v fyzika a matematika , pevné harmonické jsou řešení Laplaceova rovnice v sférické polární souřadnice , považovány za (hladké) funkce R 3 → C { displaystyle mathbb {R} ^ {3} to mathbb {C}} pravidelné plné harmonické R ℓ m ( r ) { displaystyle R _ { ell} ^ {m} ( mathbf {r})} nepravidelné plné harmonické Já ℓ m ( r ) { displaystyle I _ { ell} ^ {m} ( mathbf {r})} teorie potenciálu , a jsou získány změnou měřítka sférické harmonické vhodně:
R ℓ m ( r ) ≡ 4 π 2 ℓ + 1 r ℓ Y ℓ m ( θ , φ ) { displaystyle R _ { ell} ^ {m} ( mathbf {r}) equiv { sqrt { frac {4 pi} {2 ell +1}}} ; r ^ { ell} Y_ { ell} ^ {m} ( theta, varphi)} Já ℓ m ( r ) ≡ 4 π 2 ℓ + 1 Y ℓ m ( θ , φ ) r ℓ + 1 { displaystyle I _ { ell} ^ {m} ( mathbf {r}) equiv { sqrt { frac {4 pi} {2 ell +1}}}} ; { frac {Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi)} {r ^ { ell +1}}}} Odvození, vztah ke sférickým harmonickým Představujeme r , θ a φ pro sférické polární souřadnice 3-vektoru r a za předpokladu, že Φ { displaystyle Phi} R 3 → C { displaystyle mathbb {R} ^ {3} to mathbb {C}}
∇ 2 Φ ( r ) = ( 1 r ∂ 2 ∂ r 2 r − l ^ 2 r 2 ) Φ ( r ) = 0 , r ≠ 0 , { displaystyle nabla ^ {2} Phi ( mathbf {r}) = left ({ frac {1} {r}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné r ^ {2 }}} r - { frac {{ hat {l}} ^ {2}} {r ^ {2}}} vpravo) Phi ( mathbf {r}) = 0, qquad mathbf {r } neq mathbf {0},} kde l 2 je čtverec nedimenzionálního operátor momentu hybnosti ,
l ^ = − i ( r × ∇ ) . { displaystyle mathbf { hat {l}} = -i , ( mathbf {r} times mathbf { nabla}).} to je známý že sférické harmonické Ym l jsou vlastní funkce z l 2 :
l ^ 2 Y ℓ m ≡ [ l ^ X 2 + l ^ y 2 + l ^ z 2 ] Y ℓ m = ℓ ( ℓ + 1 ) Y ℓ m . { displaystyle { hat {l}} ^ {2} Y _ { ell} ^ {m} equiv left [{{ hat {l}} _ {x}} ^ {2} + { hat { l}} _ {y} ^ {2} + { hat {l}} _ {z} ^ {2} vpravo] Y _ { ell} ^ {m} = ell ( ell +1) Y_ { ell} ^ {m}.} Substituce Φ (r ) = F (r ) Ym l do Laplaceovy rovnice dává po rozdělení sférické harmonické funkce následující radiální rovnici a její obecné řešení,
1 r ∂ 2 ∂ r 2 r F ( r ) = ℓ ( ℓ + 1 ) r 2 F ( r ) ⟹ F ( r ) = A r ℓ + B r − ℓ − 1 . { displaystyle { frac {1} {r}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné r ^ {2}}} rF (r) = { frac { ell ( ell +1 )} {r ^ {2}}} F (r) Longrightarrow F (r) = Ar ^ { ell} + Br ^ {- ell -1}.} Konkrétní řešení celkové Laplaceovy rovnice jsou pravidelné plné harmonické :
R ℓ m ( r ) ≡ 4 π 2 ℓ + 1 r ℓ Y ℓ m ( θ , φ ) , { displaystyle R _ { ell} ^ {m} ( mathbf {r}) equiv { sqrt { frac {4 pi} {2 ell +1}}} ; r ^ { ell} Y_ { ell} ^ {m} ( theta, varphi),} a nepravidelné plné harmonické :
Já ℓ m ( r ) ≡ 4 π 2 ℓ + 1 Y ℓ m ( θ , φ ) r ℓ + 1 . { displaystyle I _ { ell} ^ {m} ( mathbf {r}) equiv { sqrt { frac {4 pi} {2 ell +1}}}} ; { frac {Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi)} {r ^ { ell +1}}}.} Pravidelné pevné harmonické odpovídají harmonický homogenní polynomy , tj. homogenní polynomy, které jsou řešením Laplaceova rovnice .
