Test Shapiro – Francia - Shapiro–Francia test

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Shapiro – Francia test“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Dubna 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Test Shapiro – Francia je statistický test normality populace na základě vzorových údajů. To bylo představeno S. S. Shapiro a R. S. Francia v roce 1972 jako zjednodušení Shapiro – Wilkův test.^[1]

Teorie

Nechat ${ displaystyle x _ {(i)}}$ být ${ displaystyle i}$objednaná hodnota z naší velikosti -${ displaystyle n}$ vzorek. Například pokud se vzorek skládá z hodnot ${ displaystyle left {5,6, -1,2,7,8,3,4 right }}$, ${ displaystyle x _ {(2)} = 3,4}$, protože to je druhá nejnižší hodnota. Nechat ${ displaystyle m_ {i: n}}$ být znamenat z ${ displaystyle i}$th statistika objednávky při výrobě ${ displaystyle n}$ nezávislé čerpání z a normální distribuce. Například, ${ displaystyle m_ {2: 4} přibližně -0,297}$, což znamená, že druhá nejnižší hodnota ve vzorku čtyř tahů z normálního rozdělení je obvykle asi 0,297 standardní odchylky pod průměrem.^[2] Vytvořte Pearsonův korelační koeficient mezi ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle m}$:

${ displaystyle W '= { frac { operatorname {cov} (x, m)} { sigma _ {x} sigma _ {m}}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} (x _ {(i)} - { bar {x}}) (m_ {i} - { bar {m}})} {{sqrt { left ( sum _ {i = 1} ^ {n} (x _ {(i)} - { bar {x}}) ^ {2} right) left ( sum _ {i = 1} ^ {n} (m_ {i} - { bar {m}}) ^ {2} vpravo)}}}}$

Pod nulová hypotéza že data jsou čerpána z a normální distribuce, tato korelace bude silná, takže ${ displaystyle W '}$ hodnoty se seskupí těsně pod 1, přičemž vrchol se zužuje a blíží se 1 jako ${ displaystyle n}$ zvyšuje. Pokud se data silně odchylují od normálního rozdělení, ${ displaystyle W '}$ bude menší.^[1]

Tento test je formalizací starší praxe formování a q-q plot porovnat dvě distribuce s ${ displaystyle x}$ hraní role kvantilových bodů distribuce vzorku a ${ displaystyle m}$ hraní role odpovídajících kvantilových bodů a normální distribuce.

Ve srovnání s Shapiro – Wilkův test statistický ${ displaystyle W}$, statistika testu Shapiro – Francia ${ displaystyle W '}$ je snazší vypočítat, protože nevyžaduje, abychom formovali a invertovali matici kovariancí mezi statistikami objednávek.

Praxe

Není známo uzavřený analytický výraz pro hodnoty ${ displaystyle m_ {i: n}}$ požadované testem. Existuje však několik aproximací, které jsou pro většinu praktických účelů adekvátní.^[2]

Přesná forma nulové distribuce ${ displaystyle W '}$ je znám pouze pro ${ displaystyle n = 3}$.^[1] Monte Carlo simulace ukázaly, že transformovaná statistika ${ displaystyle ln (1-Z ')}$ je téměř normálně distribuován s hodnotami střední a standardní odchylky, které se pomalu mění s ${ displaystyle n}$ ve snadno parametrizovatelné formě.^[3]

Napájení

Srovnávací studie dospěly k závěru, že objednávají statistické korelační testy, jako jsou Shapiro – Francia a Shapiro – Wilk patří mezi ty největší silný zavedeného statistické testy normality.^[4] Dalo by se předpokládat, že kovariance upravená váha statistik různých objednávek používaných Shapiro – Wilkův test by to mělo trochu zlepšit, ale v praxi jsou varianty Shapiro – Wilk a Shapiro – Francia přibližně stejně dobré. Varianta Shapiro – Francia ve skutečnosti vykazuje větší sílu k rozlišení některé alternativní hypotézy.^[5]

Reference