Přidružené legendární polynomy - Associated Legendre polynomials

v matematika, související legendární polynomy jsou kanonická řešení obecná Legendreova rovnice

${ displaystyle (1-x ^ {2}) { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} P _ { ell} ^ {m} (x) -2x { frac {d} {dx}} P _ { ell} ^ {m} (x) + left [ ell ( ell +1) - { frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2}}} vpravo] P _ { ell} ^ {m} (x) = 0}$,

nebo ekvivalentně

${ displaystyle { frac {d} {dx}} vlevo [(1-x ^ {2}) { frac {d} {dx}} P _ { ell} ^ {m} (x) vpravo] + left [ ell ( ell +1) - { frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2}}} right] P _ { ell} ^ {m} (x) = 0 }$,

kde indexy ℓ a m (což jsou celá čísla) se označují jako stupeň a pořadí přidruženého Legendrova polynomu. Tato rovnice má nenulová řešení, která jsou nesingulární na [−1, 1], pouze pokud ℓ a m jsou celá čísla s 0 ≤ m ≤ ℓ nebo s triviálně ekvivalentními zápornými hodnotami. Když navíc m je sudé, funkce je a polynomiální. Když m je nula a celé číslo,, tyto funkce jsou identické s Legendární polynomy. Obecně platí, že když ℓ a m jsou celá čísla, běžná řešení se někdy nazývají „přidružené Legendrovy polynomy“, i když tomu tak není polynomy když m je zvláštní. Plně obecná třída funkcí s libovolnými reálnými nebo komplexními hodnotami ℓ a m jsou Legendární funkce. V takovém případě jsou parametry obvykle označeny řeckými písmeny.

The Legendre obyčejná diferenciální rovnice se často vyskytuje v fyzika a další technické obory. Zejména k tomu dochází při řešení Laplaceova rovnice (a související parciální diferenciální rovnice ) v sférické souřadnice. Přidružené Legendrovy polynomy hrají při definici zásadní roli sférické harmonické.

Definice nezáporných celočíselných parametrů ℓ a m

Tyto funkce jsou označeny ${ displaystyle P _ { ell} ^ {m} (x)}$, kde horní index označuje pořadí, a nikoli sílu P. Jejich nejpřímější definice je v derivátech obyčejných Legendární polynomy (m ≥ 0)

${ displaystyle P _ { ell} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} { frac {d ^ {m}} { dx ^ {m}}} vlevo (P _ { ell} (x) vpravo)}$,

The (-1)^m faktor v tomto vzorci je známý jako Condon – Shortleyova fáze. Někteří autoři to vynechávají. Funkce popsané v této rovnici splňují obecnou Legendrovu diferenciální rovnici s uvedenými hodnotami parametrů ℓ a m následuje diferenciace m krát Legendrova rovnice pro P_ℓ:^[1]

${ displaystyle (1-x ^ {2}) { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} P _ { ell} (x) -2x { frac {d} {dx}} P _ { ell} (x) + ell ( ell +1) P _ { ell} (x) = 0.}$

Navíc, protože Rodriguesův vzorec,

${ displaystyle P _ { ell} (x) = { frac {1} {2 ^ { ell} , ell!}} { frac {d ^ { ell}} {dx ^ { ell }}} left [(x ^ {2} -1) ^ { ell} right],}$

the P^m
_ℓ lze vyjádřit ve formě

${ displaystyle P _ { ell} ^ {m} (x) = { frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ { ell} ell!}} (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} { frac {d ^ { ell + m}} {dx ^ { ell + m}}} ​​(x ^ {2} -1) ^ { ell}.}$

Tato rovnice umožňuje rozšíření rozsahu m do: −ℓ ≤ m ≤ ℓ. Definice P_ℓ^±m, vyplývající z tohoto výrazu substitucí ±m, jsou proporcionální. Opravdu vyrovnejte koeficienty stejné síly na levé a pravé straně

${ displaystyle { frac {d ^ { ell -m}} {dx ^ { ell -m}}} (x ^ {2} -1) ^ { ell} = c_ {lm} (1-x ^ {2}) ^ {m} { frac {d ^ { ell + m}} {dx ^ { ell + m}}} ​​(x ^ {2} -1) ^ { ell},}$

z toho vyplývá, že konstanta proporcionality je

${ displaystyle c_ {lm} = (- 1) ^ {m} { frac {( ell -m)!} {( ell + m)!}},}$

aby

${ displaystyle P _ { ell} ^ {- m} (x) = (- 1) ^ {m} { frac {( ell -m)!} {( ell + m)!}} P _ { ell} ^ {m} (x).}$