Racahova normalizace Racah Normalizace (známá také jako Schmidtova semi-normalizace) se aplikuje na obě funkce
∫ 0 π hřích θ d θ ∫ 0 2 π d φ R ℓ m ( r ) ∗ R ℓ m ( r ) = 4 π 2 ℓ + 1 r 2 ℓ { displaystyle int _ {0} ^ { pi} sin theta , d theta int _ {0} ^ {2 pi} d varphi ; R _ { ell} ^ {m} ( mathbf {r}) ^ {*} ; R _ { ell} ^ {m} ( mathbf {r}) = { frac {4 pi} {2 ell +1}} r ^ {2 ell}} (a analogicky pro nepravidelné pevné harmonické) místo normalizace na jednotu. To je výhodné, protože v mnoha aplikacích se Racahův normalizační faktor v derivacích jeví beze změny.
Věty o sčítání Překlad pravidelné plné harmonické dává konečné rozšíření,
R ℓ m ( r + A ) = ∑ λ = 0 ℓ ( 2 ℓ 2 λ ) 1 / 2 ∑ μ = − λ λ R λ μ ( r ) R ℓ − λ m − μ ( A ) ⟨ λ , μ ; ℓ − λ , m − μ | ℓ m ⟩ , { displaystyle R _ { ell} ^ {m} ( mathbf {r} + mathbf {a}) = sum _ { lambda = 0} ^ { ell} { binom {2 ell} {2 lambda}} ^ {1/2} sum _ { mu = - lambda} ^ { lambda} R _ { lambda} ^ { mu} ( mathbf {r}) R _ { ell - lambda } ^ {m- mu} ( mathbf {a}) ; langle lambda, mu; ell - lambda, m- mu | ell m rangle,} Kde Clebsch-Gordanův koeficient darováno
⟨ λ , μ ; ℓ − λ , m − μ | ℓ m ⟩ = ( ℓ + m λ + μ ) 1 / 2 ( ℓ − m λ − μ ) 1 / 2 ( 2 ℓ 2 λ ) − 1 / 2 . { displaystyle langle lambda, mu; ell - lambda, m- mu | ell m rangle = { binom { ell + m} { lambda + mu}} ^ {1/2 } { binom { ell -m} { lambda - mu}} ^ {1/2} { binom {2 ell} {2 lambda}} ^ {- 1/2}.} Podobná expanze pro nepravidelné pevné harmonické dává nekonečnou řadu,
Já ℓ m ( r + A ) = ∑ λ = 0 ∞ ( 2 ℓ + 2 λ + 1 2 λ ) 1 / 2 ∑ μ = − λ λ R λ μ ( r ) Já ℓ + λ m − μ ( A ) ⟨ λ , μ ; ℓ + λ , m − μ | ℓ m ⟩ { displaystyle I _ { ell} ^ {m} ( mathbf {r} + mathbf {a}) = sum _ { lambda = 0} ^ { infty} { binom {2 ell +2 lambda +1} {2 lambda}} ^ {1/2} sum _ { mu = - lambda} ^ { lambda} R _ { lambda} ^ { mu} ( mathbf {r}) I_ { ell + lambda} ^ {m- mu} ( mathbf {a}) ; langle lambda, mu; ell + lambda, m- mu | ell m rangle} s | r | ≤ | A | { displaystyle | r | leq | a | ,} Clebsch-Gordanův koeficient ,
⟨ λ , μ ; ℓ + λ , m − μ | ℓ m ⟩ = ( − 1 ) λ + μ ( ℓ + λ − m + μ λ + μ ) 1 / 2 ( ℓ + λ + m − μ λ − μ ) 1 / 2 ( 2 ℓ + 2 λ + 1 2 λ ) − 1 / 2 . { displaystyle langle lambda, mu; ell + lambda, m- mu | ell m rangle = (- 1) ^ { lambda + mu} { binom { ell + lambda - m + mu} { lambda + mu}} ^ {1/2} { binom { ell + lambda + m- mu} { lambda - mu}} ^ {1/2} { binom {2 ell +2 lambda +1} {2 lambda}} ^ {- 1/2}.} Reference Věty o sčítání byly různými autory prokázány různými způsoby. Podívejte se například na dva různé důkazy v:
R. J. A. Tough a A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. sv. 10 , str. 1261 (1977) M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. sv. 11 , str. L23 (1978) Skutečná forma Jednoduchou lineární kombinací pevných harmonických ±m tyto funkce jsou transformovány do reálných funkcí, tj. funkcí R 3 → R { displaystyle mathbb {R} ^ {3} to mathbb {R}} ℓ { displaystyle ell} X , y , z . Určitá důležitost má explicitní forma těchto polynomů. Objevují se například ve formě sférických atomové orbitaly a skutečné vícepólové momenty . Nyní bude odvozeno explicitní kartézské vyjádření skutečných pravidelných harmonických.
