Basusova věta - Basus theorem - Wikipedia

v statistika, Basuova věta uvádí, že jakýkoli bezpochyby kompletní minimální dostatečná statistika je nezávislý ze všech doplňková statistika. Toto je výsledek roku 1955 Debabrata Basu.^[1]

Ve statistikách se často používá jako nástroj k prokázání nezávislosti dvou statistik. Nejprve se prokáže, že jedna je úplná a druhá je pomocná, poté se odvolá na teorém.^[2] Příkladem toho je ukázat, že průměr vzorku a rozptyl vzorku normálního rozdělení jsou nezávislé statistiky, což se provádí v Příklad níže. Tato vlastnost (nezávislost střední hodnoty vzorku a rozptylu vzorku) charakterizuje normální rozdělení.

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle (P _ { theta}; theta v Theta)}$ být distribuční rodinou na a měřitelný prostor ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$ a ${ displaystyle T, A}$ měřitelné mapy z ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$ do nějakého měřitelného prostoru ${ displaystyle (Y, { mathcal {B}})}$. (Takovým mapám se říká a statistický.) Pokud ${ displaystyle T}$ je omezeně úplná dostatečná statistika pro ${ displaystyle theta}$, a ${ displaystyle A}$ je doplňkem k ${ displaystyle theta}$, pak ${ displaystyle T}$ je nezávislý na ${ displaystyle A}$.

Důkaz

Nechat ${ displaystyle P _ { theta} ^ {T}}$ a ${ displaystyle P _ { theta} ^ {A}}$ být mezní rozdělení z ${ displaystyle T}$ a ${ displaystyle A}$ resp.

Označit podle ${ displaystyle A ^ {- 1} (B)}$ the preimage sady ${ displaystyle B}$ pod mapou ${ displaystyle A}$. Pro jakoukoli měřitelnou sadu ${ displaystyle B v { mathcal {B}}}$ my máme

${ displaystyle P _ { theta} ^ {A} (B) = P _ { theta} (A ^ {- 1} (B)) = int _ {Y} P _ { theta} (A ^ {- 1 } (B) mid T = t) P _ { theta} ^ {T} (dt).}$

Distribuce ${ displaystyle P _ { theta} ^ {A}}$ nezávisí na ${ displaystyle theta}$ protože ${ displaystyle A}$ je pomocný. Rovněž, ${ displaystyle P _ { theta} ( cdot mid T = t)}$ nezávisí na ${ displaystyle theta}$ protože ${ displaystyle T}$ je dostačující. Proto

${ displaystyle int _ {Y} { big [} P (A ^ {- 1} (B) mid T = t) -P ^ {A} (B) { big]} P _ { theta } ^ {T} (dt) = 0.}$

Všimněte si, že integrand (funkce uvnitř integrálu) je funkcí ${ displaystyle t}$ a ne ${ displaystyle theta}$. Proto, protože ${ displaystyle T}$ je hraničně dokončit funkci

${ displaystyle g (t) = P (A ^ {- 1} (B) střední T = t) -P ^ {A} (B)}$

je nula pro ${ displaystyle P _ { theta} ^ {T}}$ téměř všechny hodnoty ${ displaystyle t}$ a tudíž

${ displaystyle P (A ^ {- 1} (B) střední T = t) = P ^ {A} (B)}$

téměř pro všechny ${ displaystyle t}$. Proto, ${ displaystyle A}$ je nezávislý na ${ displaystyle T}$.

Příklad

Nezávislost průměru vzorku a rozptylu vzorku při normálním rozdělení (známá odchylka)

Nechat X₁, X₂, ..., X_n být nezávislé, identicky distribuované normální náhodné proměnné s znamenat μ a rozptyl σ².

Pak s ohledem na parametr μ, to lze ukázat

${ displaystyle { widehat { mu}} = { frac { součet X_ {i}} {n}},}$

průměr vzorku je úplná dostatečná statistika - jsou to všechny informace, které lze odvodit k odhadu μ, a nic víc - a

${ displaystyle { widehat { sigma}} ^ {2} = { frac { sum left (X_ {i} - { bar {X}} right) ^ {2}} {n-1} },}$

rozptyl vzorku, je doplňkovou statistikou - jeho rozdělení nezávisí na μ.

Z Basuovy věty tedy vyplývá, že tyto statistiky jsou nezávislé.

Tento výsledek nezávislosti lze prokázat také Cochranova věta.

Dále tato vlastnost (že průměr vzorku a rozptyl vzorku normálního rozdělení jsou nezávislé) charakterizuje normální distribuce - žádná jiná distribuce nemá tuto vlastnost.^[3]

Poznámky

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Reference

• Basu, D. (1955). "Statistiky nezávislé na úplné dostatečné statistice". Sankhya. 15 (4): 377–380. JSTOR  25048259. PAN  0074745. Zbl  0068.13401.
• Mukhopadhyay, Nitis (2000). Pravděpodobnost a statistická inference. Statistiky: Řada učebnic a monografií. 162. Florida: CRC Press USA. ISBN  0-8247-0379-0.
• Boos, Dennis D .; Oliver, Jacqueline M. Hughes (srpen 1998). „Aplikace Basuovy věty“. Americký statistik. 52 (3): 218–221. doi:10.2307/2685927. JSTOR  2685927. PAN  1650407.
• Ghosh, malajština (Říjen 2002). „Basuova věta s aplikacemi: personalistický přehled“. Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A. 64 (3): 509–531. JSTOR  25051412. PAN  1985397.