v matematika , vektorové sférické harmonické (VSH ) jsou rozšířením skaláru sférické harmonické pro použití s vektorová pole . Součásti VSH jsou komplexní funkce vyjádřené v vektory sférických souřadnic .
Definice K definici VSH bylo použito několik konvencí.[1] [2] [3] [4] [5] et al. . Vzhledem k tomu, skalární sférická harmonická Ylm (θ , φ )
Y l m = Y l m r ^ , {displaystyle mathbf {Y} _ {lm} = Y_ {lm} {hat {mathbf {r}}},} Ψ l m = r ∇ Y l m , {displaystyle mathbf {Psi} _ {lm} = rabla Y_ {lm},} Φ l m = r × ∇ Y l m , {displaystyle mathbf {Phi} _ {lm} = mathbf {r} imes abla Y_ {lm},} s r ^ {displaystyle {hat {mathbf {r}}}} jednotkový vektor podél radiálního směru dovnitř sférické souřadnice a r {displaystyle mathbf {r}} r = r r ^ {displaystyle mathbf {r} = r {hat {mathbf {r}}}}
Zájem těchto nových vektorových polí je oddělit radiální závislost od úhlové při použití sférických souřadnic, takže vektorové pole připouští vícepólová expanze
E = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ( E l m r ( r ) Y l m + E l m ( 1 ) ( r ) Ψ l m + E l m ( 2 ) ( r ) Φ l m ) . {displaystyle mathbf {E} = součet _ {l = 0} ^ {infty} součet _ {m = -l} ^ {l} vlevo (E_ {lm} ^ {r} (r) mathbf {Y} _ {lm } + E_ {lm} ^ {(1)} (r) mathbf {Psi} _ {lm} + E_ {lm} ^ {(2)} (r) mathbf {Phi} _ {lm} ight).} Odráží to štítky na součástech E l m r {displaystyle E_ {lm} ^ {r}} E l m ( 1 ) {displaystyle E_ {lm} ^ {(1)}} E l m ( 2 ) {displaystyle E_ {lm} ^ {(2)}} r {displaystyle mathbf {r}}
Hlavní vlastnosti Symetrie Stejně jako skalární sférické harmonické vyhovuje i VSH
Y l , − m = ( − 1 ) m Y l m ∗ , Ψ l , − m = ( − 1 ) m Ψ l m ∗ , Φ l , − m = ( − 1 ) m Φ l m ∗ , {displaystyle {egin {aligned} mathbf {Y} _ {l, -m} & = (- 1) ^ {m} mathbf {Y} _ {lm} ^ {*}, mathbf {Psi} _ {l, -m} & = (- 1) ^ {m} mathbf {Psi} _ {lm} ^ {*}, mathbf {Phi} _ {l, -m} & = (- 1) ^ {m} mathbf { Phi} _ {lm} ^ {*}, konec {zarovnáno}}} což snižuje počet nezávislých funkcí zhruba na polovinu. Hvězda označuje komplexní konjugace .
Ortogonalita VSH jsou ortogonální obvyklým trojrozměrným způsobem v každém bodě r {displaystyle mathbf {r}}
Y l m ( r ) ⋅ Ψ l m ( r ) = 0 , Y l m ( r ) ⋅ Φ l m ( r ) = 0 , Ψ l m ( r ) ⋅ Φ l m ( r ) = 0. {displaystyle {egin {aligned} mathbf {Y} _ {lm} (mathbf {r}) cdot mathbf {Psi} _ {lm} (mathbf {r}) & = 0, mathbf {Y} _ {lm} ( mathbf {r}) cdot mathbf {Phi} _ {lm} (mathbf {r}) & = 0, mathbf {Psi} _ {lm} (mathbf {r}) cdot mathbf {Phi} _ {lm} (mathbf {r}) & = 0.end {zarovnáno}}} Jsou také ortogonální v Hilbertově prostoru:
∫ Y l m ⋅ Y l ′ m ′ ∗ d Ω = δ l l ′ δ m m ′ , ∫ Ψ l m ⋅ Ψ l ′ m ′ ∗ d Ω = l ( l + 1 ) δ l l ′ δ m m ′ , ∫ Φ l m ⋅ Φ l ′ m ′ ∗ d Ω = l ( l + 1 ) δ l l ′ δ m m ′ , ∫ Y l m ⋅ Ψ l ′ m ′ ∗ d Ω = 0 , ∫ Y l m ⋅ Φ l ′ m ′ ∗ d Ω = 0 , ∫ Ψ l m ⋅ Φ l ′ m ′ ∗ d Ω = 0. {displaystyle {egin {aligned} int mathbf {Y} _ {lm} cdot mathbf {Y} _ {l'm '} ^ {*}, dOmega & = delta _ {ll'} delta _ {mm '}, int mathbf {Psi} _ {lm} cdot mathbf {Psi} _ {l'm '} ^ {*}, dOmega & = l (l + 1) delta _ {ll'} delta _ {mm '}, int mathbf {Phi} _ {lm} cdot mathbf {Phi} _ {l'm '} ^ {*}, dOmega & = l (l + 1) delta _ {ll'} delta _ {mm '}, int mathbf {Y} _ {lm} cdot mathbf {Psi} _ {l'm '} ^ {*}, dOmega & = 0, int mathbf {Y} _ {lm} cdot mathbf {Phi} _ {l'm' } ^ {*}, dOmega & = 0, int mathbf {Psi} _ {lm} cdot mathbf {Phi} _ {l'm '} ^ {*}, dOmega & = 0.end {zarovnáno}}} Další výsledek v jednom bodě r {displaystyle mathbf {r}} l , m , l ′ , m ′ {displaystyle l, m, l ', m'}
Y l m ( r ) ⋅ Ψ l ′ m ′ ( r ) = 0 , Y l m ( r ) ⋅ Φ l ′ m ′ ( r ) = 0. {displaystyle {egin {aligned} mathbf {Y} _ {lm} (mathbf {r}) cdot mathbf {Psi} _ {l'm '} (mathbf {r}) & = 0, mathbf {Y} _ { lm} (mathbf {r}) cdot mathbf {Phi} _ {l'm '} (mathbf {r}) & = 0.end {aligned}}} Vektorové vícepólové momenty Vztahy ortogonality umožňují vypočítat sférické vícepólové momenty vektorového pole jako