Alternativní notace

V literatuře se také používají následující alternativní notace:^[2]

${ displaystyle P _ { ell m} (x) = (- 1) ^ {m} P _ { ell} ^ {m} (x)}$

Uzavřená forma

Associated Legendre Polynomial lze také psát jako:

${ displaystyle P_ {l} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} cdot 2 ^ {l} cdot (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} cdot součet _ {k = m} ^ {l} { frac {k!} {(km)!}} cdot x ^ {km} cdot { binom {l} {k}} { binom { frac {l + k-1} {2}} {l}}}$

s jednoduchými monomials a zobecněná forma binomického koeficientu.

Ortogonalita

Přidružené Legendrovy polynomy nejsou obecně vzájemně ortogonální. Například, ${ displaystyle P_ {1} ^ {1}}$ není kolmý na ${ displaystyle P_ {2} ^ {2}}$. Některé podmnožiny jsou však ortogonální. Za předpokladu 0 ≤m ≤ ℓ, splňují podmínku ortogonality pro pevné m:

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} P_ {k} ^ {m} P _ { ell} ^ {m} dx = { frac {2 ( ell + m)!} {(2 ell +1) ( ell -m)!}} delta _ {k, ell}}$

Kde δ_{k, ℓ} je Kroneckerova delta.

Také splňují podmínku ortogonality pro fixní ℓ:

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { frac {P _ { ell} ^ {m} P _ { ell} ^ {n}} {1-x ^ {2}}} dx = { begin {cases} 0 & { mbox {if}} m neq n { frac {( ell + m)!} {m ( ell -m)!}} & { mbox {if}} m = n neq 0 infty & { mbox {if}} m = n = 0 end {cases}}}$

Negativní m a / nebo negativní ℓ

Diferenciální rovnice je při změně znaménka jasně neměnná m.

Funkce pro negativní m výše se ukázalo, že jsou úměrné těm pozitivním m:

${ displaystyle P _ { ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} { frac {( ell -m)!} {( ell + m)!}} P _ { ell} ^ {m}}$

(Vyplývalo to z Rodriguesovy definice vzorce. Tato definice také umožňuje, aby různé vzorce opakování fungovaly jako pozitivní nebo negativní m.)

${ displaystyle { textrm {If}} quad { mid} m { mid}> ell , quad mathrm {then} quad P _ { ell} ^ {m} = 0. ,}$

Diferenciální rovnice je také neměnná při změně z ℓ na − ℓ - 1 a funkce pro záporné ℓ jsou definovány

${ displaystyle P _ {- ell} ^ {m} = P _ { ell -1} ^ {m}, ( ell = 1, , 2, , ...)}$.

Parita

Z jejich definice lze ověřit, že funkce Associated Legendre jsou sudé nebo liché podle

${ displaystyle P _ { ell} ^ {m} (- x) = (- 1) ^ { ell + m} P _ { ell} ^ {m} (x)}$

Prvních pár přidružených funkcí Legendre

Přidružené funkce Legendre pro m = 0

Přidružené funkce Legendre pro m = 1

Přidružené funkce Legendre pro m = 2

Prvních pár přidružených funkcí Legendre, včetně těch pro záporné hodnoty m, jsou:

${ displaystyle P_ {0} ^ {0} (x) = 1}$

${ displaystyle P_ {1} ^ {- 1} (x) = - { begin {matrix} { frac {1} {2}} end {matrix}} P_ {1} ^ {1} (x) }$

${ displaystyle P_ {1} ^ {0} (x) = x}$

${ displaystyle P_ {1} ^ {1} (x) = - (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}$

${ displaystyle P_ {2} ^ {- 2} (x) = { begin {matrix} { frac {1} {24}} end {matrix}} P_ {2} ^ {2} (x)}$

${ displaystyle P_ {2} ^ {- 1} (x) = - { begin {matrix} { frac {1} {6}} end {matrix}} P_ {2} ^ {1} (x) }$

${ displaystyle P_ {2} ^ {0} (x) = { begin {matrix} { frac {1} {2}} end {matrix}} (3x ^ {2} -1)}$

${ displaystyle P_ {2} ^ {1} (x) = - 3x (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}$

