Tabulka sférických harmonických - Table of spherical harmonics

Tohle je tabulka orthonormalized sférické harmonické které využívají fázi Condon-Shortley až do stupně ${ displaystyle ell}$ = 10. Některé z těchto vzorců dávají „kartézskou“ verzi. To předpokládá X, y, z, a r souvisí s ${ displaystyle theta}$ a ${ displaystyle varphi ,}$ prostřednictvím obvyklé transformace souřadnic ze sférických na kartézské souřadnice:

${ displaystyle { begin {cases} x & = r sin theta cos varphi y & = r sin theta sin varphi z & = r cos theta end {případů}}}$

Sférické harmonické

${ displaystyle ell}$ = 0^[1]

${ displaystyle Y_ {0} ^ {0} ( theta, varphi) = {1 nad 2} { sqrt {1 nad pi}}}$

${ displaystyle ell}$ = 1^[1]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Y_ {1} ^ {- 1} ( theta, varphi) & = && {1 nad 2} { sqrt {3 nad 2 pi}} cdot e ^ {-i varphi} cdot sin theta && = && {1 nad 2} { sqrt {3 nad 2 pi}} cdot {(x-iy) nad r} Y_ {1 } ^ {0} ( theta, varphi) & = && {1 nad 2} { sqrt {3 nad pi}} cdot cos theta && = && {1 nad 2} { sqrt {3 over pi}} cdot {z over r} Y_ {1} ^ {1} ( theta, varphi) & = & - & {1 nad 2} { sqrt {3 nad 2 pi}} cdot e ^ {i varphi} cdot sin theta && = & - & {1 nad 2} { sqrt {3 nad 2 pi}} cdot {(x + iy) nad r} konec {zarovnáno}}}$

${ displaystyle ell}$ = 2^[1]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Y_ {2} ^ {- 2} ( theta, varphi) & = && {1 nad 4} { sqrt {15 nad 2 pi}} cdot e ^ {-2i varphi} cdot sin ^ {2} theta quad && = && {1 nad 4} { sqrt {15 nad 2 pi}} cdot {(x-iy) ^ {2 } nad r ^ {2}} & Y_ {2} ^ {- 1} ( theta, varphi) & = && {1 nad 2} { sqrt {15 nad 2 pi}} cdot e ^ {- i varphi} cdot sin theta cdot cos theta quad && = && {1 nad 2} { sqrt {15 nad 2 pi}} cdot {(x- iy) z nad r ^ {2}} & Y_ {2} ^ {0} ( theta, varphi) & = && {1 nad 4} { sqrt {5 nad pi}} cdot (3 cos ^ {2} theta -1) quad && = && {1 nad 4} { sqrt {5 over pi}} cdot {(2z ^ {2} -x ^ {2 } -y ^ {2}) nad r ^ {2}} & Y_ {2} ^ {1} ( theta, varphi) & = & - & {1 nad 2} { sqrt {15 nad 2 pi}} cdot e ^ {i varphi} cdot sin theta cdot cos theta quad && = & - & {1 nad 2} { sqrt {15 nad 2 pi}} cdot {(x + iy) z nad r ^ {2}} & Y_ {2} ^ {2} ( theta, varphi) & = && {1 nad 4} { sqrt {15 over 2 pi}} cdot e ^ {2i varphi} cdot sin ^ {2} theta quad && = && {1 nad 4} { sqrt {15 nad 2 pi} } cdot {(x + iy) ^ {2} nad r ^ {2}} & end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle ell}$ = 3^[1]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Y_ {3} ^ {- 3} ( theta, varphi) & = && {1 nad 8} { sqrt {35 nad pi}} cdot e ^ { -3i varphi} cdot sin ^ {3} theta quad && = && {1 nad 8} { sqrt {35 nad pi}} cdot {(x-iy) ^ {3} nad r ^ {3}} & Y_ {3} ^ {- 2} ( theta, varphi) & = && {1 nad 4} { sqrt {105 nad 2 pi}} cdot e ^ {- 2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot cos theta quad && = && {1 nad 4} { sqrt {105 nad 2 pi}} cdot {( x-iy) ^ {2} z nad r ^ {3}} & Y_ {3} ^ {- 1} ( theta, varphi) & = && {1 nad 8} { sqrt {21 over pi}} cdot e ^ {- i varphi} cdot sin theta cdot (5 cos ^ {2} theta -1) quad && = && {1 nad 8} { sqrt {21 over pi}} cdot {(x-iy) (5z ^ {2} -r ^ {2}) over r ^ {3}} & Y_ {3} ^ {0} ( theta, varphi) & = && {1 nad 4} { sqrt {7 nad pi}} cdot (5 cos ^ {3} theta -3 cos theta) quad && = && {1 přes 4} { sqrt {7 přes pi}} cdot {z (5z ^ {2} -3r ^ {2}) přes r ^ {3}} & Y_ {3} ^ {1} ( theta, varphi) & = & - & {1 nad 8} { sqrt {21 nad pi}} cdot e ^ {i varphi} cdot sin theta cdot ( 5 cos ^ {2} theta -1) quad && = && {- 1 nad 8} { sqrt {21 ov er pi}} cdot {(x + iy) (5z ^ {2} -r ^ {2}) nad r ^ {3}} & Y_ {3} ^ {2} ( theta, varphi) & = && {1 nad 4} { sqrt {105 nad 2 pi}} cdot e ^ {2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot cos theta quad && = && {1 nad 4} { sqrt {105 nad 2 pi}} cdot {(x + iy) ^ {2} z nad r ^ {3}} & Y_ {3} ^ {3} ( theta, varphi) & = & - & {1 nad 8} { sqrt {35 nad pi}} cdot e ^ {3i varphi} cdot sin ^ {3} theta quad && = && {- 1 nad 8} { sqrt {35 nad pi}} cdot {(x + iy) ^ {3} nad r ^ {3}} & end {zarovnáno} }}$

