Válcové harmonické - Cylindrical harmonics

v matematika, válcové harmonické jsou souborem lineárně nezávislé funkce, které jsou řešením Laplaceova diferenciální rovnice, ${ displaystyle nabla ^ {2} V = 0}$, vyjádřen v válcové souřadnice, ρ (radiální souřadnice), φ (polární úhel) a z (výška). Každá funkce PROTI_n(k) je součinem tří členů, z nichž každý závisí na jediné souřadnici. The ρ-závislý termín je dán vztahem Besselovy funkce (které se občas také nazývají válcové harmonické).

Definice

Každá funkce ${ displaystyle V_ {n} (k)}$ tohoto základu se skládá z produktu tří funkcí:

${ displaystyle V_ {n} (k; rho, varphi, z) = P_ {n} (k, rho) Phi _ {n} ( varphi) Z (k, z) ,}$

kde ${ displaystyle ( rho, varphi, z)}$ jsou válcové souřadnice a n a k jsou konstanty, které odlišují členy množiny od sebe navzájem. V důsledku princip superpozice aplikovat na Laplaceovu rovnici, velmi obecná řešení Laplaceovy rovnice lze získat lineárními kombinacemi těchto funkcí.

Protože všechny povrchy konstanty ρ, φ a z jsou konikoidní, Laplaceova rovnice je oddělitelná ve válcových souřadnicích. Pomocí techniky oddělení proměnných, lze napsat samostatné řešení Laplaceovy rovnice:

${ displaystyle V = P ( rho) , Phi ( varphi) , Z (z)}$

a Laplaceova rovnice dělená PROTI, je psáno:

${ displaystyle { frac { ddot {P}} {P}} + { frac {1} { rho}} , { frac { dot {P}} {P}} + { frac { 1} { rho ^ {2}}} , { frac { ddot { Phi}} { Phi}} + { frac { ddot {Z}} {Z}} = 0}$

The Z část rovnice je funkcí z sám, a proto se musí rovnat konstantě:

${ displaystyle { frac { ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}$

kde k je obecně a komplexní číslo. Pro konkrétní k, Z (z) funkce má dvě lineárně nezávislá řešení. Li k je skutečný jsou:

${ Displaystyle Z (k, z) = cosh (kz) , , , , , , mathrm {nebo} , , , , , , sinh (kz) ,}$

nebo svým chováním v nekonečnu:

${ displaystyle Z (k, z) = e ^ {kz} , , , , , , mathrm {nebo} , , , , , , e ^ {- kz} ,}$

Li k je imaginární:

${ Displaystyle Z (k, z) = cos (| k | z) , , , , , , mathrm {nebo} , , , , , , sin ( | k | z) ,}$

nebo:

${ Displaystyle Z (k, z) = e ^ {i | k | z} , , , , , , mathrm {nebo} , , , , , , e ^ {-i | k | z} ,}$

Je vidět, že Z (k, z) funkce jsou jádra Fourierova transformace nebo Laplaceova transformace z Z (z) funkce atd k může být diskrétní proměnná pro periodické okrajové podmínky, nebo to může být spojitá proměnná pro neperiodické okrajové podmínky.

Střídání ${ displaystyle k ^ {2}}$ pro ${ displaystyle { ddot {Z}} / Z}$ , Laplaceovu rovnici lze nyní napsat:

${ displaystyle { frac { ddot {P}} {P}} + { frac {1} { rho}} , { frac { dot {P}} {P}} + { frac { 1} { rho ^ {2}}} { frac { ddot { Phi}} { Phi}} + k ^ {2} = 0}$

Vynásobením ${ displaystyle rho ^ {2}}$, můžeme nyní oddělit P a Φ funkce a zavést další konstantu (n) získat:

${ displaystyle { frac { ddot { Phi}} { Phi}} = - n ^ {2}}$

${ displaystyle rho ^ {2} { frac { ddot {P}} {P}} + rho { frac { dot {P}} {P}} + k ^ {2} rho ^ { 2} = n ^ {2}}$

