Planární algebra - Planar algebra - Wikipedia

v matematika, rovinné algebry se poprvé objevil v díle Vaughan Jones na standardní invariant a II₁ podfaktor.^[1] Poskytují také vhodný algebraický rámec pro mnohé uzlové invarianty (zejména Jonesův polynom ) a byly použity při popisu vlastností Khovanovova homologie s ohledem na spleť složení.^[2][3] Libovolná podfaktorová planární algebra poskytuje rodinu jednotných reprezentací Thompsonovy skupiny.^[4]Jakoukoli konečnou skupinu (a kvantovou generalizaci) lze zakódovat jako rovinnou algebru.^[1]

Definice

Myšlenkou rovinné algebry je být schematickou axiomatizací standardní invariant.^[1][5][6]

Planární spleť

A (stínované) planární spleť jsou data konečně mnoha vstup disky, jeden výstup disk, neprotínající se řetězce poskytující sudé číslo, řekněme ${ displaystyle 2n}$, intervaly na disk a jeden ${ displaystyle star}$-značený interval na disk.

Zde je známka zobrazena jako a ${ displaystyle star}$-tvar. Na každém vstupním disku je umístěn mezi dvěma sousedními odchozími řetězci a na výstupním disku je umístěn mezi dvěma sousedními příchozími řetězci. Rovinná spleť je definována až do izotopy.

Složení

Na komponovat dvě rovinné zamotání, vložte výstupní disk jednoho do vstupu druhého, který má tolik intervalů, stejné stínování označených intervalů a takové, že ${ displaystyle star}$označené intervaly se shodují. Nakonec odstraníme shodné kruhy. Všimněte si, že dvě rovinné spleť mohou mít nulu, jednu nebo několik možných skladeb.

Rovinný operad

The rovinný operad je množina všech rovinných zamotání (až do izomorfismu) s takovými kompozicemi.

Planární algebra

A rovinná algebra je zastoupení rovinného operatu; přesněji jde o rodinu vektorových prostorů ${ displaystyle ({ mathcal {P}} _ {n, pm}) _ {n in mathbb {N}}}$, volala ${ displaystyle n}$-box mezery, na kterých činy rovinný operad, tj. pro jakoukoli spleť ${ displaystyle T}$ (s jedním výstupním diskem a ${ displaystyle r}$ vstupní disky s ${ displaystyle 2n_ {0}}$ a ${ displaystyle 2n_ {1}, tečky, 2n_ {r}}$ intervalech) existuje multilineární mapa

${ displaystyle Z_ {T}: { mathcal {P}} _ {n_ {1}, epsilon _ {1}} otimes cdots otimes { mathcal {P}} _ {n_ {r}, epsilon _ {r}} to { mathcal {P}} _ {n_ {0}, epsilon _ {0}}}$

s ${ displaystyle epsilon _ {i} v {+, - }}$ podle zastínění ${ displaystyle star}$označené intervaly a tyto mapy (nazývané také funkce oddílů) respektují složení spleti takovým způsobem, že dojíždějí všechny níže uvedené diagramy.

Příklady

Planární spleti

Rodina vektorových prostorů ${ displaystyle ({ mathcal {T}} _ {n, pm}) _ {n in mathbb {N}}}$ generované rovinnými spleti, které mají ${ displaystyle 2n}$ intervaly na jejich výstup disk a bílý (nebo černý) ${ displaystyle star}$-značený interval, připouští strukturu rovinné algebry.

Temperley – Lieb

Planární algebra Temperley-Lieb ${ displaystyle { mathcal {TL}} ( delta)}$ je generován rovinnými spleti bez vstupního disku; své ${ displaystyle 3}$-box místo ${ displaystyle { mathcal {TL}} _ {3, +} ( delta)}$ generuje

Uzavřený řetězec je navíc nahrazen násobením ${ displaystyle delta}$.