${ displaystyle ell}$ = 4^[1]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Y_ {4} ^ {- 4} ( theta, varphi) & = {3 nad 16} { sqrt {35 nad 2 pi}} cdot e ^ { -4i varphi} cdot sin ^ {4} theta = { frac {3} {16}} { sqrt { frac {35} {2 pi}}} cdot { frac {(x -iy) ^ {4}} {r ^ {4}}} Y_ {4} ^ {- 3} ( theta, varphi) & = {3 nad 8} { sqrt {35 nad pi}} cdot e ^ {- 3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot cos theta = { frac {3} {8}} { sqrt { frac {35} { pi}}} cdot { frac {(x-iy) ^ {3} z} {r ^ {4}}} Y_ {4} ^ {- 2} ( theta, varphi) & = {3 nad 8} { sqrt {5 nad 2 pi}} cdot e ^ {- 2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot (7 cos ^ {2} theta -1) = { frac {3} {8}} { sqrt { frac {5} {2 pi}}} cdot { frac {(x-iy) ^ {2} cdot (7z ^ {2} -r ^ {2})} {r ^ {4}}} Y_ {4} ^ {- 1} ( theta, varphi) & = {3 nad 8} { sqrt {5 over pi}} cdot e ^ {- i varphi} cdot sin theta cdot (7 cos ^ {3} theta -3 cos theta) = { frac {3} {8 }} { sqrt { frac {5} { pi}}} cdot { frac {(x-iy) cdot z cdot (7z ^ {2} -3r ^ {2})} {r ^ {4}}} Y_ {4} ^ {0} ( theta, varphi) & = {3 přes 16} { sqrt {1 přes pi}} cdot (35 cos ^ {4 } theta -30 cos ^ {2} theta +3) = { frac {3} {16}} { sqrt { frac {1} { pi}}} cdot { frac {(35z ^ {4} -30z ^ {2} r ^ {2} + 3r ^ {4})} {r ^ {4}}} Y_ {4} ^ {1} ( theta, varphi) & = {- 3 nad 8} { sqrt {5 nad pi} } cdot e ^ {i varphi} cdot sin theta cdot (7 cos ^ {3} theta -3 cos theta) = { frac {-3} {8}} { sqrt { frac {5} { pi}}} cdot { frac {(x + iy) cdot z cdot (7z ^ {2} -3r ^ {2})} {r ^ {4}}} Y_ {4} ^ {2} ( theta, varphi) & = {3 nad 8} { sqrt {5 nad 2 pi}} cdot e ^ {2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot (7 cos ^ {2} theta -1) = { frac {3} {8}} { sqrt { frac {5} {2 pi}}} cdot { frac {(x + iy) ^ {2} cdot (7z ^ {2} -r ^ {2})} {r ^ {4}}} Y_ {4} ^ {3} ( theta , varphi) & = {- 3 nad 8} { sqrt {35 nad pi}} cdot e ^ {3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot cos theta = { frac {-3} {8}} { sqrt { frac {35} { pi}}} cdot { frac {(x + iy) ^ {3} z} {r ^ {4}} } Y_ {4} ^ {4} ( theta, varphi) & = {3 nad 16} { sqrt {35 nad 2 pi}} cdot e ^ {4i varphi} cdot sin ^ {4} theta = { frac {3} {16}} { sqrt { frac {35} {2 pi}}} cdot { frac {(x + iy) ^ {4}} {r ^ {4}}} end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle ell}$ = 5^[1]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Y_ {5} ^ {- 5} ( theta, varphi) & = {3 nad 32} { sqrt {77 over pi}} cdot e ^ {- 5i varphi} cdot sin ^ {5} theta Y_ {5} ^ {- 4} ( theta, varphi) & = {3 nad 16} { sqrt {385 nad 2 pi }} cdot e ^ {- 4i varphi} cdot sin ^ {4} theta cdot cos theta Y_ {5} ^ {- 3} ( theta, varphi) & = {1 přes 32} { sqrt {385 přes pi}} cdot e ^ {- 3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot (9 cos ^ {2} theta -1) Y_ {5} ^ {- 2} ( theta, varphi) & = {1 nad 8} { sqrt {1155 nad 2 pi}} cdot e ^ {- 2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot (3 cos ^ {3} theta - cos theta) Y_ {5} ^ {- 1} ( theta, varphi) & = {1 nad 16} { sqrt {165 over 2 pi}} cdot e ^ {- i varphi} cdot sin theta cdot (21 cos ^ {4} theta -14 cos ^ {2} theta +1) Y_ {5} ^ {0} ( theta, varphi) & = {1 přes 16} { sqrt {11 přes pi}} cdot (63 cos ^ {5 } theta -70 cos ^ {3} theta +15 cos theta) Y_ {5} ^ {1} ( theta, varphi) & = {- 1 nad 16} { sqrt { 165 přes 2 pi}} cdot e ^ {i varphi} cdot sin theta cdot (21 cos ^ {4} theta -14 cos ^ {2} theta +1) Y_ {5} ^ {2 } ( theta, varphi) & = {1 nad 8} { sqrt {1155 nad 2 pi}} cdot e ^ {2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot ( 3 cos ^ {3} theta - cos theta) Y_ {5} ^ {3} ( theta, varphi) & = {- 1 přes 32} { sqrt {385 přes pi }} cdot e ^ {3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot (9 cos ^ {2} theta -1) Y_ {5} ^ {4} ( theta, varphi) & = {3 nad 16} { sqrt {385 nad 2 pi}} cdot e ^ {4i varphi} cdot sin ^ {4} theta cdot cos theta Y_ {5} ^ {5} ( theta, varphi) & = {- 3 přes 32} { sqrt {77 přes pi}} cdot e ^ {5i varphi} cdot sin ^ { 5} theta end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle ell}$ = 6

