapu z torus do 2 koule

${displaystyle g: S ^ {1} je S ^ {1} ightarrow S ^ {2}}$

podle

${displaystyle g (s, t) = {frac {f (s) -f (t)} {| f (s) -f (t) |}}.}$

(Technicky je třeba se vyhnout úhlopříčce: body, kde s = t .) Chceme spočítat, kolikrát je bod (směr) pokryt G. To bude pro obecný směr počítat počet přechodů v uzlovém diagramu daném promítáním v tomto směru. Za použití stupeň mapy, stejně jako v spojovacím integrálu, by počítal počet přechodů s podepsat, dávat svíjet se. Použití G vytáhnout zpět oblastní forma na S² do torusu T² = S¹ × S¹. Místo integrace tohoto formuláře integrujte jeho absolutní hodnotu, abyste se vyhnuli problému se znaménkem. Výsledný integrál je^[2]

${displaystyle {frac {1} {4pi}} int _ {T ^ {2}} {frac {| (f '(s) imes f' (t)) cdot (f (s) -f (t)) | } {| (f (s) -f (t)) | ^ {3}}}, ds, dt.}$

Reference

Další čtení

• Buck, Gregory; Simon, Jonathan (1999), „Tloušťka a počet křížení uzlů“, Topologie a její aplikace, 91 (3): 245–257, doi:10.1016 / S0166-8641 (97) 00211-3, PAN  1666650.
• Ernst, C .; Por, A. (2012), "Průměrné číslo křížení, celkové zakřivení a délka lana silných uzlů", Žurnál teorie uzlů a jeho důsledky, 21 (3): 1250028, 9, doi:10.1142 / S0218216511009601, PAN  2887660.
• Diao, Yuanan; Ernst, Claus (2001). "Křížení čísel silných uzlů a odkazů". V Jorgr Alberto Calvo; Kennrth C. Millet; Eric J. Rawdon (eds.). Fyzické uzly: Uzlování, spojování a skládání geometrických objektů v R³. Současná matematika. 304. Las Vegas, Nevada. ISBN  0-8218-3200-X..
• Jun, O'Haro. Energie uzlů a konformní geomenty. Série K&E o uzlech a všem. 33. 5 Toh Tuck Link, Singapur: World Scientific Publixhing Co. Pte. Ltd. ISBN  981-238-316-6.CS1 maint: umístění (odkaz).