Všimněte si, že rozměr ${ displaystyle { mathcal {TL}} _ {n, pm} ( delta)}$ je Katalánské číslo ${ displaystyle { frac {1} {n + 1}} { binom {2n} {n}}}$.Tato planární algebra kóduje pojem Temperley – Liebova algebra.

Hopfova algebra

Polojediný a společný Hopfova algebra přes algebraicky uzavřené pole je zakódováno v rovinné algebře definované generátory a vztahy a „odpovídá“ (až do izomorfismu) připojené, neredukovatelné, sférické, nedegenerované rovinné algebře s nenulovým modulem ${ displaystyle delta}$ a hloubky dva.^[7]

Všimněte si, že připojeno prostředek ${ displaystyle dim ({ mathcal {P}} _ {0, pm}) = 1}$ (pokud jde o hodnotitelný níže), neredukovatelné prostředek ${ displaystyle dim ({ mathcal {P}} _ {1, +}) = 1}$, sférický je definován níže a nedegenerovaný znamená, že stopy (definované níže) jsou nedegenerované.

Subfaktorová rovinná algebra

Definice

A subfaktorová planární algebra je rovinný ${ displaystyle star}$-algebra ${ displaystyle ({ mathcal {P}} _ {n, pm}) _ {n in mathbb {N}}}$ který je:

(1) Konečně-dimenzionální: ${ displaystyle dim ({ mathcal {P}} _ {n, pm}) < infty}$

(2) Hodnotitelné: ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {0, pm} = mathbb {C}}$

(3) Sférické: ${ displaystyle tr: = tr_ {r} = tr_ {l}}$

(4) Pozitivní: ${ displaystyle langle a vert b rangle = tr (b ^ { star} a)}$ definuje vnitřní produkt.

Všimněte si, že v (2) a (3) se jakýkoli uzavřený řetězec (stínovaný nebo ne) počítá pro stejnou konstantu ${ displaystyle delta}$.

Akce zamotání řeší adjung podle:

${ displaystyle Z_ {T} (a_ {1} otimes a_ {2} otimes cdots otimes a_ {r}) ^ { star} = Z_ {T ^ { star}} (a_ {1} ^ { star} otimes a_ {2} ^ { star} otimes cdots otimes a_ {r} ^ { star})}$

s ${ displaystyle T ^ { star}}$ zrcadlový obraz ${ displaystyle T}$ a ${ displaystyle a_ {i} ^ { star}}$ adjunkt z ${ displaystyle a_ {i}}$ v ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {n_ {i}, epsilon _ {i}}}$.

Příklady a výsledky

Věta bez duchů: Rovinná algebra ${ displaystyle { mathcal {TL}} ( delta)}$ nemá ducha (tj. prvek ${ displaystyle a}$ s ${ displaystyle langle a vert a rangle <0}$) právě tehdy

${ displaystyle delta in {2 cos ( pi /n )|n=3,4,5,...}cup [2, + infty]}$

Pro ${ displaystyle delta}$ jak je uvedeno výše, nechť ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ být nulovým ideálem (generovaným prvky ${ displaystyle a}$ s ${ displaystyle langle a vert a rangle = 0}$). Pak kvocient ${ displaystyle { mathcal {TL}} ( delta) / { mathcal {I}}}$ je subfaktorová planární algebra, nazývaná Planární algebra subfaktoru Temperley – Lieb-Jones ${ displaystyle { mathcal {TLJ}} ( delta)}$. Libovolná rovinná algebra subfaktoru s konstantou ${ displaystyle delta}$ připouští ${ displaystyle { mathcal {TLJ}} ( delta)}$ jako rovinná subalgebra.