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Y_ {6} ^ {- 6} ( theta, varphi) & = {1 nad 64} { sqrt {3003 over pi}} cdot e ^ {- 6i varphi} cdot sin ^ {6} theta Y_ {6} ^ {- 5} ( theta, varphi) & = {3 přes 32} { sqrt {1001 přes pi} } cdot e ^ {- 5i varphi} cdot sin ^ {5} theta cdot cos theta Y_ {6} ^ {- 4} ( theta, varphi) & = {3 nad 32} { sqrt {91 nad 2 pi}} cdot e ^ {- 4i varphi} cdot sin ^ {4} theta cdot (11 cos ^ {2} theta -1) Y_ {6} ^ {- 3} ( theta, varphi) & = {1 přes 32} { sqrt {1365 přes pi}} cdot e ^ {- 3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot (11 cos ^ {3} theta -3 cos theta) Y_ {6} ^ {- 2} ( theta, varphi) & = {1 nad 64} { sqrt {1365 over pi}} cdot e ^ {- 2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot (33 cos ^ {4} theta -18 cos ^ {2} theta +1) Y_ {6} ^ {- 1} ( theta, varphi) & = {1 nad 16} { sqrt {273 nad 2 pi}} cdot e ^ {-i varphi} cdot sin theta cdot (33 cos ^ {5} theta -30 cos ^ {3} theta +5 cos theta) Y_ {6} ^ {0 } ( theta, varphi) & = {1 nad 32} { sqrt {13 nad pi}} cdot (231 cos ^ {6} theta -315 cos ^ {4} theta + 105 cos ^ {2} theta -5) Y_ {6} ^ {1} ( theta, varphi) & = - {1 nad 16} { sqrt {273 nad 2 pi}} cdot e ^ {i varphi} cdot sin theta cdot (33 cos ^ {5} theta -30 cos ^ {3} theta +5 cos theta) Y_ {6} ^ {2} ( theta, varphi) & = {1 přes 64} { sqrt {1365 přes pi}} cdot e ^ {2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot (33 cos ^ {4} theta -18 cos ^ {2} theta +1) Y_ {6} ^ {3} ( theta, varphi) & = - {1 přes 32} { sqrt {1365 over pi}} cdot e ^ {3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot (11 cos ^ {3} theta -3 cos theta) Y_ {6} ^ {4} ( theta, varphi) & = {3 nad 32} { sqrt {91 nad 2 pi}} cdot e ^ {4i varphi} cdot sin ^ {4} theta cdot (11 cos ^ {2} theta -1) Y_ {6} ^ {5} ( theta, varphi) & = - {3 přes 32} { sqrt { 1001 over pi}} cdot e ^ {5i varphi} cdot sin ^ {5} theta cdot cos theta Y_ {6} ^ {6} ( theta, varphi) & = {1 přes 64} { sqrt {3003 přes pi}} cdot e ^ {6i varphi} cdot sin ^ {6} theta end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle ell}$ = 7