Lineární kombinace Píšeme v souladu s dřívější definicí
R ℓ m ( r , θ , φ ) = ( − 1 ) ( m + | m | ) / 2 r ℓ Θ ℓ | m | ( cos θ ) E i m φ , − ℓ ≤ m ≤ ℓ , { displaystyle R _ { ell} ^ {m} (r, theta, varphi) = (- 1) ^ {(m + | m |) / 2} ; r ^ { ell} ; Theta _ { ell} ^ {| m |} ( cos theta) e ^ {im varphi}, qquad - ell leq m leq ell,} s
Θ ℓ m ( cos θ ) ≡ [ ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! ] 1 / 2 hřích m θ d m P ℓ ( cos θ ) d cos m θ , m ≥ 0 , { displaystyle Theta _ { ell} ^ {m} ( cos theta) equiv left [{ frac {( ell -m)!} {( ell + m)!}} vpravo] ^ {1/2} , sin ^ {m} theta , { frac {d ^ {m} P _ { ell} ( cos theta)} {d cos ^ {m} theta} }, qquad m geq 0,} kde P ℓ ( cos θ ) { displaystyle P _ { ell} ( cos theta)} Legendární polynom řádu l .v m závislá fáze je známá jako Condon-Shortleyova fáze .
Následující výraz definuje skutečné pravidelné pevné harmonické:
( C ℓ m S ℓ m ) ≡ 2 r ℓ Θ ℓ m ( cos m φ hřích m φ ) = 1 2 ( ( − 1 ) m 1 − ( − 1 ) m i i ) ( R ℓ m R ℓ − m ) , m > 0. { displaystyle { begin {pmatrix} C _ { ell} ^ {m} S _ { ell} ^ {m} end {pmatrix}} equiv { sqrt {2}} ; r ^ { ell} ; Theta _ { ell} ^ {m} { begin {pmatrix} cos m varphi sin m varphi end {pmatrix}} = { frac {1} { sqrt { 2}}} { begin {pmatrix} (- 1) ^ {m} & quad 1 - (- 1) ^ {m} i & quad i end {pmatrix}} { begin {pmatrix} R_ { ell} ^ {m} R _ { ell} ^ {- m} end {pmatrix}}, qquad m> 0.} a pro m = 0:
C ℓ 0 ≡ R ℓ 0 . { displaystyle C _ { ell} ^ {0} equiv R _ { ell} ^ {0}.} Protože transformace probíhá pomocí a unitární matice normalizace reálných a komplexních pevných harmonických je stejná.
z -závislá částPo psaní u = cos θ m th derivát Legendrova polynomu lze zapsat jako následující rozšíření v u
d m P ℓ ( u ) d u m = ∑ k = 0 ⌊ ( ℓ − m ) / 2 ⌋ y ℓ k ( m ) u ℓ − 2 k − m { displaystyle { frac {d ^ {m} P _ { ell} (u)} {du ^ {m}}} = sum _ {k = 0} ^ { left lfloor ( ell -m) / 2 right rfloor} gamma _ { ell k} ^ {(m)} ; u ^ { ell -2k-m}} s
y ℓ k ( m ) = ( − 1 ) k 2 − ℓ ( ℓ k ) ( 2 ℓ − 2 k ℓ ) ( ℓ − 2 k ) ! ( ℓ − 2 k − m ) ! . { displaystyle gamma _ { ell k} ^ {(m)} = (- 1) ^ {k} 2 ^ {- ell} { binom { ell} {k}} { binom {2 ell -2k} { ell}} { frac {( ell -2k)!} {( ell -2k-m)!}}} Od té doby z = r cosθ z toho vyplývá, že tato derivace, krát odpovídající mocninu r , je jednoduchý polynom v z ,
Π ℓ m ( z ) ≡ r ℓ − m d m P ℓ ( u ) d u m = ∑ k = 0 ⌊ ( ℓ − m ) / 2 ⌋ y ℓ k ( m ) r 2 k z ℓ − 2 k − m . { displaystyle Pi _ { ell} ^ {m} (z) equiv r ^ { ell -m} { frac {d ^ {m} P _ { ell} (u)} {du ^ {m }}} = sum _ {k = 0} ^ { left lfloor ( ell -m) / 2 right rfloor} gamma _ { ell k} ^ {(m)} ; r ^ { 2k} ; z ^ { ell -2k-m}.} (X ,y ) - nezávislá část Zvažte další, připomeňme si to X = r sinθcosφ a y = r sinθsinφ,