Rovinná algebra ${ displaystyle ({ mathcal {P}} _ {n, pm})}$ je podfaktorová planární algebra právě tehdy, když je to standardní invariant extrémní podfaktor ${ displaystyle N subseteq M}$ indexu ${ displaystyle [M: N] = delta ^ {2}}$, s ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {n, +} = N ' cap M_ {n-1}}$ a ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {n, -} = M ' cap M_ {n}}$.^[8][9][10]Konečná hloubka nebo neredukovatelná podfaktor je extrémní (${ displaystyle tr_ {N '} = tr_ {M}}$ na ${ displaystyle N ' cap M}$).

Existuje subfaktorová planární algebra kódující jakoukoli konečnou skupinu (a obecněji jakoukoli konečnou dimenzionální) Hopf ${ displaystyle { rm {C}} ^ { star}}$-algebra, nazývané Kac algebra), definované generátory a vztahy. (Konečná rozměrná) Kacova algebra „odpovídá“ (až do izomorfismu) neredukovatelné subfaktorové rovinné algebře hloubky dva.^[11][12]

Subfaktorová rovinná algebra spojená se zahrnutím konečných skupin,^[13] ne vždy si pamatuje zařazení (bez jádra).^[14][15]

Rovinná algebra subfaktoru Bisch-Jones ${ displaystyle { mathcal {BJ}} ( delta _ {1}, delta _ {2})}$ (někdy nazývaný Fuss-Catalan) je definován jako pro ${ displaystyle { mathcal {TLJ}} ( delta)}$ ale povolením dvou barev řetězce s vlastní konstantou ${ displaystyle delta _ {1}}$ a ${ displaystyle delta _ {2}}$, s ${ displaystyle delta _ {i}}$ jak je uvedeno výše. Jedná se o rovinnou subalgebru jakékoli rovinné algebry dílčích subfaktorů s takovým prostředníkem ${ displaystyle [K: N] = delta _ {1} ^ {2}}$ a ${ displaystyle [M: K] = delta _ {2} ^ {2}}$. ^[16][17]

První konečná hloubka subfaktoru planární algebra indexu ${ displaystyle delta ^ {2}> 4}$ se nazývá Haagerup subfaktorová planární algebra.^[18] Má index ${ displaystyle (5 + { sqrt {13}}) / 2 sim 4,303}$.

Rovinné algebry dílčího subfaktoru jsou maximálně zcela klasifikovány pro index ${ displaystyle 5}$ ^[19]a trochu dál.^[20]Tuto klasifikaci zahájil Uffe Haagerup.^[21]Používá (mimo jiné) seznam možných hlavních grafů spolu s teorémem o vložení^[22]a algoritmus pro medúzy.^[23]

Planární algebra subfaktoru si pamatuje subfaktor (tj. Jeho standardní invariant je úplný), pokud je přístupný.^[24] Hyperfinitní subfaktor s konečnou hloubkou je přístupný.

O neodstranitelném případě: existuje neklasifikovatelně mnoho neredukovatelných hyperfinitních subfaktorů indexu 6, které mají všechny stejný standardní invariant.^[25]

Fourierova transformace a biprojekce

Nechat ${ displaystyle N podmnožina M}$ být dílčím faktorem konečných indexů a ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ odpovídající podfaktorová planární algebra. Předpokládat, že ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je neredukovatelný (tj. ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {1, +} = N ' cap M_ {1} = mathbb {C}}$). Nechat ${ displaystyle N podmnožina K podmnožina M}$ být dílčím subfaktorem. Nechte Jonesovu projekci ${ displaystyle e_ {K} ^ {M}: L ^ {2} (M) až L ^ {2} (K)}$. Všimněte si, že ${ displaystyle e_ {K} ^ {M} v { mathcal {P}} _ {2, +}}$. Nechat ${ displaystyle id: = e_ {M} ^ {M}}$ a ${ displaystyle e_ {1}: = e_ {N} ^ {M}}$.

Všimněte si, že ${ displaystyle tr (e_ {1}) = delta ^ {- 2} = [M: N] ^ {- 1}}$ a ${ displaystyle tr (id) = 1}$.