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Y_ {7} ^ {- 7} ( theta, varphi) & = {3 přes 64} { sqrt {715 přes 2 pi}} cdot e ^ { -7i varphi} cdot sin ^ {7} theta Y_ {7} ^ {- 6} ( theta, varphi) & = {3 přes 64} { sqrt {5005 přes pi }} cdot e ^ {- 6i varphi} cdot sin ^ {6} theta cdot cos theta Y_ {7} ^ {- 5} ( theta, varphi) & = {3 přes 64} { sqrt {385 přes 2 pi}} cdot e ^ {- 5i varphi} cdot sin ^ {5} theta cdot (13 cos ^ {2} theta -1 ) Y_ {7} ^ {- 4} ( theta, varphi) & = {3 nad 32} { sqrt {385 nad 2 pi}} cdot e ^ {- 4i varphi} cdot sin ^ {4} theta cdot (13 cos ^ {3} theta -3 cos theta) Y_ {7} ^ {- 3} ( theta, varphi) & = {3 přes 64} { sqrt {35 nad 2 pi}} cdot e ^ {- 3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot (143 cos ^ {4} theta -66 cos ^ {2} theta +3) Y_ {7} ^ {- 2} ( theta, varphi) & = {3 přes 64} { sqrt {35 přes pi}} cdot e ^ {- 2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot (143 cos ^ {5} theta -110 cos ^ {3} theta +15 cos theta) Y_ {7} ^ {- 1} ( theta, varphi) & = {1 nad 64} { sqrt {105 nad 2 pi}} cdot e ^ {- i varphi} cdot sin theta cdot (429 cos ^ {6} theta -495 cos ^ {4} theta +135 cos ^ {2} theta -5) Y_ {7} ^ {0} ( theta, varphi) & = {1 nad 32} { sqrt {15 nad pi}} cdot (429 cos ^ {7} theta -693 cos ^ {5} theta +315 cos ^ {3 } theta -35 cos theta) Y_ {7} ^ {1} ( theta, varphi) & = - {1 nad 64} { sqrt {105 nad 2 pi}} cdot e ^ {i varphi} cdot sin theta cdot (429 cos ^ {6} theta -495 cos ^ {4} theta +135 cos ^ {2} theta -5) Y_ {7} ^ {2} ( theta, varphi) & = {3 přes 64} { sqrt {35 přes pi}} cdot e ^ {2i varphi} cdot sin ^ {2 } theta cdot (143 cos ^ {5} theta -110 cos ^ {3} theta +15 cos theta) Y_ {7} ^ {3} ( theta, varphi) & = - {3 přes 64} { sqrt {35 přes 2 pi}} cdot e ^ {3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot (143 cos ^ {4} theta -66 cos ^ {2} theta +3) Y_ {7} ^ {4} ( theta, varphi) & = {3 nad 32} { sqrt {385 nad 2 pi} } cdot e ^ {4i varphi} cdot sin ^ {4} theta cdot (13 cos ^ {3} theta -3 cos theta) Y_ {7} ^ {5} ( theta, varphi) & = - {3 nad 64} { sqrt {385 nad 2 pi}} cdot e ^ {5i varphi} cdot sin ^ {5} theta cdot (13 cos ^ {2} theta -1) Y_ {7} ^ {6} ( theta, varphi) & = {3 přes 64} { sqrt {5005 přes pi}} cdot e ^ {6i varphi} cdot sin ^ {6} theta cdot cos theta Y_ {7} ^ {7} ( theta, varphi) & = - {3 nad 64} { sqrt {715 nad 2 pi}} cdot e ^ {7i varphi} cdot sin ^ {7} theta end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle ell}$ = 8