E l m r = ∫ E ⋅ Y l m ∗ d Ω , E l m ( 1 ) = 1 l ( l + 1 ) ∫ E ⋅ Ψ l m ∗ d Ω , E l m ( 2 ) = 1 l ( l + 1 ) ∫ E ⋅ Φ l m ∗ d Ω . {displaystyle {egin {aligned} E_ {lm} ^ {r} & = int mathbf {E} cdot mathbf {Y} _ {lm} ^ {*}, dOmega, E_ {lm} ^ {(1)} & = {frac {1} {l (l + 1)}} int mathbf {E} cdot mathbf {Psi} _ {lm} ^ {*}, dOmega, E_ {lm} ^ {(2)} & = { frac {1} {l (l + 1)}} int mathbf {E} cdot mathbf {Phi} _ {lm} ^ {*}, dOmega .end {zarovnáno}}} Gradient skalárního pole Vzhledem k vícepólová expanze skalárního pole
ϕ = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ϕ l m ( r ) Y l m ( θ , ϕ ) , {displaystyle phi = sum _ {l = 0} ^ {infty} sum _ {m = -l} ^ {l} phi _ {lm} (r) Y_ {lm} (heta, phi),} můžeme vyjádřit jeho gradient ve smyslu VSH as
∇ ϕ = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ( d ϕ l m d r Y l m + ϕ l m r Ψ l m ) . {displaystyle abla phi = sum _ {l = 0} ^ {infty} sum _ {m = -l} ^ {l} vlevo ({frac {dphi _ {lm}} {dr}} mathbf {Y} _ {lm } + {frac {phi _ {lm}} {r}} mathbf {Psi} _ {lm} ight).} Divergence Pro jakékoli vícepólové pole máme
∇ ⋅ ( F ( r ) Y l m ) = ( d F d r + 2 r F ) Y l m , ∇ ⋅ ( F ( r ) Ψ l m ) = − l ( l + 1 ) r F Y l m , ∇ ⋅ ( F ( r ) Φ l m ) = 0. {displaystyle {egin {aligned} abla cdot left (f (r) mathbf {Y} _ {lm} ight) & = left ({frac {df} {dr}} + {frac {2} {r}} boj) Y_ {lm}, abla cdot left (f (r) mathbf {Psi} _ {lm} ight) & = - {frac {l (l + 1)} {r}} fY_ {lm}, abla cdot left (f (r) mathbf {Phi} _ {lm} ight) & = 0.end {zarovnáno}}} Superpozicí získáme divergence libovolného vektorového pole:
∇ ⋅ E = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ( d E l m r d r + 2 r E l m r − l ( l + 1 ) r E l m ( 1 ) ) Y l m . {displaystyle abla cdot mathbf {E} = součet _ {l = 0} ^ {infty} součet _ {m = -l} ^ {l} vlevo ({frac {dE_ {lm} ^ {r}} {dr}} + {frac {2} {r}} E_ {lm} ^ {r} - {frac {l (l + 1)} {r}} E_ {lm} ^ {(1)} ight) Y_ {lm}. } Vidíme, že je komponenta zapnutá Φ lm solenoidní .
Kučera Pro jakékoli vícepólové pole máme
∇ × ( F ( r ) Y l m ) = − 1 r F Φ l m , ∇ × ( F ( r ) Ψ l m ) = ( d F d r + 1 r F ) Φ l m , ∇ × ( F ( r ) Φ l m ) = − l ( l + 1 ) r F Y l m − ( d F d r + 1 r F ) Ψ l m . {displaystyle {egin {aligned} abla imes left (f (r) mathbf {Y} _ {lm} ight) & = - {frac {1} {r}} fmathbf {Phi} _ {lm}, abla imes left (f (r) mathbf {Psi} _ {lm} ight) & = left ({frac {df} {dr}} + {frac {1} {r}} boj) mathbf {Phi} _ {lm}, abla imes left (f (r) mathbf {Phi} _ {lm} ight) & = - {frac {l (l + 1)} {r}} fmathbf {Y} _ {lm} -left ({frac {df } {dr}} + {frac {1} {r}} boj) mathbf {Psi} _ {lm} .end {zarovnáno}}} Superpozicí získáme kučera libovolného vektorového pole:
∇ × E = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ( − l ( l + 1 ) r E l m ( 2 ) Y l m − ( d E l m ( 2 ) d r + 1 r E l m ( 2 ) ) Ψ l m + ( − 1 r E l m r + d E l m ( 1 ) d r + 1 r E l m ( 1 ) ) Φ l m ) . {displaystyle abla imes mathbf {E} = součet _ {l = 0} ^ {infty} součet _ {m = -l} ^ {l} vlevo (- {frac {l (l + 1)} {r}} E_ {lm} ^ {(2)} mathbf {Y} _ {lm} -left ({frac {dE_ {lm} ^ {(2)}} {dr}} + {frac {1} {r}} E_ { lm} ^ {(2)} ight) mathbf {Psi} _ {lm} + vlevo (- {frac {1} {r}} E_ {lm} ^ {r} + {frac {dE_ {lm} ^ {( 1)}} {dr}} + {frac {1} {r}} E_ {lm} ^ {(1)} ight) mathbf {Phi} _ {lm} ight).} Laplacian Akce Operátor Laplace Δ = ∇ ⋅ ∇ {displaystyle Delta = abla cdot abla}
Δ ( F ( r ) Z l m ) = ( 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ F ∂ r ) Z l m + F ( r ) Δ Z l m , {displaystyle Delta left (f (r) mathbf {Z} _ {lm} ight) = left ({frac {1} {r ^ {2}}} {frac {částečný} {částečný r}} r ^ {2} {frac {částečné f} {částečné r}} ight) mathbf {Z} _ {lm} + f (r) Delta mathbf {Z} _ {lm},} kde Z l m = Y l m , Ψ l m , Φ l m {displaystyle mathbf {Z} _ {lm} = mathbf {Y} _ {lm}, mathbf {Psi} _ {lm}, mathbf {Phi} _ {lm}}
Δ Y l m = − 1 r 2 ( 2 + l ( l + 1 ) ) Y l m + 2 r 2 Ψ l m , Δ Ψ l m = 2 r 2 l ( l + 1 ) Y l m − 1 r 2 l ( l + 1 ) Ψ l m , Δ Φ l m = − 1 r 2 l ( l + 1 ) Φ l m . {displaystyle {egin {aligned} Delta mathbf {Y} _ {lm} & = - {frac {1} {r ^ {2}}} (2 + l (l + 1)) mathbf {Y} _ {lm} + {frac {2} {r ^ {2}}} mathbf {Psi} _ {lm}, Delta mathbf {Psi} _ {lm} & = {frac {2} {r ^ {2}}} l ( l + 1) mathbf {Y} _ {lm} - {frac {1} {r ^ {2}}} l (l + 1) mathbf {Psi} _ {lm}, Delta mathbf {Phi} _ {lm } & = - {frac {1} {r ^ {2}}} l (l + 1) mathbf {Phi} _ {lm} .end {zarovnáno}}} Všimněte si také, že tato akce se stane symetrický , tj. off-diagonální koeficienty jsou rovny 2 r 2 l ( l + 1 ) {displaystyle {frac {2} {r ^ {2}}} {sqrt {l (l + 1)}}} normalizováno VSH.
Příklady První vektorové sférické harmonické l = 0 {displaystyle l = 0} Y 00 = 1 4 π r ^ , Ψ 00 = 0 , Φ 00 = 0 . {displaystyle {egin {aligned} mathbf {Y} _ {00} & = {sqrt {frac {1} {4pi}}} {hat {mathbf {r}}}, mathbf {Psi} _ {00} & = mathbf {0}, mathbf {Phi} _ {00} & = mathbf {0} .end {aligned}}} l = 1 {displaystyle l = 1} Y 10 = 3 4 π cos θ r ^ , Y 11 = − 3 8 π E i φ hřích θ r ^ , {displaystyle {egin {aligned} mathbf {Y} _ {10} & = {sqrt {frac {3} {4pi}}} cos heta, {hat {mathbf {r}}}, mathbf {Y} _ {11 } & = - {sqrt {frac {3} {8pi}}} e ^ {ivarphi} sin heta, {hat {mathbf {r}}}, end {aligned}}} Ψ 10 = − 3 4 π hřích θ θ ^ , Ψ 11 = − 3 8 π E i φ ( cos θ θ ^ + i φ ^ ) , {displaystyle {egin {aligned} mathbf {Psi} _ {10} & = - {sqrt {frac {3} {4pi}}} sin heta, {hat {mathbf {heta}}}, mathbf {Psi} _ { 11} & = - {sqrt {frac {3} {8pi}}} e ^ {ivarphi} vlevo (cos heta, {hat {mathbf {heta}}} + i, {hat {mathbf {varphi}}} vpravo) , konec {zarovnáno}}} Φ 10 = − 3 4 π hřích θ φ ^ , Φ 11 = 3 8 π E i φ ( i θ ^ − cos θ φ ^ ) . {displaystyle {egin {aligned} mathbf {Phi} _ {10} & = - {sqrt {frac {3} {4pi}}} sin heta, {hat {mathbf {varphi}}}, mathbf {Phi} _ { 11} & = {sqrt {frac {3} {8pi}}} e ^ {ivarphi} vlevo (i, {hat {mathbf {heta}}} - cos heta, {hat {mathbf {varphi}}} ight). konec {zarovnáno}}} l = 2 {displaystyle l = 2} Y 20 = 1 4 5 π ( 3 cos 2 θ − 1 ) r ^ , Y 21 = − 15 8 π hřích θ cos θ E i φ r ^ , Y 22 = 1 4 15 2 π hřích 2 θ E 2 i φ r ^ . {displaystyle {egin {aligned} mathbf {Y} _ {20} & = {frac {1} {4}} {sqrt {frac {5} {pi}}}, (3cos ^ {2} heta -1), {hat {mathbf {r}}}, mathbf {Y} _ {21} & = - {sqrt {frac {15} {8pi}}}, sin heta, cos heta, e ^ {ivarphi}, {hat { mathbf {r}}}, mathbf {Y} _ {22} & = {frac {1} {4}} {sqrt {frac {15} {2pi}}}, sin ^ {2} heta, e ^ { 2ivarphi}, {hat {mathbf {r}}}. End {aligned}}} Ψ 20 = − 3 2 5 π hřích θ cos θ θ ^ , Ψ 21 = − 15 8 π E i φ ( cos 2 θ θ ^ + i cos θ φ ^ ) , Ψ 22 = 15 8 π hřích θ E 2 i φ ( cos θ θ ^ + i φ ^ ) . {displaystyle {egin {aligned} mathbf {Psi} _ {20} & = - {frac {3} {2}} {sqrt {frac {5} {pi}}}, sin heta, cos heta, {hat {mathbf {heta}}}, mathbf {Psi} _ {21} & = - {sqrt {frac {15} {8pi}}}, e ^ {ivarphi}, vlevo (protože 2 heta, {hat {mathbf {heta} }} + icos heta, {hat {mathbf {varphi}}} ight), mathbf {Psi} _ {22} & = {sqrt {frac {15} {8pi}}}, sin heta, e ^ {2ivarphi} , left (cos heta, {hat {mathbf {heta}}} + i, {hat {mathbf {varphi}}} ight) .end {aligned}}} Φ 20 = − 3 2 5 π hřích θ cos θ φ ^ , Φ 21 = 15 8 π E i φ ( i cos θ θ ^ − cos 2 θ φ ^ ) , Φ 22 = 15 8 π hřích θ E 2 i φ ( − i θ ^ + cos θ φ ^ ) . {displaystyle {egin {aligned} mathbf {Phi} _ {20} & = - {frac {3} {2}} {sqrt {frac {5} {pi}}} sin heta, cos heta, {hat {mathbf { varphi}}}, mathbf {Phi} _ {21} & = {sqrt {frac {15} {8pi}}}, e ^ {ivarphi}, vlevo (icos heta, {hat {mathbf {heta}}} - cos 2 heta, {hat {mathbf {varphi}}} ight), mathbf {Phi} _ {22} & = {sqrt {frac {15} {8pi}}}, sin heta, e ^ {2ivarphi}, vlevo (-i, {hat {mathbf {heta}}} + cos heta, {hat {mathbf {varphi}}} ight) .end {aligned}}} Výrazy pro záporné hodnoty m jsou získány použitím vztahů symetrie.
Aplikace Elektrodynamika VSH jsou zvláště užitečné při studiu vícepólová pole záření . Například magnetický multipól je způsoben oscilačním proudem s úhlovou frekvencí ω {displaystyle omega}
J ^ = J ( r ) Φ l m , {displaystyle {hat {mathbf {J}}} = J (r) mathbf {Phi} _ {lm},} a odpovídající elektrická a magnetická pole, lze zapsat jako
E ^ = E ( r ) Φ l m , B ^ = B r ( r ) Y l m + B ( 1 ) ( r ) Ψ l m . {displaystyle {egin {aligned} {hat {mathbf {E}}} & = E (r) mathbf {Phi} _ {lm}, {hat {mathbf {B}}} & = B ^ {r} (r ) mathbf {Y} _ {lm} + B ^ {(1)} (r) mathbf {Psi} _ {lm} .end {aligned}}} Dosazením do Maxwellových rovnic je Gaussův zákon automaticky splněn
∇ ⋅ E ^ = 0 , {displaystyle abla cdot {hat {mathbf {E}}} = 0,} zatímco Faradayův zákon odděluje jako
∇ × E ^ = − i ω B ^ ⇒ { l ( l + 1 ) r E = i ω B r , d E d r + E r = i ω B ( 1 ) . {displaystyle abla imes {hat {mathbf {E}}} = - iomega {hat {mathbf {B}}} quad Rightarrow quad left {{egin {array} {l} displaystyle {frac {l (l + 1)} { r}} E = iomega B ^ {r}, displaystyle {frac {dE} {dr}} + {frac {E} {r}} = iomega B ^ {(1)}. konec {pole}} večer. } Z Gaussova zákona pro magnetické pole vyplývá
∇ ⋅ B ^ = 0 ⇒ d B r d r + 2 r B r − l ( l + 1 ) r B ( 1 ) = 0 , {displaystyle abla cdot {hat {mathbf {B}}} = 0quad Rightarrow quad {frac {dB ^ {r}} {dr}} + {frac {2} {r}} B ^ {r} - {frac {l (l + 1)} {r}} B ^ {(1)} = 0,} a Ampère-Maxwellova rovnice dává
∇ × B ^ = μ 0 J ^ + i μ 0 ε 0 ω E ^ ⇒ − B r r + d B ( 1 ) d r + B ( 1 ) r = μ 0 J + i ω μ 0 ε 0 E . {displaystyle abla imes {hat {mathbf {B}}} = mu _ {0} {hat {mathbf {J}}} + imu _ {0} varepsilon _ {0} omega {hat {mathbf {E}}} quad Rightarrow quad - {frac {B ^ {r}} {r}} + {frac {dB ^ {(1)}} {dr}} + {frac {B ^ {(1)}} {r}} = mu _ {0} J + iomega mu _ {0} varepsilon _ {0} E.} Tímto způsobem byly parciální diferenciální rovnice transformovány do sady obyčejných diferenciálních rovnic.
Alternativní definice Úhlová část sférických harmonických magnetických a elektrických vektorů. Červené a zelené šipky ukazují směr pole. Generování skalárních funkcí je také prezentováno, jsou zobrazeny pouze první tři řády (dipóly, kvadrupóly, oktupóly).
V mnoha aplikacích jsou vektorové sférické harmonické definovány jako základní sada řešení vektoru Helmholtzova rovnice ve sférických souřadnicích.[6] [7]
V tomto případě jsou vektorové sférické harmonické generovány skalárními funkcemi, což jsou řešení skalární Helmholtzovy rovnice s vlnovým vektorem k {displaystyle {f {k}}}
ψ E m n = cos m φ P n m ( cos ϑ ) z n ( k r ) ψ Ó m n = hřích m φ P n m ( cos ϑ ) z n ( k r ) {displaystyle {egin {array} {l} {psi _ {emn} = cos mvarphi P_ {n} ^ {m} (cos vartheta) z_ {n} ({k} r)} {psi _ {omn} = sin mvarphi P_ {n} ^ {m} (cos vartheta) z_ {n} ({k} r)} konec {pole}}} tady P n m ( cos θ ) {displaystyle P_ {n} ^ {m} (cos heta)} související legendární polynomy , a z n ( k r ) {displaystyle z_ {n} ({k} r)} sférické Besselovy funkce .
Vektorové sférické harmonické jsou definovány jako:
L Ó E m n = ∇ ψ Ó E m n {displaystyle mathbf {L} _ {^ {e} _ {o} mn} = mathbf {abla} psi _ {^ {e} _ {o} mn}} M Ó E m n = ∇ × ( r ψ Ó E m n ) {displaystyle mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} mn} = abla imes left (mathbf {r} psi _ {^ {e} _ {o} mn} ight)} N Ó E m n = ∇ × M Ó E m n k {displaystyle mathbf {N} _ {^ {e} _ {o} mn} = {frac {abla imes mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} mn}} {k}}} Zde používáme harmonickou skutečnou úhlovou část, kde m ≥ 0 {displaystyle mgeq 0}
Pojďme si představit notaci ρ = k r {displaystyle ho = kr}
M E m n ( k , r ) = − m hřích ( θ ) hřích ( m φ ) P n m ( cos ( θ ) ) z n ( ρ ) E θ − − cos ( m φ ) d P n m ( cos ( θ ) ) d θ z n ( ρ ) E φ {displaystyle {egin {aligned} {mathbf {M} _ {emn} (k, mathbf {r}) = {{frac {-m} {sin (heta)}} sin (mvarphi) P_ {n} ^ {m } (cos (heta))} z_ {n} (ho) mathbf {e} _ {heta} -} {- cos (mvarphi) {frac {dP_ {n} ^ {m} (cos (heta))} {d heta}}} z_ {n} (ho) mathbf {e} _ {varphi} konec {zarovnáno}}} M Ó m n ( k , r ) = m hřích ( θ ) cos ( m φ ) P n m ( cos ( θ ) ) z n ( ρ ) E θ − − hřích ( m φ ) d P n m ( cos ( θ ) ) d θ z n ( ρ ) E φ {displaystyle {egin {aligned} {mathbf {M} _ {omn} (k, mathbf {r}) = {{frac {m} {sin (heta)}} cos (mvarphi) P_ {n} ^ {m} (cos (heta))}} z_ {n} (ho) mathbf {e} _ {heta} - {- sin (mvarphi) {frac {dP_ {n} ^ {m} (cos (heta))} { d heta}} z_ {n} (ho) mathbf {e} _ {varphi}} konec {zarovnáno}}} N E m n ( k , r ) = z n ( ρ ) ρ cos ( m φ ) n ( n + 1 ) P n m ( cos ( θ ) ) E r + + cos ( m φ ) d P n m ( cos ( θ ) ) d θ 1 ρ d d ρ [ ρ z n ( ρ ) ] E θ − − m hřích ( m φ ) P n m ( cos ( θ ) ) hřích ( θ ) 1 ρ d d ρ [ ρ z n ( ρ ) ] E φ {displaystyle {egin {aligned} {mathbf {N} _ {emn} (k, mathbf {r}) = {frac {z_ {n} (ho)} {ho}} cos (mvarphi) n (n + 1) P_ {n} ^ {m} (cos (heta)) mathbf {e} _ {mathbf {r}} +} {+ cos (mvarphi) {frac {dP_ {n} ^ {m} (cos (heta) )} {d heta}}} {frac {1} {ho}} {frac {d} {dho}} vlevo [ho z_ {n} (ho) ight] mathbf {e} _ {heta} - {- msin (mvarphi) {frac {P_ {n} ^ {m} (cos (heta))} {sin (heta)}}} {frac {1} {ho}} {frac {d} {dho}} vlevo [ ho z_ {n} (ho) ight] mathbf {e} _ {varphi} konec {zarovnáno}}} N Ó m n ( k , r ) = z n ( ρ ) ρ hřích ( m φ ) n ( n + 1 ) P n m ( cos ( θ ) ) E r + + hřích ( m φ ) d P n m ( cos ( θ ) ) d θ 1 ρ d d ρ [ ρ z n ( ρ ) ] E θ + + m cos ( m φ ) P n m ( cos ( θ ) ) hřích ( θ ) 1 ρ d d ρ [ ρ z n ( ρ ) ] E φ {displaystyle {egin {aligned} mathbf {N} _ {omn} & (k, mathbf {r}) = {frac {z_ {n} (ho)} {ho}} sin (mvarphi) n (n + 1) P_ {n} ^ {m} (cos (heta)) mathbf {e} _ {mathbf {r}} + & + sin (mvarphi) {frac {dP_ {n} ^ {m} (cos (heta)) } {d heta}} {frac {1} {ho}} {frac {d} {dho}} vlevo [ho z_ {n} (ho) ight] mathbf {e} _ {heta} + & + {mcos (mvarphi) {frac {P_ {n} ^ {m} (cos (heta))} {sin (heta)}}} {frac {1} {ho}} {frac {d} {dho}} vlevo [ho z_ {n} (ho) ight] mathbf {e} _ {varphi} konec {zarovnáno}}} Pro magnetické harmonické neexistuje žádná radiální část. U elektrických harmonických se radiální část zmenšuje rychleji než úhlová a při velkém ρ {displaystyle ho} ρ {displaystyle ho}
Dlouhodobé harmonické:
L Ó E m n ( k , r ) = ∂ ∂ r z n ( k r ) P n m ( cos θ ) hřích cos m φ E r + 1 r z n ( k r ) ∂ ∂ θ P n m ( cos θ ) hřích cos m φ E θ ∓ ∓ m r hřích θ z n ( k r ) P n m ( cos θ ) cos hřích m φ E φ {displaystyle {egin {aligned} mathbf {L} _ {^ {e} _ {o} {mn}} & (k, mathbf {r}) = {frac {částečný} {částečný r}} z_ {n} ( kr) P_ {n} ^ {m} (cos heta) {^ {cos} _ {sin}} {mvarphi} mathbf {e} _ {r} + & {frac {1} {r}} z_ {n } (kr) {frac {částečné} {částečné heta}} P_ {n} ^ {m} (cos heta) {^ {cos} _ {sin}} mvarphi mathbf {e} _ {heta} mp & mp {frac {m} {rsin heta}} z_ {n} (kr) P_ {n} ^ {m} (cos heta) {^ {sin} _ {cos}} mvarphi mathbf {e} _ {varphi} konec {zarovnáno} }} Ortogonalita Řešení Helmholtzovy vektorové rovnice dodržují následující vztahy ortogonality [7]