${ displaystyle P_ {2} ^ {2} (x) = 3 (1-x ^ {2})}$

${ displaystyle P_ {3} ^ {- 3} (x) = - { begin {matrix} { frac {1} {720}} end {matrix}} P_ {3} ^ {3} (x) }$

${ displaystyle P_ {3} ^ {- 2} (x) = { begin {matrix} { frac {1} {120}} end {matrix}} P_ {3} ^ {2} (x)}$

${ displaystyle P_ {3} ^ {- 1} (x) = - { begin {matrix} { frac {1} {12}} end {matrix}} P_ {3} ^ {1} (x) }$

${ displaystyle P_ {3} ^ {0} (x) = { begin {matrix} { frac {1} {2}} end {matrix}} (5x ^ {3} -3x)}$

${ displaystyle P_ {3} ^ {1} (x) = - { begin {matrix} { frac {3} {2}} end {matrix}} (5x ^ {2} -1) (1- x ^ {2}) ^ {1/2}}$

${ displaystyle P_ {3} ^ {2} (x) = 15x (1-x ^ {2})}$

${ displaystyle P_ {3} ^ {3} (x) = - 15 (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}$

${ displaystyle P_ {4} ^ {- 4} (x) = { begin {matrix} { frac {1} {40320}} end {matrix}} P_ {4} ^ {4} (x)}$

${ displaystyle P_ {4} ^ {- 3} (x) = - { begin {matrix} { frac {1} {5040}} end {matrix}} P_ {4} ^ {3} (x) }$

${ displaystyle P_ {4} ^ {- 2} (x) = { begin {matrix} { frac {1} {360}} end {matrix}} P_ {4} ^ {2} (x)}$

${ displaystyle P_ {4} ^ {- 1} (x) = - { begin {matrix} { frac {1} {20}} end {matrix}} P_ {4} ^ {1} (x) }$

${ displaystyle P_ {4} ^ {0} (x) = { begin {matrix} { frac {1} {8}} end {matrix}} (35x ^ {4} -30x ^ {2} + 3)}$

${ displaystyle P_ {4} ^ {1} (x) = - { begin {matrix} { frac {5} {2}} end {matrix}} (7x ^ {3} -3x) (1- x ^ {2}) ^ {1/2}}$

${ displaystyle P_ {4} ^ {2} (x) = { begin {matrix} { frac {15} {2}} end {matrix}} (7x ^ {2} -1) (1-x ^ {2})}$

${ displaystyle P_ {4} ^ {3} (x) = - 105x (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}$

${ displaystyle P_ {4} ^ {4} (x) = 105 (1-x ^ {2}) ^ {2}}$

Vzorec opakování

Tyto funkce mají řadu vlastností opakování:

${ displaystyle ( ell -m + 1) P _ { ell +1} ^ {m} (x) = (2 ell +1) xP _ { ell} ^ {m} (x) - ( ell + m) P _ { ell -1} ^ {m} (x)}$

${ displaystyle 2mxP _ { ell} ^ {m} (x) = - { sqrt {1-x ^ {2}}} vlevo [P _ { ell} ^ {m + 1} (x) + ( ell + m) ( ell -m + 1) P _ { ell} ^ {m-1} (x) right]}$

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {1-x ^ {2}}}} P _ { ell} ^ {m} (x) = { frac {-1} {2m}} vlevo [ P _ { ell -1} ^ {m + 1} (x) + ( ell + m-1) ( ell + m) P _ { ell -1} ^ {m-1} (x) vpravo] }$

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {1-x ^ {2}}}} P _ { ell} ^ {m} (x) = { frac {-1} {2m}} vlevo [ P _ { ell +1} ^ {m + 1} (x) + ( ell -m + 1) ( ell -m + 2) P _ { ell +1} ^ {m-1} (x) že jo]}$

${ displaystyle { sqrt {1-x ^ {2}}} P _ { ell} ^ {m} (x) = { frac {1} {2 ell +1}} left [( ell - m + 1) ( ell -m + 2) P _ { ell +1} ^ {m-1} (x) - ( ell + m-1) ( ell + m) P _ { ell -1} ^ {m-1} (x) vpravo]}$

${ displaystyle { sqrt {1-x ^ {2}}} P _ { ell} ^ {m} (x) = { frac {-1} {2 ell +1}} left [P _ { ell +1} ^ {m + 1} (x) -P _ { ell -1} ^ {m + 1} (x) right]}$

${ displaystyle { sqrt {1-x ^ {2}}} P _ { ell} ^ {m + 1} (x) = ( ell -m) xP _ { ell} ^ {m} (x) - ( ell + m) P _ { ell -1} ^ {m} (x)}$

${ displaystyle { sqrt {1-x ^ {2}}} P _ { ell} ^ {m + 1} (x) = ( ell -m + 1) P _ { ell +1} ^ {m} (x) - ( ell + m + 1) xP _ { ell} ^ {m} (x)}$

${ displaystyle { sqrt {1-x ^ {2}}} { frac {d} {dx}} {P _ { ell} ^ {m}} (x) = { frac {1} {2} } left [( ell + m) ( ell -m + 1) P _ { ell} ^ {m-1} (x) -P _ { ell} ^ {m + 1} (x) right) }$

${ displaystyle (1-x ^ {2}) { frac {d} {dx}} {P _ { ell} ^ {m}} (x) = { frac {1} {2 ell +1} } left [( ell +1) ( ell + m) P _ { ell -1} ^ {m} (x) - ell ( ell -m + 1) P _ { ell +1} ^ { m} (x) vpravo]}$

${ displaystyle (x ^ {2} -1) { frac {d} {dx}} {P _ { ell} ^ {m}} (x) = { ell} xP _ { ell} ^ {m} (x) - ( ell + m) P _ { ell -1} ^ {m} (x)}$

${ displaystyle (x ^ {2} -1) { frac {d} {dx}} {P _ { ell} ^ {m}} (x) = - ( ell +1) xP _ { ell} ^ {m} (x) + ( ell -m + 1) P _ { ell +1} ^ {m} (x)}$

${ displaystyle (x ^ {2} -1) { frac {d} {dx}} {P _ { ell} ^ {m}} (x) = { sqrt {1-x ^ {2}}} P _ { ell} ^ {m + 1} (x) + mxP _ { ell} ^ {m} (x)}$

${ displaystyle (x ^ {2} -1) { frac {d} {dx}} {P _ { ell} ^ {m}} (x) = - ( ell + m) ( ell -m + 1) { sqrt {1-x ^ {2}}} P _ { ell} ^ {m-1} (x) -mxP _ { ell} ^ {m} (x)}$

Užitečné identity (počáteční hodnoty pro první rekurzi):

${ displaystyle P _ { ell +1} ^ { ell +1} (x) = - (2 ell +1) { sqrt {1-x ^ {2}}} P _ { ell} ^ { ell} (x)}$

${ displaystyle P _ { ell} ^ { ell} (x) = (- 1) ^ { ell} (2 ell -1) !! (1-x ^ {2}) ^ {( ell / 2)}}$

${ displaystyle P _ { ell +1} ^ { ell} (x) = x (2 ell +1) P _ { ell} ^ { ell} (x)}$

s !! the dvojitý faktoriál.

Gauntův vzorec

Integrál nad produktem tří přidružených Legendrových polynomů (s odpovídajícími objednávkami, jak je uvedeno níže) je nezbytnou přísadou při vývoji produktů Legendrových polynomů do řady lineární v Legendrových polynomech. Ukázalo se to například jako nezbytné při provádění atomových výpočtů Hartree – Fock odrůda, kde jsou potřeba maticové prvky operátora Coulomb. K tomu máme Gauntův vzorec ^[3]

${ displaystyle { frac {1} {2}} int _ {- 1} ^ {1} P_ {l} ^ {u} (x) P_ {m} ^ {v} (x) P_ {n} ^ {w} (x) dx =}$	${ displaystyle (-1) ^ {smw} { frac {(m + v)! (n + w)! (2s-2n)! s!} {(mv)! (sl)! (sm)! ( sn)! (2s + 1)!}}}$
	${ displaystyle times sum _ {t = p} ^ {q} (- 1) ^ {t} { frac {(l + u + t)! (m + matice)!} {t! (lut )! (m-n + u + t)! (nwt)!}}}$

Tento vzorec se použije za následujících předpokladů:

1. stupně jsou nezáporná celá čísla ${ displaystyle l, m, n geq 0}$
2. všechny tři objednávky jsou nezáporná celá čísla ${ displaystyle u, proti, w geq 0}$
3. ${ displaystyle u}$ je největší ze tří objednávek
4. objednávky sečtou ${ displaystyle u = v + w}$
5. stupně poslouchají ${ displaystyle m geq n}$

