Polarizace algebraické formy - Polarization of an algebraic form

v matematika, zejména v algebra, polarizace je technika pro vyjádření a homogenní polynom jednodušším způsobem připojením více proměnných. Specificky, daný homogenní polynom, polarizace produkuje a multilineární forma ze kterého lze obnovit původní polynom vyhodnocením podél určité úhlopříčky.

Ačkoli je tato technika klamně jednoduchá, má uplatnění v mnoha oblastech abstraktní matematiky: zejména v algebraická geometrie, invariantní teorie, a teorie reprezentace. Polarizace a související techniky tvoří základ Weylova invariantní teorie.

Technika

Základní myšlenky jsou následující. Nechat F(u) být polynomem v n proměnné u = (u₁, u₂, ..., u_n). Předpokládejme to F je homogenní se stupněm d, což znamená, že

F(t u) = t^d F(u) pro všechny t.

Nechat u⁽¹⁾, u⁽²⁾, ..., u^d) být sbírkou neurčí s u⁽ⁱ⁾ = (u₁⁽ⁱ⁾, u₂⁽ⁱ⁾, ..., u_n⁽ⁱ⁾), takže existují dn proměnné dohromady. The polární forma z F je polynom

F(u⁽¹⁾, u⁽²⁾, ..., u^d))

který je lineární samostatně v každém z nich u⁽ⁱ⁾ (tj., F je multilineární), symetrický v u⁽ⁱ⁾a tak dále

F(u,u, ..., u)=F(u).

Polární forma F je dána následující konstrukcí

${displaystyle F ({mathbf {u}} ^ {(1)}, tečky, {mathbf {u}} ^ {(d)}) = {frac {1} {d!}} {frac {částečné} {částečné lambda _ {1}}} tečky {frac {částečné} {částečné lambda _ {d}}} f (lambda _ {1} {mathbf {u}} ^ {(1)} + tečky + lambda _ {d} { mathbf {u}} ^ {(d)}) | _ {lambda = 0}.}$

Jinými slovy, F je konstantní násobek koeficientu λ₁ λ₂... λ_d v expanzi F(λ₁u⁽¹⁾ + ... + λ_du^d)).

Příklady

• Předpokládejme to X=(X,y) a F(X) je kvadratická forma

${displaystyle f ({mathbf {x}}) = x ^ {2} + 3xy + 2y ^ {2}.}$

Pak polarizace F je funkce v X⁽¹⁾ = (X⁽¹⁾, y⁽¹⁾) a X⁽²⁾ = (X⁽²⁾, y⁽²⁾) dána

${displaystyle F ({mathbf {x}} ^ {(1)}, {mathbf {x}} ^ {(2)}) = x ^ {(1)} x ^ {(2)} + {frac {3 } {2}} x ^ {(2)} y ^ {(1)} + {frac {3} {2}} x ^ {(1)} y ^ {(2)} + 2y ^ {(1) } y ^ {(2)}.}$

• Obecněji, pokud F je jakákoli kvadratická forma, pak polarizace F souhlasí se závěrem polarizační identita.
• Kubický příklad. Nechat F(X,y)=X³ + 2xy². Pak polarizace F je dána

${displaystyle F (x ^ {(1)}, y ^ {(1)}, x ^ {(2)}, y ^ {(2)}, x ^ {(3)}, y ^ {(3) }) = x ^ {(1)} x ^ {(2)} x ^ {(3)} + {frac {2} {3}} x ^ {(1)} y ^ {(2)} y ^ {(3)} + {frac {2} {3}} x ^ {(3)} y ^ {(1)} y ^ {(2)} + {frac {2} {3}} x ^ {( 2)} y ^ {(3)} y ^ {(1)}.}$

Matematické detaily a důsledky

Polarizace homogenního polynomu stupně d platí pro všechny komutativní prsten ve kterém d! je jednotka. Zejména drží nad jakýmkoli pole z charakteristická nula nebo jehož charakteristika je přísně větší než d.

Polarizační izomorfismus (podle stupně)

Pro jednoduchost, pojďme k být polem charakteristické nuly a nechat A = k[X] být polynomiální kruh v n proměnné přes k. Pak A je odstupňované podle stupeň, aby

${displaystyle A = igoplus _ {d} A_ {d}.}$

Polarizace algebraických forem pak indukuje izomorfismus vektorových prostorů v každém stupni

${displaystyle A_ {d} cong Sym ^ {d} k ^ {n}}$

kde Sym^d je d-th symetrická síla z n-rozměrný prostor kⁿ.

Tyto izomorfismy lze vyjádřit nezávisle na základě následujícím způsobem. Li PROTI je konečný trojrozměrný vektorový prostor a A je prsten z k-hodnocení polynomiálních funkcí na PROTI, odstupňované homogenním stupněm, pak polarizace poskytuje izomorfismus

${displaystyle A_ {d} cong Sym ^ {d} V ^ {*}.}$

Algebraický izomorfismus

Polarizace je dále kompatibilní s algebraickou strukturou na A, aby

${displaystyle Acong Sym ^ {cdot} V ^ {*}}$

kde Sym^⋅PROTI^∗ je plný symetrická algebra přes PROTI^∗.

Poznámky

• Pro pole pozitivní charakteristika p, výše uvedené izomorfismy platí, pokud jsou odstupňované algebry zkráceny o stupeň p-1.
• Existují zobecnění, když PROTI je nekonečná dimenzionální topologický vektorový prostor.

Reference

• Claudio Procesi (2007) Lie Groups: přístup prostřednictvím invarianty a reprezentacíSpringer, ISBN  9780387260402 .