∫ 0 2 π ∫ 0 π L Ó E m n ⋅ L Ó E m n hřích ϑ d ϑ d φ = ( 1 + δ m , 0 ) 2 π ( 2 n + 1 ) 2 ( n + m ) ! ( n − m ) ! k 2 { n [ z n − 1 ( k r ) ] 2 + ( n + 1 ) [ z n + 1 ( k r ) ] 2 } {displaystyle {int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {pi} mathbf {L} _ {^ {e} _ {o} mn} cdot mathbf {L} _ {^ {e} _ { o} mn} sin vartheta dvartheta dvarphi} {= (1 + delta _ {m, 0}) {frac {2pi} {(2n + 1) ^ {2}}} {frac {(n + m)!} { (nm)!}} k ^ {2} vlevo {nleft [z_ {n-1} (kr) ight] ^ {2} + (n + 1) vlevo [z_ {n + 1} (kr) ight] ^ {2} přesně}}} ∫ 0 2 π ∫ 0 π M Ó E m n ⋅ M Ó E m n hřích ϑ d ϑ d φ = ( 1 + δ m , 0 ) 2 π 2 n + 1 ( n + m ) ! ( n − m ) ! n ( n + 1 ) [ z n ( k r ) ] 2 {displaystyle {int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {pi} mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} mn} cdot mathbf {M} _ {^ {e} _ { o} mn} sin vartheta dvartheta dvarphi} {= (1 + delta _ {m, 0}) {frac {2pi} {2n + 1}} {frac {(n + m)!} {(nm)!}} n (n + 1) vlevo [z_ {n} (kr) ight] ^ {2}}} ∫ 0 2 π ∫ 0 π N Ó E m n ⋅ N Ó E m n hřích ϑ d ϑ d φ = ( 1 + δ m , 0 ) 2 π ( 2 n + 1 ) 2 ( n + m ) ! ( n − m ) ! n ( n + 1 ) { ( n + 1 ) [ z n − 1 ( k r ) ] 2 + n [ z n + 1 ( k r ) ] 2 } {displaystyle int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {pi} mathbf {N} _ {^ {e} _ {o} mn} cdot mathbf {N} _ {^ {e} _ {o } mn} sin vartheta dvartheta dvarphi} {= (1 + delta _ {m, 0}) {frac {2pi} {(2n + 1) ^ {2}}} {frac {(n + m)!} {( nm)!}} n (n + 1) left {(n + 1) left [z_ {n-1} (kr) ight] ^ {2} + nleft [z_ {n + 1} (kr) ight] ^ {2} v noci}} ∫ 0 π ∫ 0 2 π L Ó E m n ⋅ N Ó E m n hřích ϑ d ϑ d φ = ( 1 + δ m , 0 ) 2 π ( 2 n + 1 ) 2 ( n + m ) ! ( n − m ) ! n ( n + 1 ) k { [ z n − 1 ( k r ) ] 2 − [ z n + 1 ( k r ) ] 2 } {displaystyle {int _ {0} ^ {pi} int _ {0} ^ {2pi} mathbf {L} _ {^ {e} _ {o} mn} cdot mathbf {N} _ {^ {e} _ { o} mn} sin vartheta dvartheta dvarphi} {= (1 + delta _ {m, 0}) {frac {2pi} {(2n + 1) ^ {2}}} {frac {(n + m)!} { (nm)!}} n (n + 1) kleft {left [z_ {n-1} (kr) ight] ^ {2} -left [z_ {n + 1} (kr) ight] ^ {2} ight }}} Všechny ostatní integrály v úhlech mezi různými funkcemi nebo funkcemi s různými indexy jsou rovny nule.
Dynamika tekutin Při výpočtu Stokesův zákon pro odpor, kterým viskózní kapalina působí na malou sférickou částici, se řídí distribuce rychlosti Navier-Stokesovy rovnice zanedbání setrvačnosti, tj.
∇ ⋅ proti = 0 , 0 = − ∇ str + η ∇ 2 proti , {displaystyle {egin {aligned} abla cdot mathbf {v} & = 0, mathbf {0} & = - abla p + eta abla ^ {2} mathbf {v}, konec {zarovnáno}}} s okrajovými podmínkami
proti = 0 ( r = A ) , proti = − U 0 ( r → ∞ ) . {displaystyle {egin {aligned} mathbf {v} & = mathbf {0} quad (r = a), mathbf {v} & = - mathbf {U} _ {0} quad (r o infty) .end {aligned }}} kde U je relativní rychlost částice k tekutině daleko od částice. Ve sférických souřadnicích lze tuto rychlost v nekonečnu zapsat jako
U 0 = U 0 ( cos θ r ^ − hřích θ θ ^ ) = U 0 ( Y 10 + Ψ 10 ) . {displaystyle mathbf {U} _ {0} = U_ {0} left (cos heta, {hat {mathbf {r}}} - sin heta, {hat {mathbf {heta}}} ight) = U_ {0} left (mathbf {Y} _ {10} + mathbf {Psi} _ {10} ight).} Poslední výraz naznačuje expanzi sférických harmonických pro rychlost kapaliny a tlak
str = str ( r ) Y 10 , proti = proti r ( r ) Y 10 + proti ( 1 ) ( r ) Ψ 10 . {displaystyle {egin {aligned} p & = p (r) Y_ {10}, mathbf {v} & = v ^ {r} (r) mathbf {Y} _ {10} + v ^ {(1)} ( r) mathbf {Psi} _ {10} .end {zarovnáno}}} Substituce v Navier-Stokesových rovnicích produkuje sadu běžných diferenciálních rovnic pro koeficienty.