Od té doby ${ displaystyle varphi}$ je periodické, můžeme vzít n být nezáporné celé číslo a podle toho ${ displaystyle Phi ( varphi)}$ konstanty jsou indexovány. Skutečná řešení pro ${ displaystyle Phi ( varphi)}$ jsou

${ displaystyle Phi _ {n} = cos (n varphi) , , , , , , mathrm {nebo} , , , , , , sin (n varphi)}$

nebo ekvivalentně:

${ displaystyle Phi _ {n} = e ^ {v varphi} , , , , , , mathrm {nebo} , , , , , , e ^ {- v varphi}}$

Diferenciální rovnice pro ${ displaystyle rho}$ je forma Besselovy rovnice.

Li k je nula, ale n není, řešení jsou:

${ Displaystyle P_ {n} (0, rho) = rho ^ {n} , , , , , , mathrm {nebo} , , , , , , rho ^ {- n} ,}$

Pokud jsou k i n nula, řešení jsou:

${ Displaystyle P_ {0} (0, rho) = ln rho , , , , , , mathrm {nebo} , , , , , , 1 , }$

Li k je reálné číslo, můžeme napsat skutečné řešení jako:

${ Displaystyle P_ {n} (k, rho) = J_ {n} (k rho) , , , , , , mathrm {nebo} , , , , , , Y_ {n} (k rho) ,}$

kde ${ displaystyle J_ {n} (z)}$ a ${ displaystyle Y_ {n} (z)}$ jsou obyčejné Besselovy funkce.

Li k je imaginární číslo, můžeme napsat skutečné řešení jako:

${ Displaystyle P_ {n} (k, rho) = I_ {n} (| k | rho) , , , , , , mathrm {or} , , , , , , K_ {n} (| k | rho) ,}$

kde ${ displaystyle I_ {n} (z)}$ a ${ displaystyle K_ {n} (z)}$ jsou upraveny Besselovy funkce.

Válcové harmonické pro (k, n) jsou nyní produktem těchto řešení a obecné řešení Laplaceovy rovnice je dáno lineární kombinací těchto řešení:

${ displaystyle V ( rho, varphi, z) = součet _ {n} int dk , , A_ {n} (k) P_ {n} (k, rho) Phi _ {n} ( varphi) Z (k, z) ,}$

Kde ${ displaystyle A_ {n} (k)}$ jsou konstanty vzhledem k válcovým souřadnicím a limity součtu a integrace jsou určeny okrajovými podmínkami úlohy. Všimněte si, že integrál může být nahrazen součtem pro příslušné okrajové podmínky. Ortogonalita ${ displaystyle J_ {n} (x)}$ je často velmi užitečné při hledání řešení konkrétního problému. The ${ displaystyle Phi _ {n} ( varphi)}$ a ${ displaystyle Z (k, z)}$ funkce jsou v podstatě Fourierovy nebo Laplaceovy expanze a tvoří sadu ortogonálních funkcí. Když ${ displaystyle P_ {n} (k rho)}$ je prostě ${ displaystyle J_ {n} (k rho)}$ , ortogonalita ${ displaystyle J_ {n}}$, spolu s ortogonálními vztahy ${ displaystyle Phi _ {n} ( varphi)}$ a ${ displaystyle Z (k, z)}$ umožnit určení konstant.^[1]

Li ${ displaystyle (x) _ {k}}$ je posloupnost kladných nul ${ displaystyle J_ {n}}$ pak:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} rho) J_ {n} (x_ {k} ' rho) rho , d rho = { frac { 1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} delta _ {kk '}}$^[2]

Při řešení problémů lze prostor rozdělit na libovolný počet kusů, pokud se hodnoty potenciálu a jeho derivace shodují přes hranici, která neobsahuje žádné zdroje.