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Y_ {8} ^ {- 8} ( theta, varphi) & = {3 přes 256} { sqrt {12155 přes 2 pi}} cdot e ^ { -8i varphi} cdot sin ^ {8} theta Y_ {8} ^ {- 7} ( theta, varphi) & = {3 přes 64} { sqrt {12155 přes 2 pi}} cdot e ^ {- 7i varphi} cdot sin ^ {7} theta cdot cos theta Y_ {8} ^ {- 6} ( theta, varphi) & = { 1 přes 128} { sqrt {7293 přes pi}} cdot e ^ {- 6i varphi} cdot sin ^ {6} theta cdot (15 cos ^ {2} theta -1 ) Y_ {8} ^ {- 5} ( theta, varphi) & = {3 nad 64} { sqrt {17017 nad 2 pi}} cdot e ^ {- 5i varphi} cdot sin ^ {5} theta cdot (5 cos ^ {3} theta - cos theta) Y_ {8} ^ {- 4} ( theta, varphi) & = {3 přes 128} { sqrt {1309 přes 2 pi}} cdot e ^ {- 4i varphi} cdot sin ^ {4} theta cdot (65 cos ^ {4} theta -26 cos ^ {2} theta +1) Y_ {8} ^ {- 3} ( theta, varphi) & = {1 nad 64} { sqrt {19635 nad 2 pi}} cdot e ^ {- 3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot (39 cos ^ {5} theta -26 cos ^ {3} theta +3 cos theta) Y_ {8} ^ {- 2} ( theta, varphi) & = {3 přes 128} { sqrt {595 přes pi}} cdot e ^ {- 2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot (143 cos ^ {6} theta -143 cos ^ {4} theta +33 cos ^ {2} theta -1) Y_ {8} ^ { -1} ( theta, varphi) & = {3 nad 64} { sqrt {17 nad 2 pi}} cdot e ^ {- i varphi} cdot sin theta cdot (715 cos ^ {7} theta -1001 cos ^ {5} theta +385 cos ^ {3} theta -35 cos theta) Y_ {8} ^ {0} ( theta, varphi) & = {1 přes 256} { sqrt {17 přes pi}} cdot (6435 cos ^ {8} theta -12012 cos ^ {6} theta +6930 cos ^ {4 } theta -1260 cos ^ {2} theta +35) Y_ {8} ^ {1} ( theta, varphi) & = {- 3 nad 64} { sqrt {17 nad 2 pi}} cdot e ^ {i varphi} cdot sin theta cdot (715 cos ^ {7} theta -1001 cos ^ {5} theta +385 cos ^ {3} theta -35 cos theta) Y_ {8} ^ {2} ( theta, varphi) & = {3 přes 128} { sqrt {595 přes pi}} cdot e ^ {2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot (143 cos ^ {6} theta -143 cos ^ {4} theta +33 cos ^ {2} theta -1) Y_ {8} ^ {3} ( theta, varphi) & = {- 1 nad 64} { sqrt {19635 nad 2 pi}} cdot e ^ {3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot (39 cos ^ {5} theta -26 cos ^ {3} theta +3 cos theta) Y_ {8} ^ {4} ( theta, varphi) & = {3 přes 128} { sqrt {1309 přes 2 pi}} cdot e ^ {4i varphi} cdot sin ^ {4} theta cdot (65 cos ^ {4} theta -26 cos ^ {2} theta +1) Y_ {8} ^ {5} ( theta, varphi) & = {- 3 nad 64} { sqrt {17017 nad 2 pi}} cdot e ^ {5i varphi} cdot sin ^ {5} theta cdot (5 cos ^ {3} theta - cos theta) Y_ {8} ^ {6} ( theta, varphi) & = {1 přes 128} { sqrt {7293 přes pi}} cdot e ^ {6i varphi} cdot sin ^ {6} theta cdot (15 cos ^ {2} theta -1) Y_ {8} ^ {7} ( theta, varphi) & = {- 3 nad 64} { sqrt {12155 nad 2 pi}} cdot e ^ {7i varphi} cdot sin ^ {7} theta cdot cos theta Y_ {8} ^ {8} ( theta, varphi) & = {3 přes 256} { sqrt {12155 přes 2 pi}} cdot e ^ {8i varphi} cdot sin ^ {8} theta end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle ell}$ = 9

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Y_ {9} ^ {- 9} ( theta, varphi) & = {1 nad 512} { sqrt {230945 over pi}} cdot e ^ {- 9i varphi} cdot sin ^ {9} theta Y_ {9} ^ {- 8} ( theta, varphi) & = {3 přes 256} { sqrt {230945 přes 2 pi }} cdot e ^ {- 8i varphi} cdot sin ^ {8} theta cdot cos theta Y_ {9} ^ {- 7} ( theta, varphi) & = {3 přes 512} { sqrt {13585 přes pi}} cdot e ^ {- 7i varphi} cdot sin ^ {7} theta cdot (17 cos ^ {2} theta -1) Y_ {9} ^ {- 6} ( theta, varphi) & = {1 nad 128} { sqrt {40755 over pi}} cdot e ^ {- 6i varphi} cdot sin ^ {6} theta cdot (17 cos ^ {3} theta -3 cos theta) Y_ {9} ^ {- 5} ( theta, varphi) & = {3 nad 256} { sqrt {2717 over pi}} cdot e ^ {- 5i varphi} cdot sin ^ {5} theta cdot (85 cos ^ {4} theta -30 cos ^ {2} theta +1) Y_ {9} ^ {- 4} ( theta, varphi) & = {3 přes 128} { sqrt {95095 přes 2 pi}} cdot e ^ {-4i varphi} cdot sin ^ {4} theta cdot (17 cos ^ {5} theta -10 cos ^ {3} theta + cos theta) Y_ {9} ^ {- 3} ( theta, varphi) & = {1 přes 256} { sqrt {21945 přes pi}} cdot e ^ {- 3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot (221 cos ^ {6} theta -195 cos ^ {4} theta +39 cos ^ {2} theta -1) Y_ {9} ^ {- 2} ( theta, varphi) & = {3 přes 128} { sqrt {1045 přes pi}} cdot e ^ {- 2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot (221 cos ^ {7} theta -273 cos ^ {5} theta +91 cos ^ {3} theta -7 cos theta) Y_ {9} ^ {- 1 } ( theta, varphi) & = {3 přes 256} { sqrt {95 přes 2 pi}} cdot e ^ {- i varphi} cdot sin theta cdot (2431 cos ^ {8} theta -4004 cos ^ {6} theta +2002 cos ^ {4} theta -308 cos ^ {2} theta +7) Y_ {9} ^ {0} ( theta, varphi) & = {1 přes 256} { sqrt {19 přes pi}} cdot (12155 cos ^ {9} theta -25740 cos ^ {7} theta +18018 cos ^ {5} theta -4620 cos ^ {3} theta +315 cos theta) Y_ {9} ^ {1} ( theta, varphi) & = {- 3 přes 256} { sqrt {95 over 2 pi}} cdot e ^ {i varphi} cdot sin theta cdot (2431 cos ^ {8} theta -4004 cos ^ {6} theta + 2002 cos ^ {4} theta -308 cos ^ {2} theta +7) Y_ {9} ^ {2} ( theta, varphi) & = {3 přes 128} { sqrt {1045 over pi}} cdot e ^ {2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot (221 cos ^ {7} theta -273 co s ^ {5} theta +91 cos ^ {3} theta -7 cos theta) Y_ {9} ^ {3} ( theta, varphi) & = {- 1 přes 256} { sqrt {21945 over pi}} cdot e ^ {3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot (221 cos ^ {6} theta -195 cos ^ {4} theta +39 cos ^ {2} theta -1) Y_ {9} ^ {4} ( theta, varphi) & = {3 přes 128} { sqrt {95095 přes 2 pi }} cdot e ^ {4i varphi} cdot sin ^ {4} theta cdot (17 cos ^ {5} theta -10 cos ^ {3} theta + cos theta) Y_ {9} ^ {5} ( theta, varphi) & = {- 3 přes 256} { sqrt {2717 přes pi}} cdot e ^ {5i varphi} cdot sin ^ {5} theta cdot (85 cos ^ {4} theta -30 cos ^ {2} theta +1) Y_ {9} ^ {6} ( theta, varphi) & = { 1 přes 128} { sqrt {40755 přes pi}} cdot e ^ {6i varphi} cdot sin ^ {6} theta cdot (17 cos ^ {3} theta -3 cos theta) Y_ {9} ^ {7} ( theta, varphi) & = {- 3 nad 512} { sqrt {13585 over pi}} cdot e ^ {7i varphi} cdot sin ^ {7} theta cdot (17 cos ^ {2} theta -1) Y_ {9} ^ {8} ( theta, varphi) & = {3 přes 256} { sqrt {230945 přes 2 pi}} cdot e ^ {8i varphi} cdot sin ^ {8} theta cdot cos theta Y_ {9} ^ {9} ( thet a, varphi) & = {- 1 nad 512} { sqrt {230945 nad pi}} cdot e ^ {9i varphi} cdot sin ^ {9} theta end {zarovnáno}} }$

