Spinové vážené sférické harmonické - Spin-weighted spherical harmonics
v speciální funkce, téma v matematika, spinově vážené sférické harmonické jsou zobecnění normy sférické harmonické a - jako obvyklé sférické harmonické - jsou funkce na koule. Na rozdíl od běžných sférických harmonických jsou harmonické se spinové váhou U (1) rozchod pole spíše než skalární pole: matematicky berou hodnoty v komplexu svazek řádků. Spinově vážené harmonické jsou organizovány podle stupňů l, stejně jako běžné sférické harmonické, ale mají další hmotnost odstřeďování s který odráží další U (1) symetrie. Zvláštní základ harmonických lze odvodit z Laplaceových sférických harmonických Ylm, a jsou obvykle označeny sYlm, kde l a m jsou obvyklé parametry známé ze standardních sférických harmonických Laplaceových. V tomto speciálním základě se spinově vážené sférické harmonické jeví jako skutečné funkce, protože volba polární osy fixuje U (1) měřit nejednoznačnost. Spinové váhové sférické harmonické lze získat ze standardních sférických harmonických aplikací operátory zvedání a spouštění točení. Zejména rotační vážené sférické harmonické hmotnosti rotace s = 0 jsou jednoduše standardní sférické harmonické:
Prostory sférických harmonických se spinové váhou byly poprvé identifikovány v souvislosti s teorie reprezentace z Skupina Lorentz (Gelfand, Minlos a Shapiro 1958 ). Byly následně a nezávisle znovuobjeveny Newman & Penrose (1966) a aplikován na popis gravitační záření a znovu Wu & Yang (1976) jako takzvané „monopolní harmonické“ při studiu Dirac monopoly.
Spin-vážené funkce
Pokud jde o sféru S2 jako vložený do trojrozměrného Euklidovský prostor R3. V určitém okamžiku X na sféru, pozitivně orientovaný ortonormální základ z tečné vektory na X je pár A, b vektorů tak, že
kde to uvádí první pár rovnic A a b jsou tečna v X, uvádí druhý pár A a b jsou jednotkové vektory, předposlední rovnice A a b jsou ortogonální a konečná rovnice (X, A, b) je pro praváky R3.
Hmotnost závaží s funkce F je funkce přijímající jako vstup bod X z S2 a pozitivně orientovaný ortonormální základ tečných vektorů v X, takový, že
pro každý úhel otočení θ.
Následující Eastwood & Tod (1982), označují souhrn všech spin-weight s funkce podle B(s). Konkrétně jsou chápány jako funkce F na C2{0} splnění následujících zákonů o homogenitě při složitém škálování
To dává smysl za předpokladu s je napůl celé číslo.
Abstraktně B(s) je izomorfní do hladka vektorový svazek podkladové antiholomorfní vektorový svazek Ó(2s) z Serre twist na komplexní projektivní linie CP1. Část druhého svazku je funkcí G na C2{0} uspokojující
Vzhledem k takovému G, můžeme vyrobit rotační závaží s funkce vynásobením vhodnou silou poustevnické formy
Konkrétně F = P−sG je spin-weight s funkce. Asociace funkce spin-weighted k obyčejné homogenní funkci je izomorfismus.
Operátor ð
Svazky hmotnosti odstřeďování B(s) jsou vybaveny a operátor diferenciálu ð (eth ). Tento operátor je v zásadě Operátor Dolbeault po provedení vhodných identifikací,
Tak pro F ∈ B(s),
definuje funkci spin-weight s + 1.
Spinové vážené harmonické
Stejně jako konvenční sférické harmonické jsou vlastní funkce z Operátor Laplace-Beltrami na kouli, spin-weight s harmonické jsou vlastní tvary pro operátora Laplace-Beltrami působícího na svazky E(s) spin-weight s funkce.
Reprezentace jako funkce
Spinově vážené harmonické lze reprezentovat jako funkce na kouli, jakmile byl vybrán bod na kouli, který bude sloužit jako severní pól. Podle definice funkce η s hmotnost odstřeďování s transformuje rotací kolem pólu pomocí
Při práci ve standardních sférických souřadnicích můžeme definovat určitý operátor ð působící na funkci η tak jako:
To nám dává další funkci θ a φ. (Operátor ð je účinně a kovarianční derivace operátor ve sféře.)
Důležitá vlastnost nové funkce ðη je to pokud η měl hmotnost odstřeďování s, ðη má hmotnost odstřeďování s + 1. Operátor tedy zvýší váhu rotace funkce o 1. Podobně můžeme definovat operátor ð což sníží hmotnost odstřeďování funkce o 1:
Spinové váhové sférické harmonické jsou pak definovány jako obvyklé sférické harmonické tak jako: