Sférický základ - Spherical basis

„Sférický tenzor“ se přesměruje sem. Koncept týkající se operátorů viz operátor tenzoru.

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) „Sférický tenzor“ je zásadní pro definici subjektu, ale na Wikipedii není nikde definován tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Sférický základ“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Duben 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek poskytuje nedostatečný kontext pro ty, kteří danému tématu nejsou obeznámeni. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Duben 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby tomu rozuměli. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Duben 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v čistý a aplikovaná matematika, zejména kvantová mechanika a počítačová grafika a jejich aplikace, a sférický základ je základ používá se k vyjádření sférické tenzory.^{[je nutná definice ]} Sférický základ úzce souvisí s popisem momentu hybnosti v kvantové mechanice a sférických harmonických funkcích.

Zatímco sférické polární souřadnice jsou jedno ortogonální souřadnicový systém pro vyjádření vektorů a tenzorů pomocí polárních a azimutálních úhlů a radiální vzdálenosti jsou sférické základy konstruovány z standardní základ a použít komplexní čísla.

Ve třech rozměrech

Vektor A ve 3D Euklidovský prostor ℝ³ lze vyjádřit známým Kartézský souřadnicový systém v standardní základ E_X, E_y, E_z, a souřadnice A_X, A_y, A_z:

${ displaystyle mathbf {A} = A_ {x} mathbf {e} _ {x} + A_ {y} mathbf {e} _ {y} + A_ {z} mathbf {e} _ {z} }$

(1)

nebo jakýkoli jiný souřadnicový systém s přidruženými základ sada vektorů. Z tohoto rozšíření se skaláry umožní násobení komplexními čísly, takže nyní pracujeme ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$ spíše než ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$.

Základní definice

Ve sférických základnách označených E₊, E₋, E₀a související souřadnice s ohledem na tento základ, označeny A₊, A₋, A₀, vektor A je:

${ displaystyle mathbf {A} = A _ {+} mathbf {e} _ {+} + A _ {-} mathbf {e} _ {-} + A_ {0} mathbf {e} _ {0} }$

(2)

kde lze sférické bazické vektory definovat pomocí kartézského základu pomocí komplex -hodnocené koeficienty v xy letadlo:^[1]

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {e} _ {+} & = - { frac {1} { sqrt {2}}} mathbf {e} _ {x} - { frac {i } { sqrt {2}}} mathbf {e} _ {y} mathbf {e} _ {-} & = + { frac {1} { sqrt {2}}} mathbf {e } _ {x} - { frac {i} { sqrt {2}}} mathbf {e} _ {y} konec {zarovnaný}} quad rightleftharpoons quad mathbf {e} _ { pm} = mp { frac {1} { sqrt {2}}} left ( mathbf {e} _ {x} pm i mathbf {e} _ {y} right) ,}$

(3A)

ve kterém i označuje imaginární jednotka a jedna kolmá k letadlu v z směr:

${ displaystyle mathbf {e} _ {0} = mathbf {e} _ {z}}$

Inverzní vztahy jsou:

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {e} _ {x} & = - { frac {1} { sqrt {2}}} mathbf {e} _ {+} + { frac {1 } { sqrt {2}}} mathbf {e} _ {-} mathbf {e} _ {y} & = + { frac {i} { sqrt {2}}} mathbf {e } _ {+} + { frac {i} { sqrt {2}}} mathbf {e} _ {-} mathbf {e} _ {z} & = mathbf {e} _ {0 } end {zarovnáno}}}$

(3B)

Definice komutátoru

Zatímco udávání základu v trojrozměrném prostoru je platnou definicí sférického tenzoru, pokrývá pouze případ, kdy je hodnost ${ displaystyle k}$ je 1. U vyšších řad lze použít buď komutátor, nebo definici rotace sférického tenzoru. Definice komutátoru je uvedena níže, libovolný operátor ${ displaystyle T_ {q} ^ {(k)}}$ který splňuje následující vztahy, je sférický tenzor:

${ displaystyle [J _ { pm}, T_ {q} ^ {(k)}] = hbar { sqrt {(k mp q) (k pm q + 1)}} T_ {q pm 1 } ^ {(k)}}$

${ displaystyle [J_ {z}, T_ {q} ^ {(k)}] = hbar qT_ {q} ^ {(k)}}$

Definice rotace

Analogicky k tomu, jak sférické harmonické transformovat pod rotací, obecný sférický tenzor transformuje následovně, když se stavy transformují pod unitární Wigner D-matice ${ displaystyle { mathcal {D}} (R)}$, kde R je (3 × 3 rotace) skupinový prvek v SO (3). To znamená, že tyto matice představují prvky rotační skupiny. S pomocí jeho Lež algebra, lze ukázat, že tyto dvě definice jsou ekvivalentní.

${ displaystyle { mathcal {D}} (R) T_ {q} ^ {(k)} { mathcal {D}} ^ { dagger} (R) = součet _ {q ^ { prime} = -k} ^ {k} T_ {q ^ { prime}} ^ {(k)} { mathcal {D}} _ {q ^ { prime} q} ^ {(k)}}$

Vektory souřadnic

Pro sférický základ, souřadnice jsou čísla se složitou hodnotou A₊, A₀, A₋, a lze je najít nahrazením (3B) do (1), nebo přímo vypočítané z vnitřní produkt ⟨, ⟩ (5):

${ displaystyle { begin {aligned} A _ {+} & = left langle mathbf {A}, mathbf {e} _ {+} right rangle = - { frac {A_ {x}} { sqrt {2}}} + { frac {iA_ {y}} { sqrt {2}}} A _ {-} & = left langle mathbf {A}, mathbf {e} _ { -} right rangle = + { frac {A_ {x}} { sqrt {2}}} + { frac {iA_ {y}} { sqrt {2}}} end {zarovnáno} } quad rightleftharpoons quad A _ { pm} = left langle mathbf {e} _ { pm}, mathbf {A} right rangle = { frac {1} { sqrt {2} }} left ( mp A_ {x} + iA_ {y} right)}$

(4A)

${ displaystyle A_ {0} = left langle mathbf {e} _ {0}, mathbf {A} right rangle = left langle mathbf {e} _ {z}, mathbf {A } right rangle = A_ {z}}$

s inverzními vztahy:

${ displaystyle { begin {aligned} A_ {x} & = - { frac {1} { sqrt {2}}} A _ {+} + { frac {1} { sqrt {2}}} A_ {-} A_ {y} & = - { frac {i} { sqrt {2}}} A _ {+} - { frac {i} { sqrt {2}}} A _ {-} A_ {z} & = A_ {0} end {aligned}}}$

(4B)

Obecně platí, že pro dva vektory se složitými koeficienty na stejné ortonormální bázi se skutečnou hodnotou E_i, s majetkem E_i·E_j = δ_ij, vnitřní produkt je:

${ displaystyle left langle mathbf {a}, mathbf {b} right rangle = mathbf {a} cdot mathbf {b} ^ { star} = sum _ {j} a_ {j } b_ {j} ^ { star}}$

(5)

kde · je obvyklé Tečkovaný produkt a komplexní konjugát * musí být použito k uchování velikost (nebo „norma“) vektoru pozitivní určitý.

Vlastnosti (tři rozměry)

Ortonormalita

Sférický základ je ortonormální základ, protože vnitřní produkt ⟨, ⟩ (5) každého páru zmizí, což znamená, že základní vektory jsou všechny vzájemně ortogonální:

${ displaystyle left langle mathbf {e} _ {+}, mathbf {e} _ {-} right rangle = left langle mathbf {e} _ {-}, mathbf {e} _ {0} right rangle = left langle mathbf {e} _ {0}, mathbf {e} _ {+} right rangle = 0}$

a každý bazický vektor je a jednotkový vektor:

${ displaystyle left langle mathbf {e} _ {+}, mathbf {e} _ {+} right rangle = left langle mathbf {e} _ {-}, mathbf {e} _ {-} right rangle = left langle mathbf {e} _ {0}, mathbf {e} _ {0} right rangle = 1}$

proto je potřeba normalizujících faktorů 1 /√2.