Další množství, která se objevují ve vzorci, jsou definována jako

${ displaystyle 2s = l + m + n}$

${ displaystyle p = max (0, , n-m-u)}$

${ displaystyle q = min (m + n-u, , l-u, , n-w)}$

Integrál je nula, pokud

1. součet stupňů je dokonce tak, že ${ displaystyle s}$ je celé číslo
2. trojúhelníková podmínka je splněna ${ displaystyle m + n geq l geq m-n}$

Dong a Lemus (2002)^[4] zobecnil odvození tohoto vzorce na integrály nad produktem libovolného počtu asociovaných Legendrových polynomů.

Zobecnění pomocí hypergeometrických funkcí

Tyto funkce mohou být ve skutečnosti definovány pro obecné komplexní parametry a argumenty:

${ displaystyle P _ { lambda} ^ { mu} (z) = { frac {1} { Gamma (1- mu)}} vlevo [{ frac {1 + z} {1-z} } right] ^ { mu / 2} , _ {2} F_ {1} (- lambda, lambda +1; 1- mu; { frac {1-z} {2}})}$

kde ${ displaystyle Gamma}$ je funkce gama a ${ displaystyle _ {2} F_ {1}}$ je hypergeometrická funkce

${ displaystyle , _ {2} F_ {1} ( alfa, beta; gama; z) = { frac { gama ( gama)} { gama ( alfa) gama ( beta) }} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { Gamma (n + alpha) Gamma (n + beta)} { Gamma (n + gamma) n!}} z ^ { n},}$

Říká se jim Legendární funkce pokud jsou definovány tímto obecnějším způsobem. Splňují stejnou diferenciální rovnici jako dříve:

${ displaystyle (1-z ^ {2}) , y '' - 2zy '+ vlevo ( lambda [ lambda +1] - { frac { mu ^ {2}} {1-z ^ { 2}}} vpravo) , y = 0. ,}$

Jelikož se jedná o diferenciální rovnici druhého řádu, má druhé řešení, ${ displaystyle Q _ { lambda} ^ { mu} (z)}$, definováno jako:

${ displaystyle Q _ { lambda} ^ { mu} (z) = { frac {{ sqrt { pi}} gama ( lambda + mu +1)} {2 ^ { lambda +1 } Gamma ( lambda +3/2)}} { frac {1} {z ^ { lambda + mu +1}}} (1-z ^ {2}) ^ { mu / 2} , _ {2} F_ {1} left ({ frac { lambda + mu +1} {2}}, { frac { lambda + mu +2} {2}}; lambda + { frac {3} {2}}; { frac {1} {z ^ {2}}} vpravo)}$

${ displaystyle P _ { lambda} ^ { mu} (z)}$ a ${ displaystyle Q _ { lambda} ^ { mu} (z)}$ oba dodržují různé výše uvedené vzorce opakování.

Reparameterizace z hlediska úhlů

Tyto funkce jsou nejužitečnější, když je argument přeparametrizován z hlediska úhlů, nechat ${ displaystyle x = cos theta}$:

${ displaystyle P _ { ell} ^ {m} ( cos theta) = (- 1) ^ {m} ( sin theta) ^ {m} { frac {d ^ {m}} {d ( cos theta) ^ {m}}} vlevo (P _ { ell} ( cos theta) vpravo) ,}$

Použití relace ${ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/2} = sin theta}$, výše uvedený seznam získá prvních několik polynomů, parametrizovaných tímto způsobem, jako:

${ displaystyle { begin {zarovnaný} P_ {0} ^ {0} ( cos theta) & = 1 [8pt] P_ {1} ^ {0} ( cos theta) & = cos theta [8pt] P_ {1} ^ {1} ( cos theta) & = - sin theta [8pt] P_ {2} ^ {0} ( cos theta) & = { tfrac {1} {2}} (3 cos ^ {2} theta -1) [8pt] P_ {2} ^ {1} ( cos theta) & = - 3 cos theta sin theta [8pt] P_ {2} ^ {2} ( cos theta) & = 3 sin ^ {2} theta [8pt] P_ {3} ^ {0} ( cos theta ) & = { tfrac {1} {2}} (5 cos ^ {3} theta -3 cos theta) [8pt] P_ {3} ^ {1} ( cos theta) & = - { tfrac {3} {2}} (5 cos ^ {2} theta -1) sin theta [8pt] P_ {3} ^ {2} ( cos theta) & = 15 cos theta sin ^ {2} theta [8pt] P_ {3} ^ {3} ( cos theta) & = - 15 sin ^ {3} theta [8pt] P_ {4} ^ {0} ( cos theta) & = { tfrac {1} {8}} (35 cos ^ {4} theta -30 cos ^ {2} theta +3) [8pt] P_ {4} ^ {1} ( cos theta) & = - { tfrac {5} {2}} (7 cos ^ {3} theta -3 cos theta) sin theta [8pt] P_ {4} ^ {2} ( cos theta) & = { tfrac {15} {2}} (7 cos ^ {2} theta -1) sin ^ {2 } theta [8pt] P_ {4} ^ {3} ( cos theta) & = - 105 cos theta sin ^ {3} theta [8pt] P_ {4} ^ {4 } ( cos theta) & = 105 sin ^ {4} theta end {zarovnáno}}}$

Vztahy ortogonality uvedené výše se stávají v této formulaci: pro pevné m, ${ displaystyle P _ { ell} ^ {m} ( cos theta)}$ jsou ortogonální, parametrizované θ nad ${ displaystyle [0, pi]}$, s váhou ${ displaystyle sin theta}$:

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi} P_ {k} ^ {m} ( cos theta) P _ { ell} ^ {m} ( cos theta) , sin theta , d theta = { frac {2 ( ell + m)!} {(2 ell +1) ( ell -m)!}} delta _ {k, ell}}$

Také pro pevné ℓ:

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi} P _ { ell} ^ {m} ( cos theta) P _ { ell} ^ {n} ( cos theta) csc theta , d theta = { begin {cases} 0 & { text {if}} m neq n { frac {( ell + m)!} {m ( ell -m)!}} & { text {if}} m = n neq 0 infty & { text {if}} m = n = 0 end {cases}}}$

Pokud jde o θ, ${ displaystyle P _ { ell} ^ {m} ( cos theta)}$ jsou řešení

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {d theta ^ {2}}} + cot theta { frac {dy} {d theta}} + left [ lambda - { frac {m ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} vpravo] , y = 0 ,}$

Přesněji řečeno, dané celé číslo m${ displaystyle geq}$0, výše uvedená rovnice má nesonsularní řešení, pouze když ${ displaystyle lambda = ell ( ell +1) ,}$ pro ℓ celé číslo ≥ma tato řešení jsou přiměřená${ displaystyle P _ { ell} ^ {m} ( cos theta)}$.

Aplikace ve fyzice: sférické harmonické

Při mnoha příležitostech v fyzika, kde se vyskytují související legendární polynomy z hlediska úhlů sférický symetrie je zapojen. Úhel souměrnosti v sférické souřadnice je úhel ${ displaystyle theta}$ použitý výše. Úhel zeměpisné délky, ${ displaystyle phi}$, se objeví v multiplikačním faktoru. Společně vytvářejí sadu funkcí zvaných sférické harmonické. Tyto funkce vyjadřují symetrii dvě koule v rámci akce Lež skupina SO (3).

Tyto funkce jsou užitečné proto, že jsou ústředním bodem řešení rovnice${ displaystyle nabla ^ {2} psi + lambda psi = 0}$ na povrchu koule. Ve sférických souřadnicích θ (colatitude) a φ (longitude) je Laplacian je

${ displaystyle nabla ^ {2} psi = { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné theta ^ {2}}} + cot theta { frac { částečné psi} { částečné theta}} + csc ^ {2} theta { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné phi ^ {2}}}.}$

Když parciální diferenciální rovnice

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné theta ^ {2}}} + cot theta { frac { částečné psi} { částečné theta}} + csc ^ {2} theta { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné phi ^ {2}}} + lambda psi = 0}$

je řešena metodou oddělení proměnných, jeden dostane část závislou na φ ${ displaystyle sin (m phi)}$ nebo ${ displaystyle cos (m phi)}$ pro celé číslo m≥0 a rovnice pro θ závislou část

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {d theta ^ {2}}} + cot theta { frac {dy} {d theta}} + left [ lambda - { frac {m ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} vpravo] , y = 0 ,}$

pro které jsou řešení ${ displaystyle P _ { ell} ^ {m} ( cos theta)}$ s ${ displaystyle ell { geq} m}$a ${ displaystyle lambda = ell ( ell +1)}$.

