Metoda flexibility - Flexibility method

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Metoda flexibility“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Září 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v pozemní stavitelství, metoda flexibility, také nazývaný metoda konzistentní deformace, je tradiční metoda pro výpočet sil členů a posunutí ve strukturálních systémech. Jeho moderní verze formulovaná z hlediska flexibility členů matice má také název metoda maticové síly kvůli jeho použití členských sil jako primárních neznámých.^[1]

Flexibilita členů

Flexibilita je inverzní ztuhlost. Zvažte například pružinu, která má Q a q jako jeho síla a deformace:

• Vztah tuhosti pružiny je Q = k q kde k je tuhost pružiny.
• Jeho vztah flexibility je q = f Q, kde F je pružnost pružiny.
• Proto, F = 1/k.

Typický vztah flexibility členů má následující obecnou formu:

${ displaystyle mathbf {q} ^ {m} = mathbf {f} ^ {m} mathbf {Q} ^ {m} + mathbf {q} ^ {om} qquad qquad qquad mathrm { (1)}}$

kde

m = číslo člena m.

${ displaystyle mathbf {q} ^ {m}}$ = vektor charakteristických deformací prutu.

${ displaystyle mathbf {f} ^ {m}}$ = matice pružnosti prutu, která charakterizuje náchylnost prutu k deformaci.

${ displaystyle mathbf {Q} ^ {m}}$ = vektor nezávislých charakteristických sil prvku, což jsou neznámé vnitřní síly. Tyto nezávislé síly vedou ke vzniku všech sil na konci prutu při rovnováze prutů.

${ displaystyle mathbf {q} ^ {om}}$ = vektor charakteristických deformací prvku způsobených vnějšími vlivy (jako jsou známé síly a změny teploty) působící na izolovaný, odpojený prvek (tj. s ${ displaystyle mathbf {Q} ^ {m} = 0}$).

U systému složeného z mnoha členů vzájemně propojených v bodech zvaných uzly lze vztahy pružnosti členů dát dohromady do jedné maticové rovnice, čímž se upustí horní index m:

${ displaystyle mathbf {q} _ {M krát 1} = mathbf {f} _ {M krát M} mathbf {Q} _ {M krát 1} + mathbf {q} _ {M krát 1} ^ {o} qquad qquad qquad mathrm {(2)}}$

kde M je celkový počet charakteristických deformací nebo sil členů v systému.

Na rozdíl od metoda tuhosti matice, kde lze vztahy tuhosti členů snadno integrovat pomocí uzlové rovnováhy a podmínek kompatibility, představuje současná forma pružnosti rovnice (2) vážné potíže. S členskými silami ${ displaystyle mathbf {Q} _ {M krát 1}}$ jako primární neznámá je počet rovnic uzlové rovnováhy pro řešení obecně nedostatečný - pokud systém není staticky určit.

Uzlové rovnovážné rovnice

Abychom tento problém vyřešili, nejprve použijeme rovnice uzlové rovnováhy, abychom snížili počet nezávislých neznámých členských sil. Nodální rovnovážná rovnice pro systém má tvar:

${ displaystyle mathbf {R} _ {N krát 1} = mathbf {b} _ {N krát M} mathbf {Q} _ {M krát 1} + mathbf {W} _ {N krát 1} qquad qquad qquad mathrm {(3)}}$

kde

${ displaystyle mathbf {R} _ {N krát 1}}$: Vektor uzlových sil vůbec N stupně svobody systému.

${ displaystyle mathbf {b} _ {N krát M}}$: Výsledná nodální rovnovážná matice

${ displaystyle mathbf {W} _ {N krát 1}}$: Vektor sil vznikajících při zatížení na pruty.

V případě určitých systémů matice b je čtverec a řešení pro Q lze okamžitě najít z (3) za předpokladu, že je systém stabilní.

Primární systém

Pro staticky neurčitý systémy, M> N, a proto můžeme rozšířit (3) o I = M-N rovnice tvaru:

${ displaystyle X_ {i} = alpha Q_ {j} + beta Q_ {k} + ... qquad i = 1,2, ... I qquad qquad mathrm {(4)}}$

Vektor X je takzvaný vektor redundantní síly a Já je míra statické neurčitosti systému. Obvykle si vybereme j, k, ..., ${ displaystyle alpha}$, a ${ displaystyle beta}$ takhle ${ displaystyle X_ {i}}$ je podpůrná reakce nebo vnitřní síla na konci členu. S vhodnými volbami redundantních sil lze nyní vyřešit systém rovnic (3) rozšířený o (4) a získat:

${ displaystyle mathbf {Q} _ {M krát 1} = mathbf {B} _ {R} mathbf {R} _ {N krát 1} + mathbf {B} _ {X} mathbf { X} _ {I times 1} + mathbf {Q} _ {v cdot M times 1} qquad qquad qquad mathrm {(5)}}$

Střídání do (2) dává:

${ displaystyle mathbf {q} _ {M krát 1} = mathbf {f} _ {M krát M} { Big (} mathbf {B} _ {R} mathbf {R} _ {N times 1} + mathbf {B} _ {X} mathbf {X} _ {I times 1} + mathbf {Q} _ {v cdot M times 1} { Big)} + mathbf {q} _ {M krát 1} ^ {o} qquad qquad qquad mathrm {(6)}}$

Rovnice (5) a (6) jsou řešením pro primární systém což je původní systém, který byl vykreslen staticky determinovaný škrty, které odhalují nadbytečné síly ${ displaystyle mathbf {X}}$. Rovnice (5) účinně redukuje množinu neznámých sil na ${ displaystyle mathbf {X}}$.