Integrální vztahy Zde se používají následující definice:
Y E m n = cos m φ P n m ( cos θ ) Y Ó m n = hřích m φ P n m ( cos θ ) {displaystyle {egin {aligned} Y_ {emn} & = cos mvarphi P_ {n} ^ {m} (cos heta) Y_ {omn} & = sin mvarphi P_ {n} ^ {m} (cos heta) konec { zarovnaný}}} X Ó E m n ( k k ) = ∇ × ( k Y E Ó m n ( k k ) ) {displaystyle mathbf {X} _ {^ {e} _ {o} mn} left ({frac {mathbf {k}} {k}} ight) = abla imes left (mathbf {k} Y _ {^ {o} _ {e} mn} vlevo ({frac {mathbf {k}} {k}} hned) hned)} Z E Ó m n ( k k ) = i k k × X Ó E m n ( k k ) {displaystyle mathbf {Z} _ {^ {o} _ {e} mn} left ({frac {mathbf {k}} {k}} ight) = i {frac {mathbf {k}} {k}} imes mathbf {X} _ {^ {e} _ {o} mn} vlevo ({frac {mathbf {k}} {k}} vpravo)} V případě, kdy místo z n {displaystyle z_ {n}} sférické Besselovy funkce , s pomocí expanze rovinných vln lze získat následující integrální vztahy: [8]
N str m n ( k , r ) = i − n 4 π ∫ Z str m n ( k k ) E i k r d Ω k {displaystyle mathbf {N} _ {pmn} (k, mathbf {r}) = {frac {i ^ {- n}} {4pi}} int mathbf {Z} _ {pmn} vlevo ({frac {mathbf {k }} {k}} ight) e ^ {imathbf {k} mathbf {r}} dOmega _ {k}} M str m n ( k , r ) = i − n 4 π ∫ X str m n ( k k ) E i k r d Ω k {displaystyle mathbf {M} _ {pmn} (k, mathbf {r}) = {frac {i ^ {- n}} {4pi}} int mathbf {X} _ {pmn} vlevo ({frac {mathbf {k }} {k}} ight) e ^ {imathbf {k} mathbf {r}} dOmega _ {k}} V případě, kdy z n {displaystyle z_ {n}} [9] [8]
M str m n ( 3 ) ( k , r ) = i − n 2 π k ∬ − ∞ ∞ d k ‖ E i ( k X X + k y y ± k z z ) k z [ X str m n ( k k ) ] {displaystyle mathbf {M} _ {pmn} ^ {(3)} (k, mathbf {r}) = {frac {i ^ {- n}} {2pi k}} iint _ {- infty} ^ {infty} dk_ {|} {frac {e ^ {ileft (k_ {x} x + k_ {y} ypm k_ {z} zight)}} {k_ {z}}} vlevo [mathbf {X} _ {pmn} vlevo ( {frac {mathbf {k}} {k}} hned) hned]} N str m n ( 3 ) ( k , r ) = i − n 2 π k ∬ − ∞ ∞ d k ‖ E i ( k X X + k y y ± k z z ) k z [ Z str m n ( k k ) ] {displaystyle mathbf {N} _ {pmn} ^ {(3)} (k, mathbf {r}) = {frac {i ^ {- n}} {2pi k}} iint _ {- infty} ^ {infty} dk_ {|} {frac {e ^ {ileft (k_ {x} x + k_ {y} ypm k_ {z} zight)}} {k_ {z}}} vlevo [mathbf {Z} _ {pmn} vlevo ( {frac {mathbf {k}} {k}} hned) hned]} kde k z = k 2 − k X 2 − k y 2 {displaystyle k_ {z} = {sqrt {k ^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2}}}} ( 3 ) {displaystyle (3)}
Viz také Reference ^ Barrera, RG; Estevez, GA; Giraldo, J (1985-10-01). "Vektorové sférické harmonické a jejich aplikace na magnetostatiku". European Journal of Physics . Publikování IOP. 6 (4): 287–294. Bibcode :1985EJPh .... 6..287B . doi :10.1088/0143-0807/6/4/014 . ISSN 0143-0807 . ^ Carrascal, B; Estevez, GA; Lee, Peilian; Lorenzo, V (01.07.1991). "Vektorové sférické harmonické a jejich aplikace na klasickou elektrodynamiku". European Journal of Physics . Publikování IOP. 12 (4): 184–191. Bibcode :1991EJPh ... 12..184C . doi :10.1088/0143-0807/12/4/007 . ISSN 0143-0807 . ^ Hill, E.L. (1954). "Teorie vektorových sférických harmonických" (PDF) . American Journal of Physics . Americká asociace učitelů fyziky (AAPT). 22 (4): 211–214. Bibcode :1954AmJPh..22..211H . doi :10.1119/1.1933682 . ISSN 0002-9505 . S2CID 124182424 . ^ Weinberg, Erick J. (15.01.1994). "Monopole vektorové sférické harmonické". Fyzický přehled D . Americká fyzická společnost (APS). 49 (2): 1086–1092. arXiv :hep-th / 9308054 Bibcode :1994PhRvD..49,1086W . doi :10.1103 / physrevd.49.1086 . ISSN 0556-2821 . PMID 10017069 . S2CID 6429605 . ^ ODPOLEDNE. Morse a H. Feshbach, Metody teoretické fyziky, část II , New York: McGraw-Hill, 1898-1901 (1953) ^ Bohren, Craig F. a Donald R. Huffman, Absorpce a rozptyl světla malými částicemi, New York: Wiley, 1998, 530 s., ISBN 0-471-29340-7, ISBN 978-0-471-29340-8 (druhé vydání) ^ A b Stratton, J. A. (1941). Elektromagnetická teorie ^ A b B. Stout,Součty sférických mřížek pro mřížky. In: Popov E, editor. Mřížky: teorie a numerické aplikace. Institut Fresnel, Universite d'Aix-Marseille 6 (2012). ^ R. C. Wittmann, Operátory sférických vln a překladové vzorce, Transakce IEEE na anténách a šíření 36, 1078-1087 (1988) externí odkazy 