Proto rovnice

${ displaystyle nabla ^ {2} psi + lambda psi = 0}$

má nesingulární oddělená řešení, pouze když ${ displaystyle lambda = ell ( ell +1)}$a tato řešení jsou přiměřená

${ Displaystyle P _ { ell} ^ {m} ( cos theta) cos (m phi) 0 leq m leq ell}$

a

${ Displaystyle P _ { ell} ^ {m} ( cos theta) sin (m phi) 0$

Pro každou volbu ℓ existují 2ℓ + 1 funkce pro různé hodnoty m a volby sinu a kosinu. Všechny jsou ortogonální v obou ℓ a m pokud jsou integrovány přes povrch koule.

Řešení jsou obvykle psána ve smyslu komplexní exponenciály:

${ displaystyle Y _ { ell, m} ( theta, phi) = { sqrt { frac {(2 ell +1) ( ell -m)!} {4 pi ( ell + m) !}}} P _ { ell} ^ {m} ( cos theta) e ^ {im phi} qquad - ell leq m leq ell.}$

Funkce ${ displaystyle Y _ { ell, m} ( theta, phi)}$ jsou sférické harmonické a množství v druhé odmocnině je normalizační faktor. Připomínáme vztah mezi přidruženými Legendrovými funkcemi kladné a záporné m, je snadno prokázáno, že sférické harmonické uspokojují identitu^[5]

${ displaystyle Y _ { ell, m} ^ {*} ( theta, phi) = (- 1) ^ {m} Y _ { ell, -m} ( theta, phi).}$

Sférické harmonické funkce tvoří úplnou ortonormální sadu funkcí ve smyslu Fourierova řada. Pracovníci v oborech geodézie, geomagnetismu a spektrální analýzy používají jinou fázi a normalizační faktor, než jsou zde uvedeny (viz sférické harmonické ).

Když je trojrozměrná sféricky symetrická parciální diferenciální rovnice řešena metodou separace proměnných ve sférických souřadnicích, část, která zůstane po odstranění radiální části, je obvykle ve formě

${ displaystyle nabla ^ {2} psi ( theta, phi) + lambda psi ( theta, phi) = 0,}$

a proto jsou řešení sférické harmonické.

Zobecnění

Legendrovy polynomy úzce souvisí hypergeometrická řada. Ve formě sférických harmonických vyjadřují symetrii dvě koule v rámci akce Lež skupina SO (3). Kromě SO (3) existuje mnoho dalších Lieových skupin a existuje analogické zobecnění Legendrových polynomů, které vyjadřují symetrie polojednodušých Lieových skupin a Riemannovy symetrické prostory. V hrubém smyslu lze definovat a Laplacian na symetrických prostorech; vlastní funkce Laplacian lze považovat za zobecnění sférických harmonických pro jiná nastavení.

Viz také

• Moment hybnosti
• Gaussova kvadratura
• Legendární polynomy
• Sférické harmonické
• Whippleova transformace funkcí Legendre
• Laguerrovy polynomy
• Hermitovy polynomy

Poznámky a odkazy

• Arfken, G.B .; Weber, H.J. (2001), Matematické metody pro fyzikyAkademický tisk, ISBN  978-0-12-059825-0; Oddíl 12.5. (Používá jinou konvenci znaménka.)
• Belousov, S.L. (1962), Tabulky normalizovaných asociovaných legendárních polynomů, Matematické tabulky, 18, Pergamon Press.
• Condon, E. U .; Shortley, G. H. (1970), Teorie atomového spektra, Cambridge, Anglie: Cambridge University Press, OCLC  5388084; Kapitola 3.
• Courant, Richarde; Hilbert, David (1953), Metody matematické fyziky, svazek 1, New York: Interscience Publischer, Inc..
• Dunster, T. M. (2010), „Legendre a související funkce“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Edmonds, A.R. (1957), Moment hybnosti v kvantové mechanice, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-07912-7; Kapitola 2.
• Hildebrand, F. B. (1976), Pokročilý počet pro aplikace, Prentice Hall, ISBN  978-0-13-011189-0.
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S. C .; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Ortogonální polynomy“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Schach, S.R. (1973) Nové identity pro funkce spojené s legendou integrovaného řádu a stupně , Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Mathematical Analysis, 1976, sv. 7, č. 1: str. 59–69

externí odkazy

• Přidružené legendární polynomy v MathWorld
• Legendární polynomy v MathWorld