r m hřích m θ cos m φ = 1 2 [ ( r hřích θ E i φ ) m + ( r hřích θ E − i φ ) m ] = 1 2 [ ( X + i y ) m + ( X − i y ) m ] { displaystyle r ^ {m} sin ^ {m} theta cos m varphi = { frac {1} {2}} left [(r sin theta e ^ {i varphi}) ^ {m} + (r sin theta e ^ {- i varphi}) ^ {m} right] = { frac {1} {2}} left [(x + iy) ^ {m} + (x-iy) ^ {m} vpravo]} Rovněž
r m hřích m θ hřích m φ = 1 2 i [ ( r hřích θ E i φ ) m − ( r hřích θ E − i φ ) m ] = 1 2 i [ ( X + i y ) m − ( X − i y ) m ] . { displaystyle r ^ {m} sin ^ {m} theta sin m varphi = { frac {1} {2i}} left [(r sin theta e ^ {i varphi}) ^ {m} - (r sin theta e ^ {- i varphi}) ^ {m} right] = { frac {1} {2i}} left [(x + iy) ^ {m} - (x-iy) ^ {m} vpravo].} Dále
A m ( X , y ) ≡ 1 2 [ ( X + i y ) m + ( X − i y ) m ] = ∑ str = 0 m ( m str ) X str y m − str cos ( m − str ) π 2 { displaystyle A_ {m} (x, y) equiv { frac {1} {2}} vlevo [(x + iy) ^ {m} + (x-iy) ^ {m} vpravo] = sum _ {p = 0} ^ {m} { binom {m} {p}} x ^ {p} y ^ {mp} cos (mp) { frac { pi} {2}}} a
B m ( X , y ) ≡ 1 2 i [ ( X + i y ) m − ( X − i y ) m ] = ∑ str = 0 m ( m str ) X str y m − str hřích ( m − str ) π 2 . { displaystyle B_ {m} (x, y) equiv { frac {1} {2i}} vlevo [(x + iy) ^ {m} - (x-iy) ^ {m} vpravo] = sum _ {p = 0} ^ {m} { binom {m} {p}} x ^ {p} y ^ {mp} sin (mp) { frac { pi} {2}}.} Celkem C ℓ m ( X , y , z ) = [ ( 2 − δ m 0 ) ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! ] 1 / 2 Π ℓ m ( z ) A m ( X , y ) , m = 0 , 1 , … , ℓ { displaystyle C _ { ell} ^ {m} (x, y, z) = left [{ frac {(2- delta _ {m0}) ( ell -m)!} {( ell + m)!}} vpravo] ^ {1/2} Pi _ { ell} ^ {m} (z) ; A_ {m} (x, y), qquad m = 0,1, ldots , ell} S ℓ m ( X , y , z ) = [ 2 ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! ] 1 / 2 Π ℓ m ( z ) B m ( X , y ) , m = 1 , 2 , … , ℓ . { displaystyle S _ { ell} ^ {m} (x, y, z) = left [{ frac {2 ( ell -m)!} {( ell + m)!}} right] ^ {1/2} Pi _ { ell} ^ {m} (z) ; B_ {m} (x, y), qquad m = 1,2, ldots, ell.} Seznam nejnižších funkcí Uvádíme výslovně nejnižší funkce až po l = 5 .Tady Π ¯ ℓ m ( z ) ≡ [ ( 2 − δ m 0 ) ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! ] 1 / 2 Π ℓ m ( z ) . { displaystyle { bar { Pi}} _ { ell} ^ {m} (z) equiv left [{ tfrac {(2- delta _ {m0}) ( ell -m)!} {( ell + m)!}} right] ^ {1/2} Pi _ { ell} ^ {m} (z).}