Příklad: Bodový zdroj uvnitř vodivé válcové trubice

Jako příklad zvažte problém stanovení potenciálu zdroje jednotky umístěného na ${ displaystyle ( rho _ {0}, varphi _ {0}, z_ {0})}$ uvnitř vodivé válcové trubky (např. prázdná plechovka), která je ohraničena nahoře i dole rovinami ${ displaystyle z = -L}$ a ${ displaystyle z = L}$ a po stranách válcem ${ displaystyle rho = a}$.^[3] (V jednotkách MKS budeme předpokládat ${ displaystyle q / 4 pi epsilon _ {0} = 1}$). Protože potenciál je ohraničen rovinami na z osa, Z (k, z) funkce lze považovat za periodickou. Protože potenciál musí být na počátku nulový, vezmeme ${ displaystyle P_ {n} (k rho)}$ běžná Besselova funkce ${ displaystyle J_ {n} (k rho)}$, a musí být zvolen tak, aby jedna z jeho nul dopadla na ohraničující válec. Pro měřicí bod pod zdrojovým bodem na z osa, potenciál bude:

${ displaystyle V ( rho, varphi, z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} součet _ {r = 0} ^ { infty} , A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} rho) cos (n ( varphi - varphi _ {0})) sinh (k_ ​​{nr} (L + z)) , , , , , z leq z_ {0}}$

kde ${ displaystyle k_ {nr} a}$ je r-ta nula ${ displaystyle J_ {n} (z)}$ a ze vztahů ortogonality pro každou z funkcí:

${ displaystyle A_ {nr} = { frac {4 (2- delta _ {n0})} {a ^ {2}}} , , { frac { sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} { sinh 2k_ {nr} L}} , , { frac {J_ {n} (k_ {nr} rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} ,}$

Nad zdrojovým bodem:

${ displaystyle V ( rho, varphi, z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} součet _ {r = 0} ^ { infty} , A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} rho) cos (n ( varphi - varphi _ {0})) sinh (k_ ​​{nr} (Lz)) , , , , , z geq z_ { 0}}$

${ displaystyle A_ {nr} = { frac {4 (2- delta _ {n0})} {a ^ {2}}} , , { frac { sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} { sinh 2k_ {nr} L}} , , { frac {J_ {n} (k_ {nr} rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. ,}$

Je jasné, že když ${ displaystyle rho = a}$ nebo ${ displaystyle | z | = L}$, výše uvedená funkce je nula. Lze také snadno ukázat, že obě funkce se shodují v hodnotě a v hodnotě jejich prvních derivací v ${ displaystyle z = z_ {0}}$.

Bodový zdroj uvnitř válce

Odstranění rovinných konců (tj. Přijetí limitu, když se L blíží nekonečnu) dává pole bodového zdroje uvnitř vodivého válce:

${ displaystyle V ( rho, varphi, z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} součet _ {r = 0} ^ { infty} , A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} rho) cos (n ( varphi - varphi _ {0})) e ^ {- k_ {nr} | z-z_ {0} |}}$

${ displaystyle A_ {nr} = { frac {2 (2- delta _ {n0})} {a ^ {2}}} , , { frac {J_ {n} (k_ {nr} rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. ,}$

Bodový zdroj v otevřeném prostoru

Jako poloměr válce (A) se blíží nekonečnu, součet nad nulami J_n(z) se stává integrálem a máme pole bodového zdroje v nekonečném prostoru:

${ displaystyle V ( rho, varphi, z) = { frac {1} {R}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} dk , A_ {n} (k) J_ {n} (k rho) cos (n ( varphi - varphi _ {0})) e ^ {- k | z-z_ {0} |}}$

${ displaystyle A_ {n} (k) = (2- delta _ {n0}) J_ {n} (k rho _ {0}) ,}$

a R je vzdálenost od bodového zdroje k bodu měření:

${ displaystyle R = { sqrt {(z-z_ {0}) ^ {2} + rho ^ {2} + rho _ {0} ^ {2} -2 rho rho _ {0} cos ( varphi - varphi _ {0})}}. ,}$

Bodový zdroj v otevřeném prostoru na počátku

Nakonec, když je bodový zdroj na počátku, ${ displaystyle rho _ {0} = z_ {0} = 0}$

${ displaystyle V ( rho, varphi, z) = { frac {1} { sqrt { rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = int _ {0} ^ { infty } J_ {0} (k rho) e ^ {- k | z |} , dk.}$

Viz také

• Sférické harmonické

Poznámky

Reference