![{displaystyle {egin {aligned} {mathbf {N} _ {emn} (k, mathbf {r}) = {frac {z_ {n} (ho)} {ho}} cos (mvarphi) n (n + 1) P_ {n} ^ {m} (cos (heta)) mathbf {e} _ {mathbf {r}} +} {+ cos (mvarphi) {frac {dP_ {n} ^ {m} (cos (heta) )} {d heta}}} {frac {1} {ho}} {frac {d} {dho}} vlevo [ho z_ {n} (ho) ight] mathbf {e} _ {heta} - {- msin (mvarphi) {frac {P_ {n} ^ {m} (cos (heta))} {sin (heta)}}} {frac {1} {ho}} {frac {d} {dho}} vlevo [ ho z_ {n} (ho) ight] mathbf {e} _ {varphi} konec {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad38d781b484c1a1b550920518d596c88de2c37)
![{displaystyle {egin {aligned} mathbf {N} _ {omn} & (k, mathbf {r}) = {frac {z_ {n} (ho)} {ho}} sin (mvarphi) n (n + 1) P_ {n} ^ {m} (cos (heta)) mathbf {e} _ {mathbf {r}} + & + sin (mvarphi) {frac {dP_ {n} ^ {m} (cos (heta)) } {d heta}} {frac {1} {ho}} {frac {d} {dho}} vlevo [ho z_ {n} (ho) ight] mathbf {e} _ {heta} + & + {mcos (mvarphi) {frac {P_ {n} ^ {m} (cos (heta))} {sin (heta)}}} {frac {1} {ho}} {frac {d} {dho}} vlevo [ho z_ {n} (ho) ight] mathbf {e} _ {varphi} konec {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4528c43603f7c5868f920afcbdae5bec0d6f1af3)
![{displaystyle {int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {pi} mathbf {L} _ {^ {e} _ {o} mn} cdot mathbf {L} _ {^ {e} _ { o} mn} sin vartheta dvartheta dvarphi} {= (1 + delta _ {m, 0}) {frac {2pi} {(2n + 1) ^ {2}}} {frac {(n + m)!} { (nm)!}} k ^ {2} vlevo {nleft [z_ {n-1} (kr) ight] ^ {2} + (n + 1) vlevo [z_ {n + 1} (kr) ight] ^ {2} přesně}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3caf9a3a862e813514a86ae833494cfd4f0f9c8a)
![{displaystyle {int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {pi} mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} mn} cdot mathbf {M} _ {^ {e} _ { o} mn} sin vartheta dvartheta dvarphi} {= (1 + delta _ {m, 0}) {frac {2pi} {2n + 1}} {frac {(n + m)!} {(nm)!}} n (n + 1) vlevo [z_ {n} (kr) ight] ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61acd92c5fd19ad05b94d6e9792241b6dc468972)
![{displaystyle int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {pi} mathbf {N} _ {^ {e} _ {o} mn} cdot mathbf {N} _ {^ {e} _ {o } mn} sin vartheta dvartheta dvarphi} {= (1 + delta _ {m, 0}) {frac {2pi} {(2n + 1) ^ {2}}} {frac {(n + m)!} {( nm)!}}n(n+1)left{(n+1)left[z_{n-1}(kr)ight]^{2}+nleft[z_{n+1}(kr)ight]^ {2}ight}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6304776dd0142be5974ab4f30dd4b895cc093fb0)
![{displaystyle {int _{0}^{pi }int _{0}^{2pi }mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}cdot mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}sin vartheta dvartheta dvarphi }{=(1+delta _{m,0}){frac {2pi }{(2n+1)^{2}}}{frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)kleft{left[z_{n-1}(kr)ight]^{2}-left[z_{n+1}(kr)ight]^{2}ight}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550cfe2b979c59738bfb9c3213cc844a29dad4dd)
![{displaystyle mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,mathbf {r} )={frac {i^{-n}}{2pi k}}iint _{-infty }^{infty }dk_{|}{frac {e^{ileft(k_{x}x+k_{y}ypm k_{z}zight)}}{k_{z}}}left[mathbf {X} _{pmn}left({frac {mathbf {k} }{k}}ight)ight]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916898171326fa77d2c6b525ee23a44893581bdb)
![{displaystyle mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,mathbf {r} )={frac {i^{-n}}{2pi k}}iint _{-infty }^{infty }dk_{|}{frac {e^{ileft(k_{x}x+k_{y}ypm k_{z}zight)}}{k_{z}}}left[mathbf {Z} _{pmn}left({frac {mathbf {k} }{k}}ight)ight]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6b0db1d3b540dc4324d7fbefc7be994862b50f)