Rovnice a řešení kompatibility

Dále musíme nastavit ${ displaystyle I}$ rovnice kompatibility za účelem nalezení ${ displaystyle mathbf {X}}$. Rovnice kompatibility obnoví požadovanou kontinuitu v řezaných částech nastavením relativních posunů ${ displaystyle mathbf {r} _ {X}}$ u propuštěných X na nulu. To znamená pomocí metoda jednotkové figuríny:

${ displaystyle mathbf {r} _ {X} = mathbf {B} _ {X} ^ {T} mathbf {q} = mathbf {B} _ {X} ^ {T} { Big [} mathbf {f} { Big (} mathbf {B} _ {R} mathbf {R} + mathbf {B} _ {X} mathbf {X} + mathbf {Q} _ {v} { Big)} + mathbf {q} ^ {o} { Big]} = 0 qquad qquad qquad mathrm {(7a)}}$

nebo ${ displaystyle mathbf {r} _ {X} = mathbf {F} _ {XX} mathbf {X} + mathbf {r} _ {X} ^ {o} = 0 qquad qquad qquad mathrm {(7b)}}$

kde

${ displaystyle mathbf {F} _ {XX} = mathbf {B} _ {X} ^ {T} mathbf {f} mathbf {B} _ {X}}$

${ displaystyle mathbf {r} _ {X} ^ {o} = mathbf {B} _ {X} ^ {T} { Big [} mathbf {f} { Big (} mathbf {B} _ {R} mathbf {R} + mathbf {Q} _ {v} { Big)} + mathbf {q} ^ {o} { Big]}}$

Rovnici (7b) lze vyřešit pro X, a síly prutu se dále najdou od (5), zatímco uzlové posuny lze zjistit podle

${ displaystyle mathbf {r} _ {R} = mathbf {B} _ {R} ^ {T} mathbf {q} = mathbf {F} _ {RR} mathbf {R} + mathbf { r} _ {R} ^ {o}}$

kde

${ displaystyle mathbf {F} _ {RR} = mathbf {B} _ {R} ^ {T} mathbf {f} mathbf {B} _ {R}}$ je matice flexibility systému.

${ displaystyle mathbf {r} _ {R} ^ {o} = mathbf {B} _ {R} ^ {T} { Big [} mathbf {f} { Big (} mathbf {B} _ {X} mathbf {X} + mathbf {Q} _ {v} { Big)} + mathbf {q} ^ {o} { Big]}}$

Pohyby podpěr probíhající u nadbytečných lze zahrnout do pravé strany rovnice (7), zatímco pohyby podpěr na jiných místech musí být zahrnuty do ${ displaystyle mathbf {r} _ {X} ^ {o}}$ a ${ displaystyle mathbf {r} _ {R} ^ {o}}$ také.

Výhody a nevýhody

I když se volba redundantních sil v (4) jeví jako libovolná a obtížná pro automatický výpočet, lze tuto námitku překonat pokračováním z (3) přímo do (5) pomocí upraveného Eliminace Gauss-Jordan proces. Jedná se o robustní postup, který automaticky vybere dobrou sadu nadbytečných sil, aby byla zajištěna numerická stabilita.

Z výše uvedeného postupu je zřejmé, že metodu tuhosti matice lze snáze pochopit a implementovat pro automatický výpočet. Je také snazší rozšířit pro pokročilé aplikace, jako je nelineární analýza, stabilita, vibrace atd. Z těchto důvodů je metoda tuhosti matice metodou volby pro použití v softwarových balíčcích strukturální analýzy pro obecné účely. Na druhou stranu, pro lineární systémy s nízkým stupněm statické neurčitosti má metoda flexibility tu výhodu, že je výpočetně méně náročná. Tato výhoda je však diskutabilní, protože osobní počítače jsou široce dostupné a výkonnější. Hlavním vykupujícím faktorem při učení této metody v dnešní době je její vzdělávací hodnota při rozšiřování pojmů rovnováhy a kompatibility kromě její historické hodnoty. Naproti tomu je postup metody přímé tuhosti tak mechanický, že riskuje, že bude použit bez velkého pochopení strukturálního chování.

Horní argumenty byly platné až do konce 90. let. Nedávné pokroky v numerických výpočtech však ukázaly návrat silové metody, zejména v případě nelineárních systémů. Byly vyvinuty nové rámce, které umožňují „přesné“ formulace bez ohledu na typ nebo povahu nelinearit systému. Hlavní výhodou metody flexibility je, že chyba výsledku je nezávislá na diskretizaci modelu a že se jedná o velmi rychlou metodu. Například elastické-plastové řešení spojitého nosníku pomocí silové metody vyžaduje pouze 4 prvky nosníku, zatímco komerční „založený na tuhosti“ FEM kód vyžaduje 500 prvků, aby poskytoval výsledky se stejnou přesností. Na závěr lze říci, že v případě, kdy řešení problému vyžaduje rekurzivní vyhodnocení silového pole, jako v případě strukturální optimalizace nebo identifikace systému, účinnost metody flexibility je nesporná.

Viz také

• Metoda konečných prvků ve strukturální mechanice
• Strukturální analýza
• Metoda tuhosti

Reference

externí odkazy

• Konzistentní deformace - silová metoda