Změna základní matice

Definující vztahy (3A) lze shrnout pomocí a transformační matice U:

${ displaystyle { begin {pmatrix} mathbf {e} _ {+} mathbf {e} _ {-} mathbf {e} _ {0} end {pmatrix}} = mathbf { U} { begin {pmatrix} mathbf {e} _ {x} mathbf {e} _ {y} mathbf {e} _ {z} end {pmatrix}} ,, quad mathbf {U} = { begin {pmatrix} - { frac {1} { sqrt {2}}} & - { frac {i} { sqrt {2}}} & 0 + { frac {1} { sqrt {2}}} & - { frac {i} { sqrt {2}}} & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}$

s inverzí:

${ displaystyle { begin {pmatrix} mathbf {e} _ {x} mathbf {e} _ {y} mathbf {e} _ {z} end {pmatrix}} = mathbf { U} ^ {- 1} { begin {pmatrix} mathbf {e} _ {+} mathbf {e} _ {-} mathbf {e} _ {0} end {pmatrix}} ,, quad mathbf {U} ^ {- 1} = { begin {pmatrix} - { frac {1} { sqrt {2}}} & + { frac {1} { sqrt {2 }}} & 0 + { frac {i} { sqrt {2}}} & + { frac {i} { sqrt {2}}} & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} ,. }$

Je to vidět U je unitární matice, jinými slovy jeho Hermitianský konjugát U^† (komplexní konjugát a maticová transpozice ) je také inverzní matice U⁻¹.

Pro souřadnice:

${ displaystyle { begin {pmatrix} A _ {+} A _ {-} A_ {0} end {pmatrix}} = mathbf {U} ^ { mathrm {*}} { begin {pmatrix } A_ {x} A_ {y} A_ {z} end {pmatrix}} ,, quad mathbf {U} ^ { mathrm {*}} = { begin {pmatrix} - { frac {1} { sqrt {2}}} & + { frac {i} { sqrt {2}}} & 0 + { frac {1} { sqrt {2}}} & + { frac {i} { sqrt {2}}} & 0 0 a 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}$

a inverzní:

${ displaystyle { begin {pmatrix} A_ {x} A_ {y} A_ {z} end {pmatrix}} = ( mathbf {U} ^ { mathrm {*}}) ^ {- 1} { begin {pmatrix} A _ {+} A _ {-} A_ {0} end {pmatrix}} ,, quad ( mathbf {U} ^ { mathrm {*}}) ^ {- 1} = { begin {pmatrix} - { frac {1} { sqrt {2}}} & + { frac {1} { sqrt {2}}} & 0 - { frac {i} { sqrt {2}}} & - { frac {i} { sqrt {2}}} & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} ,.}$

Křížové výrobky

Brát křížové výrobky z sférických základních vektorů najdeme zřejmý vztah:

${ displaystyle mathbf {e} _ {q} times mathbf {e} _ {q} = { boldsymbol {0}}}$

kde q je zástupný symbol pro +, -, 0 a dva méně zjevné vztahy:

${ displaystyle mathbf {e} _ { pm} krát mathbf {e} _ { mp} = pm i mathbf {e} _ {0}}$

${ displaystyle mathbf {e} _ { pm} krát mathbf {e} _ {0} = pm i mathbf {e} _ { pm}}$

Vnitřní produkt na sférické bázi

Vnitřní produkt mezi dvěma vektory A a B ve sférickém základě vyplývá z výše uvedené definice vnitřního produktu:

${ displaystyle left langle mathbf {A}, mathbf {B} right rangle = A _ {+} B _ {+} ^ { star} + A _ {-} B _ {-} ^ { star} + A_ {0} B_ {0} ^ { star}}$

Viz také

• Wigner – Eckartova věta
• Matice Wigner D.
• Skupina 3D rotace

Reference

Všeobecné

• S. S. M. Wong (2008). Úvodní jaderná fyzika (2. vyd.). John Wiley & Sons. ISBN  978-35-276-179-13.

externí odkazy