Π ¯ 0 0 = 1 Π ¯ 3 1 = 1 4 6 ( 5 z 2 − r 2 ) Π ¯ 4 4 = 1 8 35 Π ¯ 1 0 = z Π ¯ 3 2 = 1 2 15 z Π ¯ 5 0 = 1 8 z ( 63 z 4 − 70 z 2 r 2 + 15 r 4 ) Π ¯ 1 1 = 1 Π ¯ 3 3 = 1 4 10 Π ¯ 5 1 = 1 8 15 ( 21 z 4 − 14 z 2 r 2 + r 4 ) Π ¯ 2 0 = 1 2 ( 3 z 2 − r 2 ) Π ¯ 4 0 = 1 8 ( 35 z 4 − 30 r 2 z 2 + 3 r 4 ) Π ¯ 5 2 = 1 4 105 ( 3 z 2 − r 2 ) z Π ¯ 2 1 = 3 z Π ¯ 4 1 = 10 4 z ( 7 z 2 − 3 r 2 ) Π ¯ 5 3 = 1 16 70 ( 9 z 2 − r 2 ) Π ¯ 2 2 = 1 2 3 Π ¯ 4 2 = 1 4 5 ( 7 z 2 − r 2 ) Π ¯ 5 4 = 3 8 35 z Π ¯ 3 0 = 1 2 z ( 5 z 2 − 3 r 2 ) Π ¯ 4 3 = 1 4 70 z Π ¯ 5 5 = 3 16 14 { displaystyle { begin {aligned} { bar { Pi}} _ {0} ^ {0} & = 1 & { bar { Pi}} _ {3} ^ {1} & = { frac { 1} {4}} { sqrt {6}} (5z ^ {2} -r ^ {2}) & { bar { Pi}} _ {4} ^ {4} & = { frac {1 } {8}} { sqrt {35}} { bar { Pi}} _ {1} ^ {0} & = z & { bar { Pi}} _ {3} ^ {2} & = { frac {1} {2}} { sqrt {15}} ; z & { bar { Pi}} _ {5} ^ {0} & = { frac {1} {8}} z (63z ^ {4} -70z ^ {2} r ^ {2} + 15r ^ {4}) { bar { Pi}} _ {1} ^ {1} & = 1 & { bar { Pi}} _ {3} ^ {3} & = { frac {1} {4}} { sqrt {10}} & { bar { Pi}} _ {5} ^ {1} & = { frac {1} {8}} { sqrt {15}} (21z ^ {4} -14z ^ {2} r ^ {2} + r ^ {4}) { bar { Pi}} _ {2} ^ {0} & = { frac {1} {2}} (3z ^ {2} -r ^ {2}) & { bar { Pi}} _ {4} ^ {0} & = { frac {1} {8}} (35z ^ {4} -30r ^ {2} z ^ {2} + 3r ^ {4}) & { bar { Pi}} _ {5} ^ {2} & = { frac {1} {4}} { sqrt {105}} (3z ^ {2} -r ^ {2}) z { bar { Pi}} _ {2} ^ {1} & = { sqrt {3}} z & { bar { Pi}} _ {4} ^ {1} & = { frac { sqrt {10}} {4}} z (7z ^ {2} -3r ^ {2}) & { bar { Pi}} _ {5} ^ {3} & = { frac {1} {16}} { sqrt {70}} (9z ^ { 2} -r ^ {2}) { bar { Pi}} _ {2} ^ {2} & = { frac {1} {2}} { sqrt {3}} & { bar { Pi}} _ {4} ^ {2} & = { frac {1} {4}} { sqrt {5}} (7z ^ {2} -r ^ {2}) & { bar { Pi}} _ {5} ^ {4} & = { frac {3} {8}} { sqrt {35}} z { bar { Pi}} _ {3} ^ {0} & = { frac {1} {2}} z (5z ^ {2} -3r ^ {2}) & { bar { Pi}} _ {4} ^ {3 } & = { frac {1} {4}} { sqrt {70}} ; z & { bar { Pi}} _ {5} ^ {5} & = { frac {3} {16} } { sqrt {14}} end {zarovnáno}}} Nejnižší funkce A m ( X , y ) { displaystyle A_ {m} (x, y) ,} B m ( X , y ) { displaystyle B_ {m} (x, y) ,}
m A m B m 0 1 { displaystyle 1 ,} 0 { displaystyle 0 ,} 1 X { displaystyle x ,} y { displaystyle y ,} 2 X 2 − y 2 { displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} ,} 2 X y { displaystyle 2xy ,} 3 X 3 − 3 X y 2 { displaystyle x ^ {3} -3xy ^ {2} ,} 3 X 2 y − y 3 { displaystyle 3x ^ {2} y-y ^ {3} ,} 4 X 4 − 6 X 2 y 2 + y 4 { displaystyle x ^ {4} -6x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4} ,} 4 X 3 y − 4 X y 3 { displaystyle 4x ^ {3} y-4xy ^ {3} ,} 5 X 5 − 10 X 3 y 2 + 5 X y 4 { displaystyle x ^ {5} -10x ^ {3} y ^ {2} + 5xy ^ {4} ,} 5 X 4 y − 10 X 2 y 3 + y 5 { displaystyle 5x ^ {4} y-10x ^ {2} y ^ {3} + y ^ {5} ,}
Reference
Steinborn, E.O .; Ruedenberg, K. (1973). "Rotace a překlad pravidelných a nepravidelných pevných sférických harmonických". V Lowdin, Per-Olov (ed.). Pokroky v kvantové chemii . 7 . Akademický tisk. s. 1–82. ISBN 9780080582320 Thompson, William J. (2004). Moment hybnosti: ilustrovaný průvodce rotační symetrií pro fyzické systémy . Weinheim: Wiley-VCH. 143–148. ISBN 9783527617838 