${ displaystyle ell}$ = 10

${ displaystyle { begin {aligned} Y_ {10} ^ {- 10} ( theta, varphi) & = {1 nad 1024} { sqrt {969969 over pi}} cdot e ^ {- 10i varphi} cdot sin ^ {10} theta Y_ {10} ^ {- 9} ( theta, varphi) & = {1 přes 512} { sqrt {4849845 přes pi} } cdot e ^ {- 9i varphi} cdot sin ^ {9} theta cdot cos theta Y_ {10} ^ {- 8} ( theta, varphi) & = {1 přes 512} { sqrt {255255 přes 2 pi}} cdot e ^ {- 8i varphi} cdot sin ^ {8} theta cdot (19 cos ^ {2} theta -1) Y_ {10} ^ {- 7} ( theta, varphi) & = {3 nad 512} { sqrt {85085 over pi}} cdot e ^ {- 7i varphi} cdot sin ^ {7} theta cdot (19 cos ^ {3} theta -3 cos theta) Y_ {10} ^ {- 6} ( theta, varphi) & = {3 nad 1024} { sqrt {5005 over pi}} cdot e ^ {- 6i varphi} cdot sin ^ {6} theta cdot (323 cos ^ {4} theta -102 cos ^ {2} theta +3) Y_ {10} ^ {- 5} ( theta, varphi) & = {3 přes 256} { sqrt {1001 přes pi}} cdot e ^ { -5i varphi} cdot sin ^ {5} theta cdot (323 cos ^ {5} theta -170 cos ^ {3} theta +15 cos theta) Y_ {10} ^ {- 4} ( theta, varphi) & = {3 přes 256} { sqrt {5005 přes 2 pi}} cdo te ^ {- 4i varphi} cdot sin ^ {4} theta cdot (323 cos ^ {6} theta -255 cos ^ {4} theta +45 cos ^ {2} theta -1) Y_ {10} ^ {- 3} ( theta, varphi) & = {3 přes 256} { sqrt {5005 přes pi}} cdot e ^ {- 3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot (323 cos ^ {7} theta -357 cos ^ {5} theta +105 cos ^ {3} theta -7 cos theta) Y_ {10} ^ {- 2} ( theta, varphi) & = {3 nad 512} { sqrt {385 nad 2 pi}} cdot e ^ {- 2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot (4199 cos ^ {8} theta -6188 cos ^ {6} theta +2730 cos ^ {4} theta -364 cos ^ {2} theta + 7) Y_ {10} ^ {- 1} ( theta, varphi) & = {1 přes 256} { sqrt {1155 přes 2 pi}} cdot e ^ {- i varphi} cdot sin theta cdot (4199 cos ^ {9} theta -7956 cos ^ {7} theta +4914 cos ^ {5} theta -1092 cos ^ {3} theta +63 cos theta) Y_ {10} ^ {0} ( theta, varphi) & = {1 nad 512} { sqrt {21 over pi}} cdot (46189 cos ^ {10 } theta -109395 cos ^ {8} theta +90090 cos ^ {6} theta -30030 cos ^ {4} theta +3465 cos ^ {2} theta -63) Y_ { 10} ^ {1} ( theta, varphi) & = {- 1 přes 256} { sqrt {1155 přes 2 pi}} cdot e ^ {i varp ahoj} cdot sin theta cdot (4199 cos ^ {9} theta -7956 cos ^ {7} theta +4914 cos ^ {5} theta -1092 cos ^ {3} theta +63 cos theta) Y_ {10} ^ {2} ( theta, varphi) & = {3 nad 512} { sqrt {385 nad 2 pi}} cdot e ^ {2i varphi} cdot sin ^ {2} theta cdot (4199 cos ^ {8} theta -6188 cos ^ {6} theta +2730 cos ^ {4} theta -364 cos ^ {2} theta +7) Y_ {10} ^ {3} ( theta, varphi) & = {- 3 přes 256} { sqrt {5005 přes pi}} cdot e ^ { 3i varphi} cdot sin ^ {3} theta cdot (323 cos ^ {7} theta -357 cos ^ {5} theta +105 cos ^ {3} theta -7 cos theta) Y_ {10} ^ {4} ( theta, varphi) & = {3 přes 256} { sqrt {5005 přes 2 pi}} cdot e ^ {4i varphi} cdot sin ^ {4} theta cdot (323 cos ^ {6} theta -255 cos ^ {4} theta +45 cos ^ {2} theta -1) Y_ {10} ^ {5} ( theta, varphi) & = {- 3 přes 256} { sqrt {1001 přes pi}} cdot e ^ {5i varphi} cdot sin ^ {5} theta cdot (323 cos ^ {5} theta -170 cos ^ {3} theta +15 cos theta) Y_ {10} ^ {6} ( theta, varphi) & = {3 přes 1024} { sqrt {5005 přes pi}} cdot e ^ {6i varphi} cdot sin ^ {6} theta cdot (323 cos ^ {4} theta -102 cos ^ {2} theta +3) Y_ {10} ^ {7} ( theta, varphi) & = {- 3 nad 512} { sqrt {85085 over pi}} cdot e ^ {7i varphi} cdot sin ^ {7} theta cdot (19 cos ^ {3} theta -3 cos theta) Y_ {10} ^ {8} ( theta, varphi) & = {1 nad 512} { sqrt {255255 nad 2 pi}} cdot e ^ {8i varphi} cdot sin ^ { 8} theta cdot (19 cos ^ {2} theta -1) Y_ {10} ^ {9} ( theta, varphi) & = {- 1 nad 512} { sqrt {4849845 over pi}} cdot e ^ {9i varphi} cdot sin ^ {9} theta cdot cos theta Y_ {10} ^ {10} ( theta, varphi) & = {1 přes 1024} { sqrt {969969 přes pi}} cdot e ^ {10i varphi} cdot sin ^ {10} theta end {zarovnáno}}}$

Skutečné sférické harmonické

Pro každou skutečnou sférickou harmonickou odpovídající atomový orbitální symbol (s, p, d, F, G).

${ displaystyle ell}$ = 0^[2][3]

${ displaystyle { begin {aligned} Y_ {00} & = s = Y_ {0} ^ {0} = { frac {1} {2}} { sqrt { frac {1} { pi}} } end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle ell}$ = 1^[2][3]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Y_ {1, -1} & = p_ {y} = i { sqrt { frac {1} {2}}} vlevo (Y_ {1} ^ {- 1} + Y_ {1} ^ {1} right) = { sqrt { frac {3} {4 pi}}} cdot { frac {y} {r}} Y_ {1,0} & = p_ {z} = Y_ {1} ^ {0} = { sqrt { frac {3} {4 pi}}} cdot { frac {z} {r}} Y_ {1,1 } & = p_ {x} = { sqrt { frac {1} {2}}} left (Y_ {1} ^ {- 1} -Y_ {1} ^ {1} right) = { sqrt { frac {3} {4 pi}}} cdot { frac {x} {r}} end {zarovnáno}}}$