Nechť bijektivní lineární mapa ${ displaystyle { mathcal {F}}: { mathcal {P}} _ {2, pm} až { mathcal {P}} _ {2, mp}}$ být Fourierova transformace, také zvaný ${ displaystyle 1}$-klikněte (na vnější hvězdu) nebo ${ displaystyle 90 ^ { circ}}$ otáčení; a nechte ${ displaystyle a * b}$ být koprodukt z ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$.

Všimněte si, že slovo koprodukt je maličkost konvoluční produkt. Je to binární operace.

Koprodukt uspokojuje rovnost ${ displaystyle a * b = { mathcal {F}} ({ mathcal {F}} ^ {- 1} (a) { mathcal {F}} ^ {- 1} (b)).}$

Pro všechny pozitivní operátory ${ displaystyle a, b}$koprodukt ${ displaystyle a * b}$ je také pozitivní; to lze vidět schematicky:^[26]

Nechat ${ displaystyle { overline {a}}: = { mathcal {F}} ({ mathcal {F}} (a))}$ být přísada ${ displaystyle a}$ (také zvaný ${ displaystyle 180 ^ { circ}}$ otáčení). Mapa ${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {4}}$ odpovídá čtyřem ${ displaystyle 1}$-kliky vnější hvězdy, takže je to mapa identity, a potom ${ displaystyle { overline { overline {a}}} = a}$.

V případě Kacovy algebry je přísadou přesně protipól,^[12] které pro konečnou skupinu odpovídají inverznímu.

A biprojekce je projekce ${ displaystyle b in { mathcal {P}} _ {2, +} setminus {0 }}$ s ${ displaystyle { mathcal {F}} (b)}$ násobek projekce. Všimněte si, že ${ displaystyle e_ {1} = e_ {N} ^ {M}}$ a ${ displaystyle id = e_ {M} ^ {M}}$ jsou biprojekce; to lze vidět následovně:

Projekce ${ displaystyle b}$ je biprojekce, pokud jde o Jonesovu projekci ${ displaystyle e_ {K} ^ {M}}$ meziproduktu ${ displaystyle N podmnožina K podmnožina M}$^[27], pokud ${ displaystyle e_ {1} leq b = { overline {b}} = lambda b * b, { text {with}} lambda ^ {- 1} = delta tr (b)}$.^[28][26]

Galoisova korespondence:^[29] v případě Kacovy algebry jsou biprojekce 1-1 s levými koalickými subalgebrami, které pro konečnou skupinu odpovídají podskupinám.

Pro jakoukoli neredukovatelnou podfaktorovou rovinnou algebru je množina biprojekcí konečnou mřížkou, ^[30] formuláře ${ displaystyle [e_ {1}, id]}$, pokud jde o interval konečných skupin ${ displaystyle [H, G]}$.

Pomocí biprojekcí můžeme vytvořit mezilehlý subfaktor rovinné algebry. ^[31][32]

The princip nejistoty sahá do jakékoli neredukovatelné podfaktorové planární algebry ${ displaystyle { mathcal {P}}}$:

Nechat ${ displaystyle { mathcal {S}} (x) = Tr (R (x))}$ s ${ displaystyle R (x)}$ rozsah projekce ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle Tr}$ nenormalizovaná stopa (tj. ${ displaystyle Tr = delta ^ {n} tr}$ na ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {n, pm}}$).

Princip nekomutativní nejistoty: ^[33] Nechat ${ displaystyle x in { mathcal {P}} _ {2, pm}}$, nenulová. Pak

${ displaystyle { mathcal {S}} (x) { mathcal {S}} ({ mathcal {F}} (x)) geq delta ^ {2}}$

Za předpokladu ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle { mathcal {F}} (x)}$ pozitivní, rovnost platí tehdy a jen tehdy ${ displaystyle x}$ je biprojekce. Obecněji platí, že rovnost platí právě tehdy ${ displaystyle x}$ je bi-shift biprojekce.

Reference