![{ hat l} ^ {2} Y _ {{ ell}} ^ {m} equiv left [{{ hat l} _ {x}} ^ {2} + { hat l} _ {y} ^ {2} + { hat l} _ {z} ^ {2} vpravo] Y _ {{ ell}} ^ {m} = ell ( ell +1) Y _ {{ ell}} ^ { m}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4bea2e8fc5ed030430f658ac191ef81b99231c)
![Theta _ {{ ell}} ^ {m} ( cos theta) equiv left [{ frac {( ell -m)!} {( Ell + m)!}} Right] ^ {{1/2}} , sin ^ {m} theta , { frac {d ^ {m} P _ { ell} ( cos theta)} {d cos ^ {m} theta }}, qquad m geq 0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13388066c5fd3eea6d64399921f8fda0c4b603b4)
![r ^ {m} sin ^ {m} theta cos m varphi = { frac {1} {2}} left [(r sin theta e ^ {{i varphi}}) ^ { m} + (r sin theta e ^ {{- i varphi}}) ^ {m} right] = { frac {1} {2}} left [(x + iy) ^ {m} + (x-iy) ^ {m} vpravo]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfaaeda8183a142fac2257aca77d4eeddfdedd8e)
![r ^ {m} sin ^ {m} theta sin m varphi = { frac {1} {2i}} left [(r sin theta e ^ {{i varphi}}) ^ { m} - (r sin theta e ^ {{- i varphi}}) ^ {m} right] = { frac {1} {2i}} left [(x + iy) ^ {m} - (x-iy) ^ {m} vpravo].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9f6deaf3e35306497076b645b60a580e9e531b)
![A_ {m} (x, y) equiv { frac {1} {2}} left [(x + iy) ^ {m} + (x-iy) ^ {m} right] = sum _ {{p = 0}} ^ {m} { binom {m} {p}} x ^ {p} y ^ {{mp}} cos (mp) { frac { pi} {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc083cb2e489bdc560a70776052a57de4b44c6b9)
![B_ {m} (x, y) equiv { frac {1} {2i}} left [(x + iy) ^ {m} - (x-iy) ^ {m} right] = sum _ {{p = 0}} ^ {m} { binom {m} {p}} x ^ {p} y ^ {{mp}} sin (mp) { frac { pi} {2}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5954bd84c06567915c93f57796b8783a8a2b3804)
![C _ { ell} ^ {m} (x, y, z) = left [{ frac {(2- delta _ {{m0}}) ( ell -m)!} {( Ell + m )!}} right] ^ {{1/2}} Pi _ {{ ell}} ^ {m} (z) ; A_ {m} (x, y), qquad m = 0,1 , ldots, ell](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e218d6cd24b3a1d1eae0acc9e4b8c013bc415114)
![S _ { ell} ^ {m} (x, y, z) = left [{ frac {2 ( ell -m)!} {( Ell + m)!}} Right] ^ {{1 / 2}} Pi _ {{ ell}} ^ {m} (z) ; B_ {m} (x, y), qquad m = 1,2, ldots, ell.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a401afd431809324850ed99499130be4c406cf4)
![{ bar { Pi}} _ { ell} ^ {m} (z) equiv left [{ tfrac {(2- delta _ {{m0}}) ( ell -m)!} { ( ell + m)!}} right] ^ {{1/2}} Pi _ {{ ell}} ^ {m} (z).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817884937d0ca0c4da9dfd90d2c5f5424482bbb7)
