Wittova algebra - Witt algebra

v matematika, komplex Wittova algebra, pojmenoval podle Ernst Witt, je Lež algebra meromorfních vektorových polí definovaných na Riemannova koule které jsou holomorfní, kromě dvou pevných bodů. Jedná se také o komplexizaci Lieovy algebry polynomiálních vektorových polí na kružnici a Lieovy algebry derivací kruhu C[z,z⁻¹].

Existují některé související Lieovy algebry definované přes konečná pole, které se také nazývají Wittovy algebry.

Složitá Wittova algebra byla poprvé definována Cartanem (1909) a její analogie přes konečná pole studoval Witt ve 30. letech.

Základ

Základ Wittovy algebry poskytuje vektorová pole ${ displaystyle L_ {n} = - z ^ {n + 1} { frac { částečné} { částečné z}}}$, pro n v ${ displaystyle mathbb {Z}}$.

The Ležící závorka dvou vektorových polí je dáno vztahem

${ displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (m-n) L_ {m + n}.}$

Tato algebra má a centrální prodloužení volal Virasoro algebra to je důležité v teorie dvourozměrného konformního pole a teorie strun.

Všimněte si, že omezením n na 1,0, -1, jeden dostane subalgebru. Převzato pole komplexních čísel, to je jen algebra ${ displaystyle sl (2, mathbb {C})}$ z Skupina Lorentz SL (2, C). Přes realitu je to algebra sl(2, R) = su(1,1). Naopak su(1,1) stačí k rekonstrukci původní algebry v prezentaci.^[1]

Přes konečná pole

Přes pole k charakteristické str> 0 je Wittova algebra definována jako Lieova algebra derivací kruhu

k[z]/z^str

Wittova algebra je překlenuta L_m pro −1≤ m ≤ str−2.

Viz také

• Virasoro algebra
• Heisenbergova algebra

Reference

• Élie Cartan, Les groupes de transformations continus, infinis, simples. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 26, 93-161 (1909).
• "Wittova algebra", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]